Nechť z=ƒ(x;y) je funkcí dvou proměnných x a y, z nichž každá je funkcí nezávisle proměnné t: x = x(t), y = y(t). V tomto případě je funkce z = f(x(t);y(t)) komplexní funkcí jedné nezávisle proměnné t; proměnné x a y jsou přechodné proměnné.

Věta 44.4. Jestliže z \u003d ƒ (x; y) je funkce diferencovatelná v bodě M (x; y) є D a x \u003d x (t) a y \u003d y (t) jsou diferencovatelné funkce nezávislé proměnné t, pak derivaci komplexní funkce z (t ) = f(x(t);y(t)) vypočteme podle vzorce

Dejme nezávislé proměnné t přírůstek Δt. Potom funkce x = x(t) a y = y(t) obdrží přírůstky Δx a Δy. Ty zase způsobí, že funkce z inkrementuje Az.

Protože je pomocí podmínky funkce z - ƒ(x; y) diferencovatelná v bodě M(x; y), lze její celkový přírůstek reprezentovat jako

kde a→0, β→0 jako Δх→0, Δу→0 (viz bod 44.3). Výraz Δz rozdělíme Δt a přejdeme k limitě jako Δt→0. Pak Δх→0 a Δу→0 kvůli spojitosti funkcí x = x(t) a y = y(t) (podle podmínky věty jsou diferencovatelné). Dostaneme:

Speciální případ: z=ƒ(x;y), kde y=y(x), tj. z=ƒ(x;y(x)) je komplexní funkce jedné nezávisle proměnné x. Tento případ se redukuje na předchozí, přičemž x hraje roli proměnné t. Podle vzorce (44.8) máme:

Vzorec (44.9) se nazývá celkový derivační vzorec.

Obecný případ: z=ƒ(x;y), kde x=x(u;v), y=y(u;v). Pak z= f(x(u;v);y(u;v)) je komplexní funkcí nezávislých proměnných u a v. Jeho parciální deriváty lze nalézt pomocí vzorce (44.8) následovně. Když máme pevné v, nahradíme ho odpovídajícími parciálními derivacemi

Podobně získáme:

Derivace komplexní funkce (z) vzhledem ke každé nezávisle proměnné (u a v) je tedy rovna součtu součinů parciálních derivací této funkce (z) vzhledem k jejím meziproměnným (x a y). ) a jejich deriváty vzhledem k odpovídající nezávisle proměnné (u a v).

Příklad 44.5. Zjistěte, zda z=ln(x 2 +y 2), x=u v, y=u/v.

Řešení: Najděte dz/du (dz/dv - nezávisle) pomocí vzorce (44.10):

Zjednodušte pravou stranu výsledné rovnosti:

40. Parciální derivace a totální diferenciál funkce více proměnných.

Nechť je dána funkce z = ƒ (x; y). Protože x a y jsou nezávislé proměnné, jedna z nich se může měnit, zatímco druhá zůstává nezměněna. Nezávislé proměnné x přiřaďme přírůstek Δx, přičemž hodnota y zůstane nezměněna. Potom z obdrží přírůstek, který se nazývá částečný přírůstek z v x a je označen ∆ x z. Tak,

A x z \u003d ƒ (x + A x; y) -ƒ (x; y).

Podobně získáme částečný přírůstek z vzhledem k y:

Δ y z \u003d ƒ (x; y + Δy) -ƒ (x; y).

Celkový přírůstek Δz funkce z je definován rovností

Δz \u003d ƒ (x + Δx; y + Δy) - ƒ (x; y).

Pokud existuje limit

pak se nazývá parciální derivace funkce z \u003d ƒ (x; y) v bodě M (x; y) vzhledem k proměnné x a značí se jedním ze symbolů:

Parciální derivace vzhledem k x v bodě M 0 (x 0; y 0) se obvykle označují symboly

Parciální derivace z \u003d ƒ (x; y) vzhledem k proměnné y je definována a označena podobným způsobem:

Parciální derivace funkce několika (dvou, tří nebo více) proměnných je tedy definována jako derivace funkce jedné z těchto proměnných, s výhradou stálosti hodnot zbývajících nezávislých proměnných. Proto se parciální derivace funkce ƒ(x; y) nalézají podle vzorců a pravidel pro výpočet derivací funkce jedné proměnné (v tomto případě je x, resp. y považováno za konstantní hodnotu).

Příklad 44.1. Najděte parciální derivace funkce z = 2y + e x2-y +1. Rozhodnutí:

Geometrický význam parciálních derivací funkce dvou proměnných

Graf funkce z \u003d ƒ (x; y) je určitá plocha (viz odstavec 12.1). Graf funkce z \u003d ƒ (x; y 0) je přímka průsečíku tohoto povrchu s rovinou y \u003d y o. Na základě geometrického významu derivace pro funkci jedné proměnné (viz kapitola 20.2) docházíme k závěru, že ƒ "x (x o; y o) \u003d tg a, kde a je úhel mezi osou Ox a tečnou k křivka z \u003d ƒ (x; y 0) v bodě Mo (xo; yo; ƒ (xo; yo)) (viz obr. 208).

Podobně f "y (x 0; y 0) \u003d tgp.

Funkce Z=f(x,y) se nazývá diferencovatelná v bodě P(x,y), pokud její celkový přírůstek ΔZ lze vyjádřit jako Δz = A∙Δx+B∙Δy+ω(Δx,Δy), kde Δx a Δy – jakékoli přírůstky odpovídajících argumentů x a y v nějakém okolí bodu P, A a B jsou konstantní (nezávisí na Δx, Δy),

ω(Δx,Δy) je nekonečně malý vyšší řád než vzdálenost:

Pokud je funkce v bodě diferencovatelná, pak se její celkový přírůstek v tomto bodě skládá ze dvou částí:

1. Hlavní část přírůstku funkce A∙Δx+B∙Δy je lineární vzhledem k Δx,Δy

2. A nelineární ω(Δx,Δy) - nekonečně malý vyšší řád, než je hlavní část přírůstku.

Hlavní část přírůstku funkce, která je lineární vzhledem k Δx,Δy, se nazývá totální diferenciál této funkce a označuje se:Δz = A∙Δx+B∙Δy, Δx=dx a Δy=dy nebo celkový diferenciál funkce dvou proměnných:

Rozdíl zobrazení. Diferenciál a derivace numerické funkce jedné proměnné. Tabulka derivátů. Diferencovatelnost. ) je funkcí argumentu , který je nekonečně malý jako →0, tj.

Ujasněme si nyní souvislost mezi diferencovatelností v bodě a existencí derivace ve stejném bodě.

Teorém. Aby funkce F(X) byl v daném bodě diferencovatelný X , je nutné a postačující, že má v tomto bodě konečnou derivaci.

Tabulka derivátů.

Diferenciace komplexních funkcí

Nechte pro funkci n- argumenty proměnných jsou také funkcemi proměnných:

Platí následující věta o derivování složené funkce.

Věta 8. Pokud jsou funkce diferencovatelné v bodě , a funkce je diferencovatelná v odpovídajícím bodě , kde , . Pak je komplexní funkce diferencovatelná v bodě a parciální derivace jsou určeny vzorci

kde se parciální derivace počítají v bodě a počítají se v bodě .

ƒ Dokažme tuto větu pro funkci dvou proměnných. Nechte , a .

Dovolit a být libovolné přírůstky argumentů a v bodě . Odpovídají přírůstkům funkcí a bodu . Přírůstky a odpovídají přírůstku funkce v bodě . Protože je diferencovatelný v bodě , lze jeho přírůstek zapsat jako

kde a jsou vypočteny v bodě , v a . Vzhledem k diferencovatelnosti funkcí a v bodě , získáme

kde se počítá v bodě ; .

Dosadíme (14) do (13) a přeuspořádáme pojmy

Všimněte si, že as , since a inklinují k nule jako . Vyplývá to ze skutečnosti, že infinitezimální at a . Ale funkce a jsou diferencovatelné, a proto jsou v bodě spojité. Proto pokud a , tak . Potom a v .

Protože parciální derivace jsou počítány v bodě , dostaneme

Označit

a to znamená, že je diferencovatelný s ohledem na proměnné a , a

Následek. Pokud , a , , tzn. , pak derivace vzhledem k proměnné t vypočítané podle vzorce

Pokud, pak

Poslední výraz se nazývá celkový derivační vzorec pro funkci mnoha proměnných.

Příklady. 1) Najděte celkovou derivaci funkce , kde , .

Rozhodnutí.

2) Najděte celkovou derivaci funkce if , .

Rozhodnutí.

Pomocí pravidel derivace komplexní funkce získáme jednu důležitou vlastnost diferenciálu funkce mnoha proměnných.

Pokud jsou nezávislé proměnné funkce, pak je diferenciál podle definice roven:

Nyní nechť jsou argumenty diferencovatelné funkce v nějakém bodě funkce s ohledem na proměnné a nechť je funkce diferencovatelná s ohledem na proměnné , . Pak ji lze považovat za komplexní funkci proměnných , . Podle předchozí věty je diferencovatelný a vztah platí

kde je určeno vzorcem (12). Dosadíme (12) do (17) a sečtením koeficientů v , dostaneme

Protože koeficient derivace je roven diferenciálu funkce , byl pro diferenciál komplexní funkce opět získán vzorec (16).

První diferenciální formule tedy nezávisí na tom, zda jsou její argumenty funkcemi nebo zda jsou nezávislé. Tato vlastnost se nazývá invariance tvaru prvního diferenciálu.

Taylorův vzorec (29) lze také zapsat jako

ƒ Důkaz bude proveden pro funkci dvou proměnných nebo .

Uvažujme nejprve funkci jedné proměnné. Nechť jsou časy diferencovatelné v okolí bodu. Taylorův vzorec pro funkci jedné proměnné se zbytkovým členem v Lagrangeově vzorci má

Protože je nezávislá proměnná, pak . Podle definice diferenciálu funkce jedné proměnné

Pokud označíme , pak (31) lze zapsat jako

Zvažte nějaké okolí bodu a libovolný bod v něm a spojte body a úsečku. Je zřejmé, že souřadnice a body této přímky jsou lineárními funkcemi parametru.

Na úsečce je funkce komplexní funkcí parametru , protože . Navíc je časově diferencovatelný vzhledem k a Taylorův vzorec (32) je platný pro, kde , tj.

Diferenciály ve vzorci (32) jsou diferenciály komplexní funkce , kde , , , tzn.

Dosazením (33) do (32) a zohledněním toho dostaneme

Poslední člen v (34) se nazývá zbytek Taylorova vzorce v Lagrangeova forma

Bez důkazu poznamenáváme, že pokud je za předpokladu věty funkce diferencovatelná v bodě m krát, pak lze zbytek zapsat jako Peano forma:

Kapitola 7

7.1. Prostor R n Sady v lineárním prostoru.

Množina, jejíž prvky jsou všechny uspořádané množiny n reálná čísla, označená a volaná n-rozměrný aritmetický prostor a číslo n volala rozměr prostoru. Prvek množiny se nazývá bod v prostoru nebo vektor, a čísla souřadnice tento bod. Zavolá se bod =(0, 0, …0). nula nebo původ.

Prostor je množina reálných čísel, tzn. - číselná řada; a jsou dvourozměrná souřadnicová geometrická rovina a trojrozměrný souřadnicový geometrický prostor, v tomto pořadí. Nazývají se vektory , , … jediný základ.

Pro dva prvky množiny jsou definovány pojmy součtu prvků a součin prvku reálným číslem:

Je zřejmé, že na základě této definice a vlastností reálných čísel jsou rovnosti pravdivé:

Podle těchto vlastností se prostor také nazývá lineární (vektor) prostor.

V lineárním prostoru je definován skalární součin prvků a jako reálné číslo vypočítané podle následujícího pravidla:

Číslo se volá vektorová délka nebo norma. Volají se vektory a ortogonální, pokud . Hodnota

, )= │ - │ =

volala rozestupy mezi prvky a .

Jestliže a jsou nenulové vektory, pak úhel mezi nimi se nazývá úhel takový, že

Je snadné vidět, že pro všechny prvky a reálné číslo se provádí skalární součin:

Nazývá se lineární prostor se skalárním součinem definovaným v něm vzorcem (1). euklidovský prostor.

Nechte bod a . Množina všech bodů, pro které platí nerovnosti

volala n -měřící kostka s okrajem a středem v bodě . Například dvourozměrná krychle je čtverec se stranou se středem v .

Množina bodů vyhovujících nerovnosti se nazývá n-koule poloměr se středem v , který se také nazývá

- okolí bodu v a označovat,

Jednorozměrná koule je tedy interval délky . 2D koule

existuje kruh, pro který je nerovnost

Definice 1. Sada se nazývá omezený, pokud existuje
n je míč obsahující tuto sadu.

Definice 2. Je volána funkce definovaná na množině přirozených čísel a nabývajících hodnot, které k nim patří sekvence v prostoru a je označen , kde .

Definice 3. Bod se nazývá limit sekvence, jestliže pro libovolné kladné číslo existuje přirozené číslo takové, že pro libovolné číslo platí nerovnost.

Symbolicky je tato definice napsána takto:

Označení:

Z definice 3 vyplývá, že pro . Taková sekvence se nazývá konvergující do .

Pokud posloupnost nekonverguje k žádnému bodu, pak je volána divergentní.

Věta 1. Aby posloupnost konvergovala k bodu, je nutné a postačující, aby pro libovolné číslo, tzn. seřadit i- x souřadnice bodů, ke kterým se sbíhají i-tá souřadnice bodu .

□ Důkaz vyplývá z nerovností

Sekvence je volána omezený, pokud je množina jeho hodnot omezená, tzn.

Stejně jako číselná posloupnost je i konvergentní posloupnost bodů omezená a má jedinou limitu.

Definice 4. Sekvence je volána základní(Cauchyho sekvence), jestliže pro libovolné kladné číslo lze zadat přirozené číslo takové, že pro libovolná přirozená čísla a větší než , , tj.

Věta 2(Cauchyho kritérium). Aby posloupnost konvergovala, je nutné a postačující, aby byla fundamentální.

□ Nezbytnost. Nechte konvergovat k bodu. Pak dostaneme posloupnost konvergující k . . . , …, X se nazývá plocha v . Pokud X - oblasti, pak se nazývá její uzavření uzavřená oblast.

Sady X a Y volala oddělitelný, pokud žádný z nich neobsahuje dotykové body druhého.

Hodně X volala příbuzný pokud nemůže být reprezentován jako spojení dvou oddělitelných množin.

Hodně X volala konvexní , jestliže kterékoli dva jeho body mohou být spojeny segmentem, který zcela patří do této množiny.

Příklad. Na základě výše uvedených definic lze tvrdit, že

– spojená, lineárně spojená, otevřená, nekonvexní množina, je oblast.

– spojená, lineárně spojená, neotevřená, nekonvexní množina, není doménou.

– nesouvislá, nelineárně spojená, otevřená, nekonvexní množina, není oblast.

– nespojený, nelineárně spojený, otevřená množina, není doména.

– spojený, lineárně spojený, otevřená množina, je doména.

Příklad. Najděte jestli, kde.

Rozhodnutí. Podle vzorce (1) máme:

Příklad. Najděte parciální derivaci a celkovou derivaci if .

Rozhodnutí. .

Na základě vzorce (2) získáme .

2°. Případ několika nezávislých proměnných.

Nech být z = f(x;y) - funkce dvou proměnných X a y, z nichž každý je funkcí

nezávislé proměnné t: x = x(t), y = y(t). V tomto případě funkce z=f(x(t);y(t)) je

komplexní funkce jedné nezávisle proměnné t; proměnné x a y jsou přechodné proměnné.

Teorém. Pokud z == F(X; y) - v určitém bodě diferencovatelné M(x; y) D funkce

a x = x(t) a v =y(t) - diferencovatelné funkce nezávisle proměnné t,

pak derivace komplexní funkce z(t) == F(x(t);y(t)) vypočítané podle vzorce

(3)

Zvláštní případ: z = f(x; y), kde y = y(x), ty. z= f(x;y(x)) - komplexní funkce

nezávislé proměnné X. Tento případ se redukuje na předchozí a roli proměnné

t hraje X. Podle vzorce (3) máme:

.

Poslední vzorec se nazývá vzorce pro celkovou derivaci.

Obecný případ: z = f(x;y), kde x = x(u;v), y=y(u;v). Potom z = f(x(u;v);y(u;v)) - komplex

funkce nezávislých proměnných a a proti. Jeho parciální deriváty lze nalézt

za použití vzorce (3) následovně. Oprava proti, nahradit v něm

odpovídající parciální derivace

Tedy derivace složené funkce (z) vzhledem ke každé nezávisle proměnné (A a proti)

se rovná součtu součinů parciálních derivací této funkce (z) vzhledem k jejímu meziproduktu

proměnné (x a y) na jejich deriváty vzhledem k odpovídající nezávisle proměnné (u a v).

Ve všech uvažovaných případech vzorec

(vlastnost invariance totálního diferenciálu).

Příklad. Najděte a jestliže z= F(x,y), kde x=uv, .

Teorém.Nech být u = f(x, y) je uveden v doméně D a nech x = x(t) a y = y(t) vymezené v oblasti , a kdy , pak x a y patří do oblasti D. Nechť je funkce u diferencovatelná v bodě M 0 (X 0 ,y 0 ,z 0)a funkce x(t) a při(t) jsou diferencovatelné v odpovídajícím bodě t 0 , pak komplexní funkce u = f[X(t),y(t)]=F (t)diferencovatelný na t 0 a platí následující rovnost:

.

Důkaz. Protože u je podmíněně diferencovatelné v bodě ( X 0 , y 0), pak je jeho celkový přírůstek reprezentován jako

Vydělíme-li tento poměr číslem , dostaneme:

Přejděme k limitě at a získáme vzorec

.

Poznámka 1. Pokud u= u(x, y) a X= X, y= y(X), pak celková derivace funkce u podle proměnné X

nebo .

Poslední rovnost lze použít k prokázání pravidla pro derivování funkce jedné proměnné dané implicitně ve tvaru F(X, y) = 0, kde y= y(X) (viz téma číslo 3 a příklad 14).

My máme: . Odtud . (6.1)

Vraťme se k příkladu 14 tématu číslo 3:

;

.

Jak vidíte, odpovědi jsou stejné.

Poznámka 2. Nech být u = F (x, y), kde X= X(t , v), v= v(t , v). Pak u je nakonec komplexní funkce dvou proměnných t a proti. Pokud je nyní funkce u v bodě diferencovatelná M 0 (X 0 , y 0) a funkce X a v jsou diferencovatelné v odpovídajícím bodě ( t 0 , proti 0), pak můžeme mluvit o parciálních derivacích vzhledem k t a proti z komplexní funkce v bodě ( t 0 , proti 0). Ale pokud mluvíme o parciální derivaci vzhledem k t v určeném bodě, pak je druhá proměnná v považována za konstantní a rovna proti 0 Hovoříme tedy o derivaci pouze komplexní funkce vzhledem k t, a proto můžeme použít odvozený vzorec. Tak dostáváme.

Nechť je funkce z - f(x, y) definována v nějaké oblasti D v rovině xOy. Vezměme vnitřní bod (x, y) z oblasti D a dáme x přírůstek Ax tak, aby bod (x + Ax, y) 6 D (obr. 9). Nazvěme hodnotu částečným přírůstkem funkce z vzhledem k x. Sestavte poměr Pro daný bod (x, y) je tento poměr funkcí Definice. Jestliže pro Ax -* 0 má vztah ^ konečnou limitu, pak se tato limita nazývá parciální derivace funkce z = /(x, y) vzhledem k nezávisle proměnné x v bodě (x, y) a je značeno symbolem jfc (nebo /i(x, jj ), nebo z "x (x, Stejným způsobem, podle definice, nebo, což je stejné, Analogicky Jestliže a je funkcí n nezávislých proměnných, pak Poznámka že Arz se počítá s nezměněnou hodnotou proměnné y a Atz s nezměněnou hodnotou proměnné x, lze definice parciálních derivací formulovat následovně: Parciální derivace Geometrický význam parciálních derivací funkce dvou proměnných Diferencovatelnost funkce více proměnných Nezbytné podmínky pro diferencovatelnost funkce Postačující podmínky pro diferencovatelnost funkcí více proměnných Totální diferenciál. ) se nazývá obyčejná derivace této funkce vzhledem k x, vypočtená za předpokladu, že y je konstanta; parciální derivace vzhledem k y funkce z - / (x , y) je jeho derivace vzhledem k y, vypočítaná za předpokladu, že x je konstanta. Z toho vyplývá, že pravidla pro výpočet parciálních derivací se shodují s pravidly dokázanými pro funkci jedné proměnné. Příklad. Najděte parciální derivace funkce 4 Máme substituce*. Existence funkce y = /(x, y) v daném bodě parciálních derivací vzhledem ke všem argumentům neznamená spojitost funkce v tomto bodě. Funkce tedy není spojitá v bodě 0(0,0). Nicméně v tomto bodě má tato funkce parciální derivace vzhledem k x a vzhledem k y. Vyplývá to z toho, že /(x, 0) = 0 a /(0, y) = 0, a tedy geometrický význam parciálních derivací funkce dvou proměnných Nechť plocha S v trojrozměrném prostoru je dáno rovnicí kde f(x, y) je funkce, spojitá v nějaké oblasti D a mající parciální derivace vzhledem k x a y tam. Zjistěme geometrický význam těchto derivací v bodě Mo(x0, y0) 6 D, kterému odpovídá bod f(x0)yo) na ploše z = f(x)y). Při hledání parciální derivace v bodě M0 předpokládáme, že z je pouze funkcí argumentu x, zatímco argument y si zachovává konstantní hodnotu y \u003d yo, tj. funkce fi (x) je geometricky reprezentována křivkou L , podél kterého plochu S protíná rovina y \u003d přibližně. Vzhledem ke geometrickému významu derivace funkce jedné proměnné f \ (xo) = tg a, kde a je úhel, který svírá tečna k přímce L v bodě JV0 s osou Ox (obr. 10) . Ale tak Parciální derivace ($|) je rovna tečně úhlu a mezi osou Ox a tečnou v bodě N0 ke křivce získané v řezu plochy z \u003d / (x, y) rovinou y. Podobně získáme, že §6. Diferencovatelnost funkce více proměnných Nechť je funkce z = /(x, y) definována v nějaké oblasti D v rovině xOy. Vezměme bod (x, y) € D a dáme zvoleným hodnotám x a y libovolné přírůstky Ax a Dy, ale takové, aby bod. Definice. Funkce r = /(x, y) se nazývá diferencovatelný * bod (x, y) € 2E, pokud celkový přírůstek této funkce, odpovídající přírůstkům Dx, Dy argumentů, může být reprezentován jako kde A a B nezávisí na Dx a Dy (ale obecně závisí na x a y), zatímco a(Ax, Dy) a f(Ax, Dy) mají tendenci k nule, zatímco Ax a Dy mají tendenci k nule. . Pokud je funkce z = /(x, y) diferencovatelná v bodě (x, y), pak část A Dx 4 - VDy přírůstku funkce, lineární vzhledem k Dx a Dy, se nazývá totální diferenciál. této funkce v bodě (x, y) a značí se symbolem dz: Tanim way, příklad. Nechť r = x2 + y2. V libovolném bodě (r, y) a pro jakékoli Dx a Dy máme zde. z toho vyplývá, že a a /3 mají tendenci k nule, stejně jako Ax a Dy mají tendenci k nule. Podle definice je tato funkce diferencovatelná v libovolném bodě v rovině xOy. Zde poznamenáváme, že v naší úvaze jsme formálně nevyloučili případ, kdy jsou přírůstky Dx, Dy samostatně nebo dokonce obě rovny nule najednou. Vzorec (1) lze napsat kompaktněji, pokud zavedeme výraz (vzdálenost mezi body (Pomocí toho můžeme napsat Označení výrazu v závorkách e, budeme mít kde c závisí na J, Du a má tendenci k nule, pokud J 0 a Dy 0, nebo stručně řečeno, je-li p 0. Nyní lze napsat vzorec (1), který vyjadřuje podmínku, aby funkce z = f(xt y) byla diferencovatelná v bodě (x, y). jako So, v příkladu 6.1 výše Věta 4. Je-li funkce r = f(x, y) v nějakém bodě diferencovatelná, pak je v tomto bodě spojitá.4 Je-li funkce r = f(x, y) diferencovatelná v bodě (x, y), pak celkový přírůstek funkce i v tomto bodě""e, odpovídající přírůstkům j a dy argumentů, může být reprezentován jako /(x, y) je spojitý. Nechť je funkce z = /(x, y) diferencovatelná v bodě (x, y). Potom může být přírůstek Dx této funkce, který odpovídá přírůstkům Dx, Ay argumentů, reprezentován ve tvaru (1). Vezmeme-li rovnost (1) Dx F 0, Dn = 0, dostaneme se odkud Protože na pravé straně poslední rovnosti hodnota A nezávisí, To znamená, že v bodě (x, y) je částečný derivace funkce r \u003d / (x, y) vzhledem k x a podobným uvažováním vidíme, že (x, existuje parciální derivace funkce zу a z věty vyplývá, že Zdůrazňujeme, že věta 5 tvrdí existenci parciálních derivací pouze v bodě (x, y), ale neříká nic o jejich návaznosti 6.2 Dostatečné podmínky diferencovatelnosti funkcí více proměnných Jak je známo, nutnou a postačující podmínkou diferencovatelnosti a funkce y = f(x) jedné proměnné v bodě xo je existence konečné derivace /"(x) v bodě x0. V případě, že funkce závisí na více proměnných, je situace mnohem složitější: pro funkci z = /(x, y) dvou nezávislých proměnných x, y nejsou nutné a postačující podmínky diferencovatelnosti; existuje l hledat potřebné podmínky (srov. výše) a samostatně - dostačující. Tyto dostatečné podmínky pro diferencovatelnost funkcí více proměnných vyjadřuje následující věta. Věta c. Pokud má funkce parciální derivace /£ a f"v v nějakém okolí tenké čáry (xo, y0) a pokud jsou tyto derivace spojité v samotném bodě (xo, y0), pak funkce z = f(x, y) ) je diferencovatelný v bodě (x- Příklad Uvažujme funkci Parciální derivace Geometrický význam parciálních derivací funkce dvou proměnných Diferencovatelnost funkce více proměnných Nezbytné podmínky pro diferencovatelnost funkce Dostatečné podmínky pro diferencovatelnost funkcí více proměnných Celkem diferenciální Parciální diferenciály Derivace komplexní funkce Je definována všude Na základě definice parciálních derivací máme ™ této funkce v bodě 0(0, 0) najdeme a inkrement této funkce se zostřuje 0 a Du 0. dáme D0. Pak ze vzorce (1) budeme mít Proto funkce / (x, y) \u003d není diferencovatelná v bodě 0 (0, 0), ačkoliv v tomto bodě má, vyrábíme fa a f "r Získané výsledek je vysvětlen tím, že derivace f"z a f"t jsou v bodě §7 nespojité. plný diferenciál. Parciální diferenciály Je-li funkce r - f(z> y) diferencovatelná, pak její poslední diferenciál dz jsou jejich přírůstky: Poté je příkladem vzorec pro totální diferenciál funkce. Nechť i - 1l(x + y2). Pak Podobně, je-li u =) diferencovatelná funkce n nezávislých proměnných, pak Výraz nazýváme štíhlý diferenciál funkce z = f(x, y) vzhledem k proměnné x; výraz se nazývá parciální diferenciál funkce z = /(x, y) proměnné y. Ze vzorců (3), (4) a (5) vyplývá, že celkový diferenciál funkce je součtem jejích parciálních diferenciálů: Všimněte si, že celkový přírůstek Az funkce z = /(x, y), obecně řečeno , se nerovná součtu dílčích přírůstků. Je-li v bodě (x, y) funkce y = /(x, y) diferencovatelná a diferenciál dz Φ 0 v tomto bodě, pak se její celkový přírůstek liší od její lineární části pouze součtem posledních členů aAx 4 - /? 0 a Ay --> O jsou infinitesimály vyššího řádu než členy lineární části. Proto, když dz Ф 0, lineární část přírůstku diferencovatelné funkce se nazývá hlavní část přírůstku funkce a použije se přibližný vzorec, který bude tím přesnější, čím menší bude absolutní hodnota přírůstků funkce. argumenty. §8. Derivace komplexní funkce 1. Nechť je funkce definována v nějakém oboru D v rovině xOy a každá z proměnných x, y je zase funkcí argumentu t: Budeme předpokládat, že když se t změní v interval (odpovídající body (x, y) nevycházejí mimo definiční obor D. Dosadíme-li hodnoty do funkce z = / (x, y), získáme komplexní funkci jedné proměnné t. a pro odpovídající hodnoty je funkce / (x, y) diferencovatelná, pak komplexní funkce v bodě t má derivaci a M Dejme t přírůstek Dt. Potom x a y obdrží nějaké přírůstky Ax a Dy. výsledkem je, že pro (J)2 + (Dy)2 ∩ 0 dostane funkce z také určitý přírůstek Dt, který díky diferencovatelnosti funkce z = f , y) v bodě (x, y) může být reprezentován jako kde a) mají tendenci k nule, protože Ax a Du mají tendenci k nule. Definujme a a /3 pro Ax = Ay = 0 nastavením a Pak a( bude spojité pro J = Dy = 0. Uvažujme, že vztah pro daný je konstantní, podmínkou jsou limity z existence derivací ^ a v bodě £ z toho vyplývá, že funkce x = y(t) a y = jsou v tomto bodě spojité; proto v bodě 0 mají J i Dy tendenci k nule, což zase znamená a(Ax, Dy) a P (Ax, Ay) mají tendenci k nule. Pravá strana rovnosti (2) v 0 má tedy limit rovný Proto, limita levé strany (2) existuje v nule, tj. e. je rovno Procházení v rovnosti (2) do limity jako At -» 0, dostaneme požadovaný vzorec V konkrétním případě, kdy je tedy z komplexní funkcí x, dostaneme , y) nad x, v jehož výpočet je argument y brán jako konstanta ve výrazu /(x, y). A existuje celková derivace funkce z vzhledem k nezávisle proměnné x, při jejímž výpočtu se y ve výrazu /(x, y) již nebere jako konstanta, ale považuje se zase za funkci x : y = tp(x)t a proto se plně zohledňuje závislost z na. Příklad. Najděte a jg if 2. Zvažte nyní derivaci komplexní funkce několika proměnných. Nechť kde je zase tak, že Předpokládejme, že v bodě (() jsou spojité parciální derivace u, 3? a v odpovídajícím bodě (x, y), kde je funkce /(x, y) diferencovatelná. za těchto podmínek má komplexní funchion z = z(() y) v bodě t7) derivace a u a najdeme výrazy pro tyto derivace. Všimněte si, že tento případ se významně neliší od již studovaného případu. Když je totiž z derivováno vzhledem k £, bere se druhá nezávislá proměnná rj jako konstanta, v důsledku čehož se x a y stávají funkcemi téže proměnné x" = c), y = c) v této operaci, a otázka derivace Φ je řešena úplně stejně jako otázka derivace při derivaci vzorce (3) Pomocí vzorce (3) a formálním nahrazením derivací g a ^ v něm derivacemi u resp. získat Je-li komplexní funkce „Specifikována vzorci tak, že při splnění příslušných podmínek máme V konkrétním případě, kdy And = kde Parciální derivace Geometrický význam parciálních derivací funkce dvou proměnných Diferencovatelnost funkce více proměnných Nezbytné podmínky pro diferencovatelnost funkce Dostatečné podmínky pro diferencovatelnost funkcí více proměnných Úplný diferenciál Parciální diferenciály Máme derivace komplexní funkce Zde m je celková parciální derivace funkce a s ohledem na nezávislou proměnnou x, s přihlédnutím k úplné závislosti a na x, včetně a prostřednictvím z = z(x, y), a