لنفترض أن z = ƒ (x ؛ y) دالة لمتغيرين x و y ، كل منهما دالة للمتغير المستقل t: x = x (t) ، y = y (t). في هذه الحالة ، الدالة z = f (x (t) ؛ y (t)) هي دالة معقدة لمتغير مستقل واحد t ؛ المتغيرات x و y متغيرات وسيطة.

نظرية 44.4. إذا كانت z \ u003d ƒ (x ؛ y) دالة قابلة للتفاضل عند النقطة M (x ؛ y) є D و x \ u003d x (t) و y \ u003d y (t) هي وظائف قابلة للتفاضل للمتغير المستقل t ، ثم يتم حساب مشتق الدالة المعقدة z (t) = f (x (t)؛ y (t)) بالصيغة

لنجعل المتغير المستقل t زيادة Δt. بعد ذلك ، ستتلقى الدالتان x = x (t) و y = y (t) زيادات Δx و y على التوالي. هم ، بدورهم ، سوف يتسببون في زيادة الدالة z من Az.

نظرًا لأن الوظيفة z - (x ؛ y) قابلة للتفاضل حسب الشرط عند النقطة M (x ؛ y) ، يمكن تمثيل الزيادة الإجمالية على أنها

حيث a → 0، β → 0 كـ Δх → 0، Δу → 0 (انظر البند 44.3). نقسم التعبير Δz على Δt ونمرر إلى النهاية كـ Δt → 0. ثم Δх → 0 و Δу → 0 بسبب استمرارية الدالتين x = x (t) و y = y (t) (حسب حالة النظرية ، تكونان قابلة للتفاضل). نحن نحصل:

حالة خاصة: z = ƒ (x ؛ y) ، حيث y = y (x) ، أي z = ƒ (x ؛ y (x)) هي دالة معقدة لمتغير مستقل واحد x. تختصر هذه الحالة إلى الحالة السابقة ، حيث تلعب x دور المتغير t. حسب الصيغة (44.8) لدينا:

الصيغة (44.9) تسمى صيغة المشتق الكلي.

الحالة العامة: z = ƒ (x ؛ y) ، حيث x = x (u ؛ v) ، y = y (u ؛ v). ثم z = f (x (u ؛ v) ؛ y (u ؛ v)) هي دالة معقدة للمتغيرات المستقلة u و v. يمكن إيجاد مشتقاتها الجزئية باستخدام الصيغة (44.8) على النحو التالي. بعد إصلاح v ، نستبدلها بالمشتقات الجزئية المقابلة

وبالمثل ، نحصل على:

وبالتالي ، فإن مشتق دالة معقدة (z) فيما يتعلق بكل متغير مستقل (u و v) يساوي مجموع منتجات المشتقات الجزئية لهذه الوظيفة (z) فيما يتعلق بمتغيراتها الوسيطة (x و y ) ومشتقاتها فيما يتعلق بالمتغير المستقل المقابل (u و v).

مثال 44.5. أوجد ما إذا كان z = ln (x 2 + y 2) ، x = u v ، y = u / v.

الحل: ابحث عن dz / du (dz / dv - بشكل مستقل) باستخدام الصيغة (44.10):

تبسيط الجانب الأيمن من المساواة الناتجة:

40. المشتقات الجزئية والتفاضل الكلي لدالة من عدة متغيرات.

دع الدالة z = ƒ (x ؛ y) تعطى. نظرًا لأن x و y متغيران مستقلان ، يمكن أن يتغير أحدهما بينما يظل الآخر بدون تغيير. دعونا نعطي المتغير المستقل x زيادة Δx ، مع الحفاظ على قيمة y دون تغيير. بعد ذلك ، ستحصل z على زيادة تسمى الزيادة الجزئية لـ z في x ويُرمز إليها بـ ∆ x z. وبالتالي،

Δ س ض \ u003d ƒ (س + Δ س ؛ ص)-(س ؛ ص).

وبالمثل ، نحصل على زيادة جزئية لـ z بالنسبة إلى y:

Δ y z \ u003d ƒ (x ؛ y + y)-(x ؛ y).

يتم تحديد الزيادة الإجمالية Δz للدالة z من خلال المساواة

Δz \ u003d ƒ (س + Δx ؛ ص + Δ ص) - ƒ (س ؛ ص).

إذا كان هناك حد

ثم يطلق عليه المشتق الجزئي للوظيفة z \ u003d ƒ (x ؛ y) عند النقطة M (x ؛ y) فيما يتعلق بالمتغير x ويشار إليه بأحد الرموز:

المشتقات الجزئية بالنسبة إلى x عند النقطة M 0 (x 0 ؛ y 0) يُرمز إليها عادةً بالرموز

يتم تعريف المشتق الجزئي لـ z \ u003d ƒ (x ؛ y) فيما يتعلق بالمتغير y والإشارة إليه بطريقة مماثلة:

وبالتالي ، فإن المشتق الجزئي لدالة من عدة متغيرات (متغيرات أو ثلاثة أو أكثر) يُعرَّف بأنه مشتق دالة لأحد هذه المتغيرات ، مع مراعاة ثبات قيم المتغيرات المستقلة المتبقية. لذلك ، تم العثور على المشتقات الجزئية للدالة ƒ (x ؛ y) وفقًا للصيغ والقواعد الخاصة بحساب مشتقات دالة لمتغير واحد (في هذه الحالة ، على التوالي ، تعتبر x أو y قيمة ثابتة).

مثال 44.1. أوجد المشتقات الجزئية للدالة z = 2y + e x2-y +1. المحلول:

المعنى الهندسي للمشتقات الجزئية لدالة ذات متغيرين

الرسم البياني للوظيفة z \ u003d ƒ (x ؛ y) هو سطح معين (انظر الفقرة 12.1). الرسم البياني للوظيفة z \ u003d ƒ (x ؛ y 0) هو خط تقاطع هذا السطح مع المستوى y \ u003d y o. استنادًا إلى المعنى الهندسي للمشتق لوظيفة متغير واحد (انظر الفقرة 20.2) ، نستنتج أن ƒ "x (xo ؛ yo) \ u003d tg a ، حيث a هي الزاوية بين محور Ox والماس المرسوم إلى المنحنى z \ u003d ƒ (x ؛ y 0) عند النقطة Mo (xo ؛ yo ؛ ƒ (xo ؛ يو)) (انظر الشكل 208).

وبالمثل ، f "y (x 0 ؛ y 0) \ u003d tgβ.

تسمى الوظيفة Z = f (x، y) القابلة للتفاضل عند النقطة P (x، y) إذا كان يمكن تمثيل الزيادة الإجمالية ΔZ على أنها Δz = A ∙ x + B ∙ Δy + ω (Δx، y) ، حيث Δx و Δy - أي زيادات في الوسيطات المقابلة x و y في بعض المناطق المجاورة للنقطة P و A و B ثابتة (لا تعتمد على Δx و y) ،

ω (Δx، Δy) ترتيب أعلى متناهي الصغر من المسافة:

إذا كانت الدالة قابلة للتفاضل عند نقطة ما ، فإن الزيادة الإجمالية في تلك النقطة تتكون من جزأين:

1. الجزء الرئيسي من زيادة الدالة A ∙ Δx + B y خطي بالنسبة إلى Δx ، Δy

2. وغير الخطي ω (x، Δy) - ترتيب أعلى متناهي الصغر من الجزء الرئيسي من الزيادة.

يُطلق على الجزء الرئيسي من الزيادة في دالة ، وهو خطي بالنسبة إلى Δx ، Δy ، التفاضل الكلي لهذه الوظيفة ويُشار إليه:Δz = A ∙ Δx + B ∙ y و Δx = dx و Δy = dy أو التفاضل الكلي لدالة من متغيرين:

عرض التفاضلية. دالة تفاضلية ومشتقة لدالة عددية لمتغير واحد. جدول مشتق. الاختلاف. ) هي إحدى وظائف الوسيطة ، وهي صغيرة بشكل لا نهائي مثل → 0 ، أي ،

دعونا الآن نوضح العلاقة بين التفاضل عند نقطة ووجود مشتق في نفس النقطة.

نظرية. من أجل الوظيفة F(x) كان قابلاً للتفاضل في نقطة معينة X ، من الضروري والكافي أن يكون لها مشتق محدود في هذه المرحلة.

جدول مشتق.

التفريق بين الوظائف المعقدة

دع هذه الوظيفة ن- الوسائط المتغيرة هي أيضًا وظائف للمتغيرات:

النظرية التالية حول اشتقاق دالة مركبة صحيحة.

نظرية 8.إذا كانت الوظائف قابلة للاشتقاق عند النقطة ، وكانت الوظيفة قابلة للاشتقاق عند النقطة المقابلة ، حيث ،. عندئذٍ تكون الوظيفة المعقدة قابلة للاشتقاق عند النقطة ، ويتم تحديد المشتقات الجزئية بواسطة الصيغ

حيث يتم حساب المشتقات الجزئية عند النقطة ويتم حسابها عند هذه النقطة.

ƒ دعنا نثبت هذه النظرية لدالة ذات متغيرين. اسمحوا ، أ.

واسمحوا ويكون الزيادات التعسفية للحجج وعند النقطة. تتوافق مع زيادات الوظائف وعند النقطة. الزيادات وتتوافق مع زيادة الدالة عند النقطة. نظرًا لأنه قابل للتفاضل عند هذه النقطة ، يمكن كتابة زيادته كـ

أين ويتم حسابها عند النقطة ، عند و. نظرًا لاختلاف الوظائف وعند النقطة نحصل عليها

أين يتم حسابها عند النقطة ؛ .

نعوض (14) في (13) ونعيد ترتيب الحدود

لاحظ أنه منذ ذلك الحين وتميل إلى الصفر كـ. هذا يأتي من حقيقة أن متناهية الصغر عند و. لكن الدوال قابلة للتفاضل ، وبالتالي فهي متصلة عند النقطة. لذلك ، إذا ، ثم. ثم في.

بما أن المشتقات الجزئية محسوبة عند هذه النقطة ، نحصل عليها

دل

وهذا يعني أنه قابل للاشتقاق فيما يتعلق بالمتغيرات و ، و

عاقبة.إذا ، و ، أي ، ثم المشتق بالنسبة للمتغير رمحسوبة بالصيغة

اذا ثم

آخر تعبير يسمى صيغة المشتق الكليلدالة من العديد من المتغيرات.

أمثلة. 1) أوجد المشتق الكلي للدالة ، أين ،.

المحلول.

2) أوجد المشتق الكلي للدالة إذا ،.

المحلول.

باستخدام قواعد اشتقاق دالة معقدة ، نحصل على خاصية مهمة واحدة لتفاضل دالة للعديد من المتغيرات.

إذا كانت المتغيرات المستقلة عبارة عن دالات ، فإن التفاضل بحكم التعريف يساوي:

الآن دع الحجج تكون وظائف قابلة للتفاضل في نقطة ما من الوظيفة فيما يتعلق بالمتغيرات ، ودع الدالة تكون قابلة للاشتقاق فيما يتعلق بالمتغيرات ،. ثم يمكن اعتبارها دالة معقدة للمتغيرات ،. من خلال النظرية السابقة ، هو قابل للتفاضل والعلاقة قائمة

حيث يتم تحديدها بواسطة الصيغ (12). نستبدل (12) في (17) ونجمع المعاملات عند نحصل عليها

نظرًا لأن معامل المشتق يساوي تفاضل الوظيفة ، فقد تم الحصول على الصيغة (16) مرة أخرى لتفاضل الوظيفة المعقدة.

وبالتالي ، فإن الصيغة التفاضلية الأولى لا تعتمد على ما إذا كانت وسيطاتها هي وظائف أو ما إذا كانت مستقلة. هذه الخاصية تسمى ثبات شكل التفاضل الأول.

يمكن أيضًا كتابة صيغة تايلور (29) بصيغة

ƒ سيتم إجراء الإثبات لوظيفة ذات متغيرين أو.

لنفكر أولاً في دالة لمتغير واحد. دع الأوقات قابلة للتفاضل في حي النقطة. صيغة تايلور لدالة متغير واحد مع مصطلح متبقي في صيغة لاغرانج لها

منذ ذلك الحين هو متغير مستقل. من خلال تعريف تفاضل دالة لمتغير واحد

إذا أشرنا إلى ذلك ، فيمكن كتابة (31) كـ

ضع في اعتبارك بعض الجوار لنقطة ونقطة عشوائية فيه وقم بتوصيل النقاط وقطعة خط مستقيم. من الواضح أن إحداثيات ونقاط هذا الخط هي وظائف خطية للمعامل.

في مقطع الخط المستقيم ، تكون الوظيفة دالة معقدة للمعلمة ، منذ ذلك الحين. علاوة على ذلك ، يمكن التفاضل مرات فيما يتعلق وصيغة تايلور (32) صالحة ، حيث ، على سبيل المثال ،

الفروق في الصيغة (32) هي فروق الدالة المعقدة ، حيث ،

استبدال (33) بـ (32) مع مراعاة ذلك نحصل عليها

المصطلح الأخير في (34) يسمى بقية صيغة تايلور في شكل لاغرانج

نلاحظ دون دليل أنه إذا كانت الوظيفة قابلة للاشتقاق في نقطة ما ، وفقًا لافتراضات النظرية ممرات ، ثم يمكن كتابة المصطلح المتبقي كـ شكل بيانو:

الفصل 7

7.1 الفراغ ص ن.مجموعات في الفضاء الخطي.

مجموعة تتكون كل عناصرها من مجموعات مرتبة من نالأعداد الحقيقية تدل عليها وتستدعى ن مساحة حسابية الأبعادوالعدد نمسمى أبعاد الفضاء.عنصر المجموعة يسمى نقطة في الفضاء ، أو متجه ،والأرقام إحداثياتهذه النقطة. النقطة = (0 ، 0 ، ... 0) تسمى صفر أو أصل.

الفضاء هو مجموعة الأعداد الحقيقية ، أي - رقم الخط؛ وهي المستوى الهندسي للإحداثيات ثنائية الأبعاد والفضاء الهندسي للإحداثيات ثلاثية الأبعاد ، على التوالي. النواقل ، ... ، تسمى أساس واحد.

بالنسبة لعنصرين من مجموعة ، يتم تحديد مفاهيم مجموع العناصر ومنتج العنصر برقم حقيقي:

من الواضح ، بحكم هذا التعريف وخصائص الأعداد الحقيقية ، أن المساواة صحيحة:

وفقًا لهذه الخصائص ، تسمى المساحة أيضًا خطي (متجه)الفضاء.

في الفضاء الخطي يتم تعريفه منتج عدديالعناصر وكعدد حقيقي محسوب وفق القاعدة التالية:

الرقم يسمى طول النواقلأو القاعدة. نواقل وتسمى متعامد، إذا . قيمة

, )= │ - │ =

مسمى التباعد بين العناصرو .

إذا كانت نواقل غير صفرية ، إذن زاويةبينهما يسمى زاوية من هذا القبيل

من السهل ملاحظة أنه بالنسبة لأي عنصر ورقم حقيقي ، يتم تنفيذ المنتج القياسي:

يسمى الفراغ الخطي مع المنتج القياسي المحدد فيه بواسطة الصيغة (1) الفضاء الإقليدي.

دعونا نشير و. مجموعة كل النقاط التي تحتوي عليها المتباينات

مسمى ن -قياس المكعببحافة وتتركز عند النقطة. على سبيل المثال ، المكعب ثنائي الأبعاد عبارة عن مربع يتوسط جانبه جانبه.

تسمى مجموعة النقاط التي تحقق عدم المساواة ن الكرةيتم توسيط نصف القطر عند ، وهو ما يسمى أيضًا

- حي النقطةفي والدلالة ،

وبالتالي ، فإن الكرة ذات البعد الواحد هي فاصل من الطول. كرة ثنائية الأبعاد

هناك دائرة فيها المتباينة

التعريف 1. المجموعة تسمى محدود، إن وجدت
نهي كرة تحتوي على هذه المجموعة.

التعريف 2. تسمى الوظيفة المحددة في مجموعة الأعداد الطبيعية وأخذ القيم التي تنتمي إليها تسلسلفي الفضاء ويشير إليها ، أين.

التعريف 3. النقطة تسمى حد التسلسل، إذا كان هناك رقم طبيعي لعدد موجب تعسفي بحيث ينطبق عدم المساواة على أي رقم.

رمزيا ، هذا التعريف مكتوب على النحو التالي:

تعيين:

ويترتب على التعريف 3 أن ، لـ. يسمى هذا التسلسل متقاربةل .

إذا لم يتقارب التسلسل مع أي نقطة ، فسيتم استدعاؤه متشعب.

نظرية 1.لكي يتقارب التسلسل إلى نقطة ما ، من الضروري والكافي ذلك لأي رقم ، أي إلى تسلسل أنا- إحداثيات س للنقاط المتقاربة أنا- إحداثيات النقطة.

□ الدليل يأتي من عدم المساواة

التسلسل يسمى محدود، إذا كانت مجموعة قيمها محدودة ، أي

مثل التسلسل الرقمي ، يتم تقييد تسلسل النقاط المتقارب وله حد واحد.

التعريف 4. التسلسل يسمى أساسي(تسلسل كوشي), إذا كان لأي رقم موجب ، يمكن للمرء تحديد رقم طبيعي مثل الأرقام الطبيعية التعسفية وأكبر من ، أي

نظرية 2(معيار كوشي). لكي يتقارب التسلسل ، من الضروري والكافي أن يكون أساسيًا.

ضرورة.دعونا نتقارب إلى نقطة. ثم نحصل على تسلسل مقارب إلى. . . ،… ، يسمى X منطقةفي . إذا X -المنطقة ، ثم يسمى إغلاقها منطقة مغلقة.

مجموعات Xو صمسمى قابل للفصل، إذا لم يكن أي منها يحتوي على نقاط اتصال للآخر.

الكثير من Xمسمى ذات صلةإذا كان لا يمكن تمثيله على أنه اتحاد لمجموعتين منفصلتين.

الكثير من Xمسمى محدب , إذا كان من الممكن توصيل أي نقطتين من نقاطه بواسطة مقطع ينتمي بالكامل إلى هذه المجموعة.

مثال. بناءً على التعريفات أعلاه ، يمكن القول أن

- المجموعة المتصلة ، المتصلة خطيًا ، المفتوحة ، غير المحدبة ، هي منطقة.

- المجموعة المتصلة ، المتصلة خطيًا ، غير المفتوحة ، غير المحدبة ، ليست مجالًا.

- مجموعة غير متصلة ، غير متصلة خطيًا ، مفتوحة ، غير محدبة ، ليست منطقة.

- غير متصل ، غير متصل خطيًا ، مجموعة مفتوحة ، ليس مجالًا.

- مجموعة متصلة ، متصلة خطيًا ، مفتوحة ، هي مجال.

مثال. ابحث إذا وأين.

المحلول. وفقًا للصيغة (1) لدينا:

مثال. أوجد المشتق الجزئي والمشتق الكلي إذا .

المحلول. .

بناءً على الصيغة (2) ، نحصل عليها .

2°. حالة العديد من المتغيرات المستقلة.

اسمحوا ان ض = و (س ؛ ص) -دالة لمتغيرين Xو ذكل منها دالة

متغير مستقل t: x = x (t)، y = y (t).في هذه الحالة ، الوظيفة ض = و (س (تي) ؛ ص (ر))هو

دالة معقدة لمتغير مستقل واحد ر ؛المتغيرات x و y متغيرات وسيطة.

نظرية. إذا ض == F(x ؛ ذ) -قابلة للتفاضل عند نقطة ما م (س ؛ ص) دوظيفة

و س = س (ر)و في =ص (ر) -دوال قابلة للتفاضل للمتغير المستقل ر

ثم مشتق الدالة المعقدة ض (ر) == F(س (ر) ؛ ص (ر))محسوبة بالصيغة

(3)

حالة خاصة: z = و (س ؛ ص) ،حيث y = ص (س) ،أولئك. ض = و (س ؛ ص (خ)) -وظيفة معقدة من

متغير مستقل X.هذه الحالة تختزل إلى الحالة السابقة ، ودور المتغير

ريلعب X.وفقًا للصيغة (3) لدينا:

.

الصيغة الأخيرة تسمى الصيغ للمشتق الكلي.

الحالة العامة: z = و (س ؛ ص) ،أين س = س (ش ؛ ت) ، ص = ص (ش ؛ ت).ثم z = و (س (ش ؛ ت) ؛ ص (ش ؛ ت)) -مركب

وظيفة المتغيرات المستقلة وو الخامس.يمكن العثور على مشتقاته الجزئية

باستخدام الصيغة (3) على النحو التالي. اصلاح الخامس،استبدل فيه

المشتقات الجزئية المقابلة

إذن ، مشتق الدالة المركبة (z) بالنسبة إلى كل متغير مستقل (وو الخامس)

يساوي مجموع منتجات المشتقات الجزئية لهذه الوظيفة (ض) بالنسبة إلى وسيطها

المتغيرات (س و ص)لمشتقاتها فيما يتعلق بالمتغير المستقل المقابل (ش و ت).

في جميع الحالات تعتبر الصيغة

(خاصية ثبات التفاضل الكلي).

مثال. ابحث عن z = F(x ، y) ، حيث x = uv ،.

نظرية.اسمحوا ان ش = و (س ، ص)ويرد في المجال D والسماح س = س (ر)و ص = ص (ر)المحددة في المنطقة , وعندما , ثم x و y ينتميان إلى المنطقة D. اجعل الدالة u قابلة للاشتقاق عند النقطة M. 0 (x 0 ,ذ 0 ,ض 0)، والوظائف x(ر) وعلى(ر) قابلة للتفاضل عند النقطة المقابلة لها 0 ، ثم الدالة المعقدة u = f[x(ر),ذ(ر)]= F. (ر)قابل للتفاضل في تي 0 وتنطبق المساواة التالية:

.

دليل.بما أن ش قابلة للتفاضل المشروط عند النقطة ( x 0 , ذ 0) ، ثم يتم تمثيل الزيادة الإجمالية على أنها

بقسمة هذه النسبة على ، نحصل على:

دعونا ننتقل إلى الحد عند ونحصل على الصيغة

.

ملاحظة 1.إذا ش= ش(س ، ص) و x= x, ذ= ذ(x) ، ثم المشتق الكلي للدالة شحسب المتغير X

أو .

يمكن استخدام المساواة الأخيرة لإثبات قاعدة التفريق بين دالة لمتغير واحد مُعطاة ضمنيًا في النموذج F(x, ذ) = 0 أين ذ= ذ(x) (انظر الموضوع رقم 3 والمثال 14).

لدينا: . من هنا . (6.1)

دعنا نعود إلى المثال 14 للموضوع رقم 3:

;

.

كما ترى ، الإجابات هي نفسها.

ملاحظة 2.اسمحوا ان ش = F (س ، ص)، أين X= X(ر ، الخامس), في= في(ر ، الخامس). إذن u هي في النهاية دالة معقدة لمتغيرين رو الخامس. إذا كانت الدالة u قابلة للاشتقاق الآن م 0 (x 0 , ذ 0) والوظائف Xو فيقابلة للتفاضل عند النقطة المقابلة ( ر 0 , الخامس 0) ، فيمكننا التحدث عن المشتقات الجزئية فيما يتعلق بـ رو الخامسمن وظيفة معقدة عند نقطة ( ر 0 , الخامس 0). ولكن إذا كنا نتحدث عن المشتق الجزئي بالنسبة إلى t عند نقطة محددة ، فإن المتغير الثاني v يعتبر ثابتًا ويساوي الخامس 0. لذلك ، نحن نتحدث عن مشتقة دالة معقدة فقط بالنسبة إلى t ، وبالتالي ، يمكننا استخدام الصيغة المشتقة. وهكذا نحصل.

دع الدالة z - f (x، y) تُحدد في بعض المجالات D على مستوى xOy. لنأخذ نقطة داخلية (x، y) من المنطقة D ونعطي x زيادة فأس بحيث تكون النقطة (x + Ax، y) 6 D (الشكل 9). لنسمي القيمة زيادة جزئية للدالة z بالنسبة إلى x. يؤلف النسبة بالنسبة لنقطة معينة (س ، ص) ، هذه النسبة هي دالة تعريف. إذا كانت العلاقة ^ بالنسبة لـ Ax - * 0 لها حد محدود ، فإن هذا الحد يسمى المشتق الجزئي للدالة z = / (x ، y) فيما يتعلق بالمتغير المستقل x عند النقطة (x ، y) وهو يُشار إليها بالرمز jfc (أو / i (x ، jj) ، أو z "x (x ، بنفس الطريقة ، حسب التعريف ، أو ، بشكل مماثل ، إذا كانت دالة لـ n متغيرات مستقلة ، ثم ملاحظة أنه يتم حساب Arz بقيمة المتغير y بدون تغيير ، و Atz بقيمة المتغير x بدون تغيير ، يمكن صياغة تعريفات المشتقات الجزئية على النحو التالي: المشتقات الجزئية المعنى الهندسي للمشتقات الجزئية لدالة من متغيرين دالة من عدة متغيرات الشروط الضرورية لتفاضل دالة شروط كافية لتمايز وظائف عدة متغيرات تفاضل إجمالي.) يسمى المشتق العادي لهذه الوظيفة فيما يتعلق بـ x ، محسوب على افتراض أن y ثابت ؛ المشتق الجزئي بالنسبة إلى y للدالة z - / (x ، y) هي مشتقها بالنسبة إلى y ، محسوبة على افتراض أن x ثابت. ويترتب على ذلك أن قواعد حساب المشتقات الجزئية تتوافق مع القواعد المثبتة لوظيفة ذات متغير واحد. مثال. أوجد المشتقات الجزئية للدالة 4 لدينا بدائل *. إن وجود الدالة y = / (x، y) عند نقطة معينة من المشتقات الجزئية فيما يتعلق بجميع الحجج لا يعني استمرارية الوظيفة في هذه المرحلة. إذن ، الدالة ليست متصلة عند النقطة 0 (0،0). ومع ذلك ، في هذه المرحلة ، تحتوي هذه الدالة على مشتقات جزئية بالنسبة إلى x بالنسبة إلى y. هذا ناتج عن حقيقة أن / (x، 0) = 0 و / (0، y) = 0 ، وبالتالي المعنى الهندسي للمشتقات الجزئية لدالة من متغيرين. دع السطح S في الفضاء ثلاثي الأبعاد يكون تعطى بالمعادلة حيث f (x، y) دالة ، متصلة في بعض المجالات D ولها مشتقات جزئية بالنسبة إلى x و y هناك. دعونا نكتشف المعنى الهندسي لهذه المشتقات عند النقطة Mo (x0، y0) 6 D ، التي تقابلها النقطة f (x0) yo) على السطح z = f (x) y). عند إيجاد المشتق الجزئي عند النقطة M0 ، نفترض أن z ليست سوى دالة في الوسيطة x ، بينما تحتفظ الوسيطة y بقيمة ثابتة y \ u003d yo ، أي أن الدالة fi (x) ممثلة هندسيًا بالمنحنى L ، حيث يتقاطع السطح S مع المستوى y \ u003d تقريبًا. بسبب المعنى الهندسي لمشتق دالة لمتغير واحد ، f \ (xo) = tg a ، حيث a هي الزاوية التي شكلها الظل للخط L عند النقطة JV0 مع محور Ox (الشكل 10) . لكن هكذا ، فإن المشتق الجزئي ($ |) يساوي ظل الزاوية a بين محور Ox والماس عند النقطة N0 للمنحنى الذي تم الحصول عليه في قسم السطح z \ u003d / (x ، y) بالمستوى y وبالمثل نحصل على §6. قابلية تفاضل دالة من عدة متغيرات دع الوظيفة z = / (x، y) تحدد في بعض المجالات D على مستوى xOy. دعونا نأخذ نقطة (x، y) € D ونعطي القيم المختارة x و y أي زيادات في Ax و Dy ، لكن هذه هي النقطة. تعريف. تسمى الوظيفة r = / (x، y) نقطة قابلة للتفاضل * (x، y) € 2E إذا كان بالإمكان تمثيل الزيادة الإجمالية لهذه الوظيفة ، المقابلة للزيادات Dx ، Dy للوسيطات ، حيث يمكن تمثيل A و B لا تعتمد على Dx و D y (ولكن بشكل عام يعتمدان على x و y) ، بينما تميل a (Ax، Dy) و f (Ax، Dy) إلى الصفر بينما يميل كل من Ax و Dy إلى الصفر. . إذا كانت الدالة z = / (x ، y) قابلة للتفاضل عند النقطة (x ، y) ، فإن الجزء A Dx 4 - VDy من الزيادة في الدالة ، الخطي فيما يتعلق بـ Dx و Dy ، يسمى التفاضل الكلي من هذه الوظيفة عند النقطة (x، y) ويشار إليها بالرمز dz: طريقة التنيم مثال. دع r = x2 + y2. في أي نقطة (ص ، ص) ولأي Dx و Dy لدينا هنا. يتبع ذلك أن a و / 3 يميلان إلى الصفر حيث يميل كل من Ax و Dy إلى الصفر. بحكم التعريف ، هذه الوظيفة قابلة للتفاضل في أي نقطة في مستوى xOy. نلاحظ هنا أنه في منطقنا لم نستبعد رسميًا الحالة عندما تكون الزيادات Dx أو Dy بشكل منفصل أو حتى كلاهما تساوي صفرًا دفعة واحدة. يمكن كتابة الصيغة (1) بشكل أكثر إحكاما إذا قدمنا ​​التعبير (المسافة بين النقطتين (باستخدامها ، يمكننا كتابة التعبير بين قوسين بواسطة e ، سيكون لدينا حيث c يعتمد على J ، Du ويميل إلى الصفر إذا J 0 و Dy 0 ، أو باختصار ، إذا كانت p 0. يمكن الآن كتابة الصيغة (1) ، التي تعبر عن شرط أن تكون الوظيفة z = f (xt y) قابلة للاشتقاق عند النقطة (x ، y) كما هو الحال في المثال 6.1 أعلاه. النظرية 4. إذا كانت الدالة r = f (x، y) قابلة للاشتقاق عند نقطة ما ، فإنها تكون متصلة عند هذه النقطة .4 إذا كانت الدالة r = f (x ، y) قابلة للاشتقاق عند النقطة (x ، y) ، عندئذٍ يمكن تمثيل إجمالي الزيادة في الوظيفة i عند هذه النقطة "" e ، المقابلة للزيادات j و dy في الوسيطتين ، على أنه / (x ، y) مستمر. اجعل الدالة z = / (x، y) قابلة للاشتقاق عند نقطة (x، y). ثم يمكن تمثيل الزيادة Dx لهذه الوظيفة ، والتي تتوافق مع الزيادات Dx ، Ay للوسائط ، في الشكل (1). مع الأخذ في الاعتبار المساواة (1) Dx Ф 0 ، Dn \ u003d 0 ، نحصل من حيث حيث أن القيمة A لا تعتمد على الجانب الأيمن من المساواة الأخيرة ، وهذا يعني أنه عند النقطة (x ، y) يوجد مشتق جزئي للدالة r \ u003d / (x ، y) فيما يتعلق بـ x ، ومن خلال التفكير المماثل نرى أن (x ، هناك مشتق جزئي للدالة zу ، ويتبع من النظرية التي نؤكدها 5 يؤكد وجود مشتقات جزئية فقط عند النقطة (س ، ص) ، لكنه لا يقول أي شيء عن استمراريتها 6.2 شروط كافية لتمايز وظائف العديد من المتغيرات كما هو معروف ، شرط ضروري وكاف لتمايز دالة y = f (x) لمتغير واحد عند النقطة xo هي وجود مشتق منتهي / "(x) عند النقطة x0. في الحالة التي تعتمد فيها الوظيفة على عدة متغيرات ، يكون الموقف أكثر تعقيدًا : لا توجد شروط ضرورية وكافية للتفاضل للدالة z = / (x، y) لمتغيرين مستقلين x، y؛ يوجد l ابحث عن الشروط اللازمة (راجع. أعلاه) وبشكل منفصل - كافية. يتم التعبير عن هذه الشروط الكافية لتمايز وظائف العديد من المتغيرات من خلال النظرية التالية. نظرية ج. إذا كانت الدالة تحتوي على مشتقات جزئية / £ و f "v في بعض المناطق المجاورة للخط الرفيع (xo، y0) وإذا كانت هذه المشتقات متصلة عند النقطة (xo، y0) نفسها ، فإن الدالة z = f (x، y ) قابل للتفاضل عند النقطة (x- مثال: ضع في اعتبارك دالة مشتقات جزئية المعنى الهندسي للمشتقات الجزئية لدالة من متغيرين تفاضل دالة من عدة متغيرات شروط ضرورية لتفاضل دالة شروط كافية لتفاضل وظائف متعددة المتغيرات المجموع التفاضلات الجزئية التفاضلية مشتقات دالة معقدة يتم تعريفها في كل مكان بناءً على تعريف المشتقات الجزئية ، لدينا ™ من هذه الوظيفة عند النقطة 0 (0 ، 0) التي نجدها وتزداد حدة هذه الزيادة. 0 و Du 0. نحن ضع D0. ثم من الصيغة (1) سيكون لدينا لذلك ، الدوال / (x، y) \ u003d غير قابلة للتفاضل عند النقطة 0 (0 ، 0) ، على الرغم من أنه في هذه المرحلة ننتج fa و f "r مقتنى يتم تفسير النتيجة من خلال حقيقة أن المشتقات f "z و f" t غير متصلة عند النقطة §7. تفاضل كامل. الفروق الجزئية إذا كانت الدالة r - f (z> y) قابلة للتفاضل ، فإن آخر تفاضل لها dz هو زياداتها: بعد ذلك ، تأخذ صيغة التفاضل الكلي للدالة المثال. دع i - 1l (x + y2). ثم بالمثل ، إذا كانت u =) دالة قابلة للتفاضل لمتغيرات مستقلة n ، فإن التعبير يسمى التفاضل الهزيل للدالة z = f (x ، y) فيما يتعلق بالمتغير x ؛ يسمى التعبير التفاضل الجزئي للدالة z = / (x، y) للمتغير y. ويترتب على الصيغ (3) و (4) و (5) أن التفاضل الكلي للدالة هو مجموع فروقها الجزئية: لاحظ أن الزيادة الكلية Az للدالة z = / (x ، y) ، بشكل عام ، لا يساوي مجموع الزيادات الجزئية. إذا كانت الدالة z = / (x، y) عند نقطة ما قابلة للتفاضل وكان التفاضل dz Φ 0 عند هذه النقطة ، فإن الزيادة الإجمالية لها تختلف عن الجزء الخطي فقط بمجموع المصطلحات الأخيرة aAx 4 - /؟ 0 و Ay -> O هي اللامتناهيات في الصغر بترتيب أعلى من شروط الجزء الخطي. لذلك ، عندما dz Ф 0 ، يسمى الجزء الخطي من الزيادة في دالة قابلة للتفاضل الجزء الرئيسي من الزيادة في الوظيفة ويتم استخدام صيغة تقريبية ستكون أكثر دقة ، كلما كانت القيمة المطلقة أصغر للزيادات الحجج. §8. مشتقات دالة معقدة 1. دع الدالة تُحدد في بعض المجالات D على مستوى xOy ، وكل من المتغيرات x ، y ، بدورها ، هي دالة في الوسيطة t: سنفترض أنه عندما يتغير t في الفاصل الزمني (النقاط المقابلة (x ، y) لا تخرج خارج المجال D. إذا استبدلنا القيم في الدالة z = / (x ، y) ، فإننا نحصل على دالة معقدة لمتغير واحد t. بالنسبة للقيم المقابلة ، فإن الوظيفة / (x ، y) قابلة للتفاضل ، ثم الوظيفة المعقدة عند النقطة t لها مشتق و M دعونا نعطي t زيادة Dt. ثم x و y ستتلقى بعض الزيادات Ax و Dy. نتيجة لذلك ، عندما (J) 2 + (Dy) 2 0 ، ستتلقى الوظيفة z أيضًا بعض الزيادة Dt ، والتي بسبب تفاضل الوظيفة z = / (x ، y) عند النقطة (x ، ص) يمكن تمثيلها على أنها حيث أ) تميل إلى الصفر حيث يميل كل من Ax و Du إلى الصفر. نقوم بتوسيع تعريف a و / 3 لـ Ax = Ay = 0 عن طريق تعيين ثم a (ستكون مستمرة لـ J = Dy = 0. ضع في اعتبارك أن العلاقة المعينة ثابتة ، بشرط وجود حدود من وجود المشتقات ^ وعند النقطة £ يتبع ذلك أن الدالتين x = y (t) و y = متصلتان عند هذه النقطة ؛ لذلك ، عند 0 يميل كل من J و Dy إلى الصفر ، وهذا بدوره يستلزم a (Ax، Dy) و P (Ax، Ay) تميل إلى الصفر.وبالتالي ، فإن الجانب الأيمن من المساواة (2) عند 0 له حد يساوي ، ومن ثم ، فإن حد الجانب الأيسر لـ (2) موجود عند 0 ، أي و هـ.يوجد تمرير مساوٍ في المساواة (2) إلى الحد كما في - »0 ، نحصل على الصيغة المطلوبة في الحالة المعينة عندما تكون z ، بالتالي ، دالة معقدة لـ x ، نحصل على y) على x ، في الحساب الذي تؤخذ فيه الوسيطة y كثابت في التعبير / (x، y). وهناك المشتق الكلي للدالة z فيما يتعلق بالمتغير المستقل x ، حيث لم يعد y في التعبير / (x، y) يعتبر ثابتًا ، ولكنه يعتبر بدوره دالة في x : y = tp (x) t وبالتالي فإن اعتماد z على يؤخذ في الاعتبار بالكامل. مثال. أوجد و jg إذا 2. فكر الآن في اشتقاق دالة معقدة لعدة متغيرات. لنفترض أنه عند النقطة (() توجد مشتقات جزئية مستمرة u ، 3؟ وفي النقطة المقابلة (x ، y) ، حيث تكون الوظيفة f (x ، y) قابلة للاشتقاق. دعنا نوضح ذلك في ظل هذه الظروف ، يكون للمشتق المعقد z = z (() y) عند النقطة t7) مشتقات و u ، ونجد تعبيرات لهذه المشتقات. لاحظ أن هذه الحالة لا تختلف اختلافًا كبيرًا عن الحالة التي تمت دراستها بالفعل. في الواقع ، عندما يتم التفريق بين z بالنسبة إلى £ ، فإن المتغير المستقل الثاني rj يؤخذ على أنه ثابت ، ونتيجة لذلك تصبح x و y دالات لنفس المتغير x "= c) ، y = c) في هذه العملية ، ويتم حل مسألة المشتق بنفس الطريقة تمامًا مثل مسألة المشتق في اشتقاق الصيغة (3) باستخدام الصيغة (3) واستبدال المشتقات g و ^ فيها رسميًا بالمشتقات u وعلى التوالي ، نحن الحصول على إذا كانت دالة معقدة "محددة بواسطة الصيغ بحيث ، إذا تم استيفاء الشروط المناسبة ، فلدينا في الحالة الخاصة عندما و = حيث المشتقات الجزئية المعنى الهندسي للمشتقات الجزئية لدالة من متغيرين الشروط الضرورية لتفاضل دالة شروط كافية لتمايز وظائف عدة متغيرات تفاضل كامل تفاضل جزئي لدينا مشتقات دالة معقدة هنا m هو المشتق الجزئي الكلي للدالة وفيما يتعلق بالمتغير المستقل x ، مع مراعاة الاعتماد الكامل لـ x ، بما في ذلك ومن خلال z = z (x ، y) ،