Έστω z=ƒ(x;y) συνάρτηση δύο μεταβλητών x και y, καθεμία από τις οποίες είναι συνάρτηση της ανεξάρτητης μεταβλητής t: x = x(t), y = y(t). Σε αυτήν την περίπτωση, η συνάρτηση z = f(x(t);y(t)) είναι μια σύνθετη συνάρτηση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής t. Οι μεταβλητές x και y είναι ενδιάμεσες μεταβλητές.

Θεώρημα 44.4. Εάν z \u003d ƒ (x; y) είναι μια συνάρτηση διαφοροποιήσιμη στο σημείο M (x; y) є D και x \u003d x (t) και y \u003d y (t) είναι διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις της ανεξάρτητης μεταβλητής t, τότε η παράγωγος της μιγαδικής συνάρτησης z (t ) = f(x(t);y(t)) υπολογίζεται με τον τύπο

Ας δώσουμε στην ανεξάρτητη μεταβλητή t μια αύξηση Δt. Τότε οι συναρτήσεις x = x(t) και y = y(t) θα λάβουν προσαυξήσεις Δx και Δy, αντίστοιχα. Αυτοί, με τη σειρά τους, θα αναγκάσουν τη συνάρτηση z να αυξήσει το Az.

Εφόσον, από τη συνθήκη, η συνάρτηση z - ƒ(x; y) είναι διαφοροποιήσιμη στο σημείο M(x; y), η συνολική αύξησή της μπορεί να αναπαρασταθεί ως

όπου a→0, β→0 ως Δх→0, Δου→0 (βλ. στοιχείο 44.3). Διαιρούμε την παράσταση Δz με Δt και περνάμε στο όριο ως Δt→0. Τότε Δх→0 και Δу→0 λόγω της συνέχειας των συναρτήσεων x = x(t) και y = y(t) (σύμφωνα με την συνθήκη του θεωρήματος είναι διαφοροποιήσιμες). Παίρνουμε:

Ειδική περίπτωση: z=ƒ(x;y), όπου y=y(x), δηλ. z=ƒ(x;y(x)) είναι μια σύνθετη συνάρτηση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής x. Αυτή η περίπτωση ανάγεται στην προηγούμενη, με το x να παίζει το ρόλο της μεταβλητής t. Σύμφωνα με τον τύπο (44.8) έχουμε:

Ο τύπος (44.9) ονομάζεται τύπος ολικής παραγώγου.

Γενική περίπτωση: z=ƒ(x;y), όπου x=x(u;v), y=y(u;v). Τότε z= f(x(u;v);y(u;v)) είναι μια σύνθετη συνάρτηση των ανεξάρτητων μεταβλητών u και v. Τα μερικά παράγωγά του μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τον τύπο (44.8) ως εξής. Έχοντας σταθεροποιήσει το v, το αντικαθιστούμε με τις αντίστοιχες μερικές παραγώγους

Ομοίως, παίρνουμε:

Έτσι, η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης (z) ως προς κάθε ανεξάρτητη μεταβλητή (u και v) ισούται με το άθροισμα των γινομένων των μερικών παραγώγων αυτής της συνάρτησης (z) ως προς τις ενδιάμεσες μεταβλητές της (x και y ) και των παραγώγων τους ως προς την αντίστοιχη ανεξάρτητη μεταβλητή (u και v).

Παράδειγμα 44.5. Βρείτε αν z=ln(x 2 +y 2), x=u v, y=u/v.

Λύση: Βρείτε dz/du (dz/dv - ανεξάρτητα) χρησιμοποιώντας τον τύπο (44.10):

Απλοποιήστε τη δεξιά πλευρά της ισότητας που προκύπτει:

40. Μερικές παράγωγοι και ολικό διαφορικό μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών.

Έστω η συνάρτηση z = ƒ (x; y). Δεδομένου ότι οι x και y είναι ανεξάρτητες μεταβλητές, η μία από αυτές μπορεί να αλλάξει ενώ η άλλη παραμένει αμετάβλητη. Ας δώσουμε στην ανεξάρτητη μεταβλητή x μια αύξηση Δx, διατηρώντας την τιμή του y αμετάβλητη. Τότε το z θα λάβει μια αύξηση που ονομάζεται μερική αύξηση του z στο x και συμβολίζεται με Δ x z. Ετσι,

Δ x z \u003d ƒ (x + Δ x; y) -ƒ (x; y).

Ομοίως, λαμβάνουμε μια μερική αύξηση του z ως προς το y:

Δ y z \u003d ƒ (x; y + Δy) -ƒ (x; y).

Η συνολική αύξηση Δz της συνάρτησης z ορίζεται από την ισότητα

Δz \u003d ƒ (x + Δx; y + Δy) - ƒ (x; y).

Αν υπάρχει όριο

τότε ονομάζεται μερική παράγωγος της συνάρτησης z \u003d ƒ (x; y) στο σημείο M (x; y) ως προς τη μεταβλητή x και συμβολίζεται με ένα από τα σύμβολα:

Οι μερικές παράγωγοι ως προς το x στο σημείο M 0 (x 0; y 0) συνήθως υποδηλώνονται με τα σύμβολα

Η μερική παράγωγος του z \u003d ƒ (x; y) σε σχέση με τη μεταβλητή y ορίζεται και συμβολίζεται με παρόμοιο τρόπο:

Έτσι, η μερική παράγωγος μιας συνάρτησης πολλών (δύο, τριών ή περισσότερων) μεταβλητών ορίζεται ως η παράγωγος μιας συνάρτησης μιας από αυτές τις μεταβλητές, με την επιφύλαξη της σταθερότητας των τιμών των υπόλοιπων ανεξάρτητων μεταβλητών. Επομένως, οι μερικές παράγωγοι της συνάρτησης ƒ(x; y) βρίσκονται σύμφωνα με τους τύπους και τους κανόνες για τον υπολογισμό των παραγώγων μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής (στην περίπτωση αυτή, αντίστοιχα, το x ή το y θεωρείται σταθερή τιμή).

Παράδειγμα 44.1. Να βρείτε τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης z = 2y + e x2-y +1. Λύση:

Γεωμετρική σημασία μερικών παραγώγων συνάρτησης δύο μεταβλητών

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης z \u003d ƒ (x; y) είναι μια ορισμένη επιφάνεια (βλ. παράγραφο 12.1). Η γραφική παράσταση της συνάρτησης z \u003d ƒ (x; y 0) είναι η γραμμή τομής αυτής της επιφάνειας με το επίπεδο y \u003d y o. Με βάση τη γεωμετρική σημασία της παραγώγου για μια συνάρτηση μιας μεταβλητής (βλ. παράγραφο 20.2), συμπεραίνουμε ότι ƒ "x (xo; yo) \u003d tg a, όπου a είναι η γωνία μεταξύ του άξονα Ox και της εφαπτομένης η καμπύλη z \u003d ƒ (x; y 0) στο σημείο Mo (xo; yo; ƒ (xo; yo)) (βλ. Εικ. 208).

Ομοίως, f "y (x 0; y 0) \u003d tgβ.

Μια συνάρτηση Z=f(x,y) ονομάζεται διαφορίσιμη σε ένα σημείο P(x,y) εάν η συνολική της αύξηση ΔZ μπορεί να παρασταθεί ως Δz = A∙Δx+B∙Δy+ω(Δx,Δy), όπου Δx και Δy – τυχόν προσαυξήσεις των αντίστοιχων ορισμάτων x και y σε κάποια γειτονιά των σημείων P, A και B είναι σταθερές (δεν εξαρτώνται από τα Δx, Δy),

Το ω(Δx,Δy) είναι απειροελάχιστη υψηλότερη τάξη από την απόσταση:

Εάν μια συνάρτηση είναι διαφοροποιήσιμη σε ένα σημείο, τότε η συνολική της αύξηση σε αυτό το σημείο αποτελείται από δύο μέρη:

1. Το κύριο μέρος της αύξησης της συνάρτησης A∙Δx+B∙Δy είναι γραμμικό ως προς Δx,Δy

2. Και μη γραμμικό ω(Δx,Δy) - απειροελάχιστη υψηλότερη τάξη από το κύριο μέρος της αύξησης.

Το κύριο μέρος της αύξησης μιας συνάρτησης, το οποίο είναι γραμμικό ως προς τα Δx,Δy, ονομάζεται ολικό διαφορικό αυτής της συνάρτησης και συμβολίζεται:Δz = A∙Δx+B∙Δy, Δx=dx και Δy=dy ή το συνολικό διαφορικό μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών:

Διαφορικό οθόνης. Διαφορικό και παράγωγο αριθμητικής συνάρτησης μιας μεταβλητής. Πίνακας παραγώγων. Διαφορικότητα. ) είναι μια συνάρτηση του ορίσματος , το οποίο είναι απείρως μικρό ως →0, δηλ.

Ας διευκρινίσουμε τώρα τη σύνδεση μεταξύ διαφοροποίησης σε ένα σημείο και ύπαρξης παραγώγου στο ίδιο σημείο.

Θεώρημα. Για τη συνάρτηση φά(Χ) ήταν διαφοροποιήσιμο στο δεδομένο σημείο Χ , είναι απαραίτητο και αρκετό να έχει πεπερασμένη παράγωγο σε αυτό το σημείο.

Πίνακας παραγώγων.

Διαφοροποίηση σύνθετων συναρτήσεων

Αφήστε για τη συνάρτηση n- τα ορίσματα μεταβλητής είναι επίσης συναρτήσεις μεταβλητών:

Ισχύει το παρακάτω θεώρημα για τη διαφοροποίηση μιας σύνθετης συνάρτησης.

Θεώρημα 8.Αν οι συναρτήσεις είναι διαφοροποιήσιμες στο σημείο , και η συνάρτηση είναι διαφοροποιήσιμη στο αντίστοιχο σημείο , όπου , . Τότε η μιγαδική συνάρτηση είναι διαφοροποιήσιμη στο σημείο , και οι μερικές παράγωγοι καθορίζονται από τους τύπους

όπου οι επί μέρους παράγωγοι υπολογίζονται στο σημείο και υπολογίζονται στο σημείο .

ƒ Ας αποδείξουμε αυτό το θεώρημα για μια συνάρτηση δύο μεταβλητών. Αφήστε , ένα .

Έστω και είναι αυθαίρετες αυξήσεις των ορισμάτων και στο σημείο . Αντιστοιχούν σε προσαυξήσεις συναρτήσεων και στο σημείο . Οι προσαυξήσεις και αντιστοιχεί στην αύξηση της συνάρτησης στο σημείο . Εφόσον είναι διαφοροποιήσιμο στο σημείο , η προσαύξησή του μπορεί να γραφτεί ως

όπου και υπολογίζονται στο σημείο , στο και . Λόγω της διαφοροποίησης των συναρτήσεων και στο σημείο , παίρνουμε

που υπολογίζεται στο σημείο ? .

Αντικαθιστούμε το (14) σε (13) και αναδιατάσσουμε τους όρους

Σημειώστε ότι ως , δεδομένου ότι και τείνουν στο μηδέν ως . Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι απειροελάχιστο στο και . Αλλά οι συναρτήσεις και είναι διαφοροποιήσιμες και, επομένως, συνεχείς στο σημείο . Επομένως, εάν και , τότε . Στη συνέχεια και στο .

Δεδομένου ότι οι μερικές παράγωγοι υπολογίζονται στο σημείο , παίρνουμε

Σημαίνω

και αυτό σημαίνει ότι είναι διαφοροποιήσιμο σε σχέση με τις μεταβλητές και , και

Συνέπεια.Αν , και , , δηλ. , τότε η παράγωγος ως προς τη μεταβλητή tυπολογίζεται με τον τύπο

Αν τότε

Η τελευταία έκφραση ονομάζεται ολικός τύπος παραγώγουγια μια συνάρτηση πολλών μεταβλητών.

Παραδείγματα. 1) Να βρείτε τη συνολική παράγωγο της συνάρτησης , όπου , .

Λύση.

2) Να βρείτε τη συνολική παράγωγο της συνάρτησης αν , .

Λύση.

Χρησιμοποιώντας τους κανόνες διαφοροποίησης μιας μιγαδικής συνάρτησης, λαμβάνουμε μια σημαντική ιδιότητα του διαφορικού μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών.

Εάν οι ανεξάρτητες μεταβλητές είναι συναρτήσεις, τότε το διαφορικό είναι εξ ορισμού ίσο με:

Τώρα ας είναι τα ορίσματα διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις σε κάποιο σημείο της συνάρτησης σε σχέση με τις μεταβλητές και ας είναι η συνάρτηση διαφοροποιήσιμη σε σχέση με τις μεταβλητές , . Τότε μπορεί να θεωρηθεί ως σύνθετη συνάρτηση μεταβλητών , . Με το προηγούμενο θεώρημα, είναι διαφορίσιμο και η σχέση ισχύει

όπου προσδιορίζεται από τους τύπους (12). Αντικαθιστούμε το (12) με το (17) και, συλλέγοντας τους συντελεστές στο , παίρνουμε

Εφόσον ο συντελεστής της παραγώγου είναι ίσος με το διαφορικό της συνάρτησης , τότε ο τύπος (16) προέκυψε και πάλι για το διαφορικό της μιγαδικής συνάρτησης.

Έτσι, ο πρώτος διαφορικός τύπος δεν εξαρτάται από το αν τα ορίσματά του είναι συναρτήσεις ή αν είναι ανεξάρτητα. Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται αμετάβλητο της μορφής του πρώτου διαφορικού.

Ο τύπος Taylor (29) μπορεί επίσης να γραφτεί ως

ƒ Η απόδειξη θα πραγματοποιηθεί για μια συνάρτηση δύο μεταβλητών ή .

Ας εξετάσουμε πρώτα μια συνάρτηση μιας μεταβλητής. Αφήστε τους χρόνους να είναι διαφοροποιήσιμοι σε μια γειτονιά του σημείου . Ο τύπος Taylor για μια συνάρτηση μιας μεταβλητής με έναν υπόλοιπο όρο στον τύπο Lagrange έχει

Δεδομένου ότι είναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή, τότε . Εξ ορισμού του διαφορικού μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής

Αν συμβολίσουμε , τότε το (31) μπορεί να γραφτεί ως

Θεωρήστε κάποια γειτονιά ενός σημείου και ένα αυθαίρετο σημείο σε αυτό και συνδέστε τα σημεία και ένα ευθύγραμμο τμήμα. Είναι σαφές ότι οι συντεταγμένες και τα σημεία αυτής της γραμμής είναι γραμμικές συναρτήσεις της παραμέτρου.

Στο ευθύγραμμο τμήμα, η συνάρτηση είναι μια σύνθετη συνάρτηση της παραμέτρου , αφού . Επιπλέον, είναι διαφοροποιήσιμος χρόνος σε σχέση με και ο τύπος Taylor (32) ισχύει για, όπου , δηλ.

Τα διαφορικά στον τύπο (32) είναι τα διαφορικά της μιγαδικής συνάρτησης , όπου , , , δηλ.

Αντικαθιστώντας το (33) σε (32) και λαμβάνοντας υπόψη ότι , λαμβάνουμε

Ο τελευταίος όρος στο (34) ονομάζεται το υπόλοιπο του τύπου Taylor in Μορφή Lagrange

Σημειώνουμε χωρίς απόδειξη ότι αν, σύμφωνα με τις παραδοχές του θεωρήματος, η συνάρτηση είναι διαφοροποιήσιμη σε ένα σημείο Μφορές, τότε ο υπόλοιπος όρος μπορεί να γραφτεί ως Μορφή Peano:

Κεφάλαιο 7

7.1. Χώρος R n .Σύνολα σε γραμμικό χώρο.

Ένα σύνολο του οποίου τα στοιχεία είναι όλα ταξινομημένα σύνολα από nπραγματικούς αριθμούς, που συμβολίζονται και καλούνται ν-διάστατος αριθμητικός χώροςκαι τον αριθμό nπου ονομάζεται διάσταση του χώρου.Το στοιχείο του συνόλου ονομάζεται ένα σημείο στο χώρο, ή ένα διάνυσμα,και τους αριθμούς συντεταγμένεςαυτό το σημείο. Καλείται το σημείο =(0, 0, …0). μηδέν ή καταγωγή.

Το διάστημα είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών, δηλ. - αριθμός γραμμής; και είναι το δισδιάστατο γεωμετρικό επίπεδο συντεταγμένων και ο τρισδιάστατος γεωμετρικός χώρος συντεταγμένων, αντίστοιχα. Τα διανύσματα , , …, ονομάζονται ενιαία βάση.

Για δύο στοιχεία ενός συνόλου, ορίζονται οι έννοιες του αθροίσματος των στοιχείων και του γινόμενου ενός στοιχείου με έναν πραγματικό αριθμό:

Προφανώς, δυνάμει αυτού του ορισμού και των ιδιοτήτων των πραγματικών αριθμών, οι ισότητες είναι αληθείς:

Σύμφωνα με αυτές τις ιδιότητες καλείται και ο χώρος γραμμικό (διάνυσμα)χώρος.

Σε γραμμικό διάστημα ορίζεται κλιμακωτό προϊόνστοιχεία και ως πραγματικός αριθμός που υπολογίζεται σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα:

Ο αριθμός καλείται διανυσματικό μήκοςή ο κανόνας. Διανύσματα και καλούνται ορθογώνιο, αν . αξία

, )= │ - │ =

που ονομάζεται απόσταση μεταξύ των στοιχείωνΚαι .

Αν και είναι μη μηδενικά διανύσματα, τότε γωνίαμεταξύ τους ονομάζεται γωνία τέτοια ώστε

Είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι για οποιαδήποτε στοιχεία και έναν πραγματικό αριθμό, εκτελείται το βαθμωτό γινόμενο:

Ένας γραμμικός χώρος με ένα βαθμωτό γινόμενο που ορίζεται σε αυτόν από τον τύπο (1) ονομάζεται ευκλείδειος χώρος.

Αφήστε το σημείο και . Το σύνολο όλων των σημείων για τα οποία ισχύουν οι ανισότητες

που ονομάζεται n -κύβος μέτρησηςμε άκρη και κεντραρισμένη στο σημείο . Για παράδειγμα, ένας δισδιάστατος κύβος είναι ένα τετράγωνο με μια πλευρά στο κέντρο στο .

Το σύνολο των σημείων που ικανοποιούν την ανισότητα λέγονται n-μπάλαακτίνα με κέντρο το , το οποίο ονομάζεται επίσης

- η γειτονιά του σημείουμέσα και δηλώνουν,

Έτσι, μια μονοδιάστατη μπάλα είναι ένα διάστημα μήκους . 2D μπάλα

υπάρχει ένας κύκλος για τον οποίο η ανισότητα

Ορισμός 1. Το σετ λέγεται περιορισμένος, εάν υπάρχει
nείναι μια μπάλα που περιέχει αυτό το σετ.

Ορισμός 2. Καλείται μια συνάρτηση που ορίζεται στο σύνολο των φυσικών αριθμών και παίρνει τιμές που ανήκουν αλληλουχίαστο διάστημα και συμβολίζεται με , όπου .

Ορισμός 3. Το σημείο λέγεται όριο ακολουθίας, εάν για έναν αυθαίρετο θετικό αριθμό υπάρχει ένας φυσικός αριθμός τέτοιος ώστε να ισχύει η ανισότητα για οποιονδήποτε αριθμό.

Συμβολικά, αυτός ο ορισμός γράφεται ως εξής:

Ονομασία:

Από τον ορισμό 3 προκύπτει ότι , για . Μια τέτοια ακολουθία ονομάζεται συγκλίνονταςπρος την .

Αν η ακολουθία δεν συγκλίνει σε κανένα σημείο, τότε καλείται αποκλίνων.

Θεώρημα 1.Για να συγκλίνει η ακολουθία σε ένα σημείο είναι απαραίτητο και αρκετό ότι για οποιονδήποτε αριθμό , δηλ. σε σειρά Εγώ- x συντεταγμένες των σημείων που συγκλίνουν προς Εγώ-η συντεταγμένη του σημείου .

□ Η απόδειξη προκύπτει από τις ανισότητες

Η ακολουθία ονομάζεται περιορισμένος, εάν το σύνολο των τιμών του είναι περιορισμένο, π.χ.

Όπως μια αριθμητική ακολουθία, μια συγκλίνουσα ακολουθία σημείων είναι οριοθετημένη και έχει ένα μόνο όριο.

Ορισμός 4. Η ακολουθία ονομάζεται θεμελιώδης(Ακολουθία Cauchy), αν για οποιονδήποτε θετικό αριθμό μπορεί κανείς να καθορίσει έναν φυσικό αριθμό τέτοιο ώστε για αυθαίρετους φυσικούς αριθμούς και μεγαλύτερος από , , δηλ.

Θεώρημα 2(Κριτήριο Cauchy). Για να συγκλίνει μια ακολουθία, είναι απαραίτητο και αρκετό να είναι θεμελιώδης.

□ Αναγκαιότητα.Αφήστε να συγκλίνει σε ένα σημείο. Τότε παίρνουμε μια ακολουθία που συγκλίνει σε . . . , …, το Χ ονομάζεται περιφέρειασε . Αν Χ -περιοχή, τότε λέγεται το κλείσιμό του κλειστό χώρο.

Σκηνικά ΧΚαι Υπου ονομάζεται διαχωριστός, εάν κανένα από αυτά δεν περιέχει σημεία επαφής του άλλου.

Πολλά Χπου ονομάζεται σχετιζομαι μεαν δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένωση δύο χωριστών συνόλων.

Πολλά Χπου ονομάζεται κυρτός , εάν δύο από τα σημεία του μπορούν να συνδεθούν με ένα τμήμα που ανήκει εξ ολοκλήρου σε αυτό το σύνολο.

Παράδειγμα. Με βάση τους παραπάνω ορισμούς, μπορεί να υποστηριχθεί ότι

– συνδεδεμένο, γραμμικά συνδεδεμένο, ανοιχτό, μη κυρτό σύνολο, είναι μια περιοχή.

– συνδεδεμένο, γραμμικά συνδεδεμένο, μη ανοιχτό, μη κυρτό σύνολο, δεν είναι τομέας.

– μη συνδεδεμένο, μη γραμμικά συνδεδεμένο, ανοιχτό, μη κυρτό σύνολο, δεν είναι περιοχή.

– μη συνδεδεμένο, μη γραμμικά συνδεδεμένο, ανοιχτό σύνολο, όχι τομέας.

– συνδεδεμένο, γραμμικά συνδεδεμένο, ανοιχτό σύνολο, είναι τομέας.

Παράδειγμα. Βρείτε αν, πού.

Λύση. Σύμφωνα με τον τύπο (1) έχουμε:

Παράδειγμα. Να βρείτε τη μερική παράγωγο και την ολική παράγωγο αν .

Λύση. .

Με βάση τον τύπο (2), παίρνουμε .

2°. Η περίπτωση πολλών ανεξάρτητων μεταβλητών.

Ας είναι z = f(x;y) -συνάρτηση δύο μεταβλητών ΧΚαι y,καθένα από τα οποία είναι μια συνάρτηση

ανεξάρτητη μεταβλητή t: x = x(t), y = y(t).Σε αυτή την περίπτωση, η συνάρτηση z=f(x(t);y(t))είναι ένα

σύνθετη συνάρτηση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής t;μεταβλητές Οι x και y είναι ενδιάμεσες μεταβλητές.

Θεώρημα. Αν z == φά(Χ; y) -διαφοροποιήσιμο σε ένα σημείο M(x; y) Dλειτουργία

Και x = x(t)Και στο =y(t) -διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις της ανεξάρτητης μεταβλητής t,

τότε η παράγωγος της μιγαδικής συνάρτησης z(t) == φά(x(t);y(t))υπολογίζεται με τον τύπο

(3)

Ειδική περίπτωση: z = f(x; y),όπου y = y(x),εκείνοι. z= f(x;y(x)) -σύνθετη λειτουργία του

ανεξάρτητη μεταβλητή Χ.Αυτή η περίπτωση μειώνει στην προηγούμενη, και τον ρόλο της μεταβλητής

tπαίζει Χ.Σύμφωνα με τον τύπο (3) έχουμε:

.

Ο τελευταίος τύπος ονομάζεται τύπους για τη συνολική παράγωγο.

Γενική περίπτωση: z = f(x;y),όπου x = x(u;v), y=y(u;v).Τότε z = f(x(u;v);y(u;v)) -συγκρότημα

συνάρτηση ανεξάρτητων μεταβλητών ΚαιΚαι v.Μπορούν να βρεθούν τα μερικά παράγωγά του

χρησιμοποιώντας τον τύπο (3) ως εξής. Διόρθωση v,αντικαταστήστε σε αυτό

αντίστοιχων μερικών παραγώγων

Άρα η παράγωγος της σύνθετης συνάρτησης (z) ως προς κάθε ανεξάρτητη μεταβλητή (ΚαιΚαι v)

ισούται με το άθροισμα των γινομένων των μερικών παραγώγων αυτής της συνάρτησης (z) ως προς το ενδιάμεσό της

μεταβλητές (x και y)στα παράγωγά τους ως προς την αντίστοιχη ανεξάρτητη μεταβλητή (u και v).

Σε όλες τις περιπτώσεις που εξετάζονται, ο τύπος

(ιδιότητα αμετάβλητου του συνολικού διαφορικού).

Παράδειγμα. Βρείτε και αν z= φά(x,y), όπου x=uv, .

Θεώρημα.Ας είναι u = f(x, y)δίνεται στο πεδίο D και έστω x = x(t)Και y = y(t)που ορίζεται στην περιοχή , και πότε , τότε τα x και y ανήκουν στην περιοχή D. Έστω μια συνάρτηση u διαφορίσιμη σε ένα σημείο Μ 0 (Χ 0 ,y 0 ,z 0), και συναρτήσεις x(t) και στο(t) είναι διαφοροποιήσιμες στο αντίστοιχο σημείο t 0 , τότε η μιγαδική συνάρτηση u = f[Χ(t),y(t)]=F (t)διαφοροποιήσιμο σε τ 0 και ισχύει η ακόλουθη ισότητα:

.

Απόδειξη.Εφόσον το u είναι υπό όρους διαφοροποιήσιμο στο σημείο ( Χ 0 , y 0), τότε η συνολική προσαύξησή του αντιπροσωπεύεται ως

Διαιρώντας αυτή την αναλογία με , παίρνουμε:

Ας περάσουμε στο όριο στο και πάρουμε τον τύπο

.

Παρατήρηση 1.Αν u= u(x, y) Και Χ= Χ, y= y(Χ), τότε η συνολική παράγωγος της συνάρτησης uκατά μεταβλητή Χ

ή .

Η τελευταία ισότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποδείξει τον κανόνα για τη διαφοροποίηση μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής που δίνεται έμμεσα στη μορφή φά(Χ, y) = 0, όπου y= y(Χ) (βλ. θέμα αριθμός 3 και παράδειγμα 14).

Εχουμε: . Από εδώ . (6.1)

Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα 14 του θέματος 3:

;

.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι απαντήσεις είναι ίδιες.

Παρατήρηση 2.Ας είναι u = φά (x, y), όπου Χ= Χ(t , v), στο= στο(t , v). Τότε το u είναι τελικά μια σύνθετη συνάρτηση δύο μεταβλητών tΚαι v. Αν τώρα η συνάρτηση u είναι διαφορίσιμη σε ένα σημείο Μ 0 (Χ 0 , y 0), και τις συναρτήσεις ΧΚαι στοείναι διαφοροποιήσιμες στο αντίστοιχο σημείο ( t 0 , v 0), τότε μπορούμε να μιλήσουμε για μερικές παραγώγους σε σχέση με tΚαι vαπό μια σύνθετη συνάρτηση σε ένα σημείο ( t 0 , v 0). Αν όμως μιλάμε για τη μερική παράγωγο ως προς το t σε ένα καθορισμένο σημείο, τότε η δεύτερη μεταβλητή v θεωρείται σταθερή και ίση με v 0 . Επομένως, μιλάμε μόνο για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης ως προς το t και, επομένως, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον παραγόμενο τύπο. Έτσι, παίρνουμε.

Έστω η συνάρτηση z - f(x, y) να οριστεί σε κάποιο πεδίο D στο επίπεδο xOy. Ας πάρουμε ένα εσωτερικό σημείο (x, y) από την περιοχή D και δώσουμε x μια αύξηση Ax έτσι ώστε το σημείο (x + Ax, y) 6 D (Εικ. 9). Ας ονομάσουμε την τιμή μερική αύξηση της συνάρτησης z ως προς το x. Σύνθεση του λόγου Για ένα δεδομένο σημείο (x, y), αυτός ο λόγος είναι συνάρτηση του Ορισμού. Αν για τον Ax -* 0 η σχέση ^ έχει ένα πεπερασμένο όριο, τότε αυτό το όριο ονομάζεται μερική παράγωγος της συνάρτησης z = /(x, y) ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή x στο σημείο (x, y) και είναι συμβολίζεται με το σύμβολο jfc (ή /i(x, jj ), ή z "x (x, Με τον ίδιο τρόπο, εξ ορισμού, ή, που είναι το ίδιο, Αναλόγως Εάν και είναι συνάρτηση n ανεξάρτητων μεταβλητών, τότε Σημειώνοντας ότι το Arz υπολογίζεται με την τιμή της μεταβλητής y αμετάβλητη και το Atz με την τιμή της μεταβλητής x αμετάβλητη, οι ορισμοί των μερικών παραγώγων μπορούν να διατυπωθούν ως εξής: Μερικές παράγωγοι Η γεωμετρική σημασία των μερικών παραγώγων μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών μια συνάρτηση πολλών μεταβλητών Απαραίτητες προϋποθέσεις για τη διαφοροποίηση μιας συνάρτησης Επαρκείς συνθήκες για τη διαφοροποίηση των συναρτήσεων πολλών μεταβλητών Συνολική διαφορική. η μερική παράγωγος ως προς το y της συνάρτησης z - / (x , y) είναι η παράγωγός του ως προς το y, που υπολογίζεται με την παραδοχή ότι το x είναι σταθερά. Συνεπάγεται ότι οι κανόνες για τον υπολογισμό των μερικών παραγώγων συμπίπτουν με τους κανόνες που έχουν αποδειχθεί για μια συνάρτηση μιας μεταβλητής. Παράδειγμα. Βρείτε μερικές παραγώγους μιας συνάρτησης 4 Έχουμε Αντικαταστάσεις*. Η ύπαρξη συνάρτησης y = /(x, y) σε ένα δεδομένο σημείο μερικών παραγώγων σε σχέση με όλα τα ορίσματα δεν συνεπάγεται τη συνέχεια της συνάρτησης σε αυτό το σημείο. Άρα, η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο σημείο 0(0,0). Ωστόσο, σε αυτό το σημείο, αυτή η συνάρτηση έχει μερικές παραγώγους ως προς το x και ως προς το y. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι /(x, 0) = 0 και /(0, y) = 0, και επομένως η γεωμετρική σημασία των μερικών παραγώγων μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών. Έστω η επιφάνεια S στον τρισδιάστατο χώρο δίνεται από την εξίσωση όπου η f(x, y) είναι μια συνάρτηση, συνεχής σε κάποιο πεδίο D και έχει μερικές παραγώγους ως προς τα x και y εκεί. Ας μάθουμε τη γεωμετρική σημασία αυτών των παραγώγων στο σημείο Mo(x0, y0) 6 D, στο οποίο αντιστοιχεί το σημείο f(x0)yo) στην επιφάνεια z = f(x)y). Όταν βρίσκουμε τη μερική παράγωγο στο σημείο M0, υποθέτουμε ότι το z είναι μόνο συνάρτηση του ορίσματος x, ενώ το όρισμα y διατηρεί μια σταθερή τιμή y \u003d yo, δηλαδή η συνάρτηση fi (x) αναπαρίσταται γεωμετρικά από την καμπύλη L , κατά μήκος της οποίας η επιφάνεια S τέμνεται από το επίπεδο y \u003d περίπου. Λόγω της γεωμετρικής σημασίας της παραγώγου μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής, f \ (xo) = tg a, όπου a είναι η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη στην ευθεία L στο σημείο JV0 με τον άξονα Ox (Εικ. 10) . Έτσι, λοιπόν, η μερική παράγωγος ($|) είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας a μεταξύ του άξονα Ox και της εφαπτομένης στο σημείο N0 στην καμπύλη που λαμβάνεται στο τμήμα της επιφάνειας z \u003d / (x, y) από το επίπεδο y. Ομοίως, λαμβάνουμε ότι η §6. Διαφοροποίηση μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών Έστω η συνάρτηση z = /(x, y) να οριστεί σε κάποιο πεδίο D στο επίπεδο xOy. Ας πάρουμε ένα σημείο (x, y) € D και δώσουμε στις επιλεγμένες τιμές x και y τυχόν προσαυξήσεις Ax και Dy, αλλά έτσι ώστε το σημείο. Ορισμός. Μια συνάρτηση r = /(x, y) ονομάζεται διαφοροποιήσιμη * σημείο (x, y) € 2E εάν η συνολική αύξηση αυτής της συνάρτησης, που αντιστοιχεί στις αυξήσεις Dx, Dy των ορισμάτων, μπορεί να αναπαρασταθεί ως όπου Α και Β δεν εξαρτώνται από τα Dx και D y (αλλά γενικά εξαρτώνται από τα x και y), ενώ τα a(Ax, Dy) και f(Ax, Dy) τείνουν στο μηδέν καθώς το Ax και το Dy τείνουν στο μηδέν. . Αν η συνάρτηση z = /(x, y) είναι διαφορίσιμη στο σημείο (x, y), τότε το μέρος A Dx 4 - VDy της αύξησης της συνάρτησης, γραμμικό ως προς τα Dx και Dy, ονομάζεται ολικό διαφορικό. αυτής της συνάρτησης στο σημείο (x, y) και συμβολίζεται με το σύμβολο dz: Tanim τρόπος, παράδειγμα. Έστω r = x2 + y2. Σε οποιοδήποτε σημείο (r, y) και για οποιοδήποτε Dx και Dy έχουμε Εδώ. έπεται ότι τα a και /3 τείνουν στο μηδέν καθώς το Ax και το Dy τείνουν στο μηδέν. Εξ ορισμού, αυτή η συνάρτηση είναι διαφοροποιήσιμη σε οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου xOy. Εδώ, σημειώνουμε ότι στη συλλογιστική μας δεν αποκλείσαμε τυπικά την περίπτωση που οι προσαυξήσεις Dx, Dy χωριστά ή ακόμη και οι δύο ταυτόχρονα ίσες με μηδέν. Ο τύπος (1) μπορεί να γραφτεί πιο συμπαγής αν εισαγάγουμε την έκφραση (την απόσταση μεταξύ των σημείων (Χρησιμοποιώντας την, μπορούμε να γράψουμε Δηλώνοντας την παράσταση σε αγκύλες με e, θα έχουμε όπου c εξαρτάται από J, Du και τείνει στο μηδέν αν J 0 και Dy 0, ή, εν συντομία, εάν p 0. Ο τύπος (1), που εκφράζει την προϋπόθεση για τη συνάρτηση z = f(xt y) να είναι διαφορίσιμη στο σημείο (x, y), μπορεί τώρα να γραφεί όπως Λοιπόν, στο Παράδειγμα 6.1 παραπάνω Θεώρημα 4. Εάν η συνάρτηση r = f(x, y) είναι διαφορίσιμη σε κάποιο σημείο, τότε είναι συνεχής σε αυτό το σημείο.4 Αν η συνάρτηση r = f(x, y) είναι διαφορίσιμη στο σημείο (x, y), τότε το σύνολο της αύξησης της συνάρτησης i σε αυτό το σημείο""e, που αντιστοιχεί στις αυξήσεις j και dy των ορισμάτων, μπορεί να αναπαρασταθεί ως /(x, y) είναι συνεχές. Έστω η συνάρτηση z = /(x, y) διαφοροποιήσιμη σε ένα σημείο (x, y). Τότε η αύξηση Dx αυτής της συνάρτησης, η οποία αντιστοιχεί στις αυξήσεις Dx, Ay των ορισμάτων, μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή (1). Λαμβάνοντας την ισότητα (1) Dx Ф 0, Dn \u003d 0, παίρνουμε από πού αφού στη δεξιά πλευρά της τελευταίας ισότητας η τιμή A δεν εξαρτάται από, Αυτό σημαίνει ότι στο σημείο (x, y) υπάρχει ένα μερική παράγωγος της συνάρτησης r \u003d / (x, y) ως προς το x, και με παρόμοιο συλλογισμό βλέπουμε ότι (x, υπάρχει μερική παράγωγος της συνάρτησης zу, και από το θεώρημα προκύπτει ότι Τονίζουμε ότι το Θεώρημα 5 βεβαιώνει την ύπαρξη μερικών παραγώγων μόνο στο σημείο (x, y), αλλά δεν λέει τίποτα για τη συνέχειά τους. συνάρτηση y = f(x) μιας μεταβλητής στο σημείο xo είναι η ύπαρξη πεπερασμένου της παραγώγου /"(x) στο σημείο x0. Στην περίπτωση που η συνάρτηση εξαρτάται από πολλές μεταβλητές, η κατάσταση είναι πολύ πιο περίπλοκη : δεν υπάρχουν απαραίτητες και επαρκείς συνθήκες διαφοροποίησης για τη συνάρτηση z = /(x, y) δύο ανεξάρτητων μεταβλητών x, y· υπάρχει l αναζητήστε τις απαραίτητες προϋποθέσεις (βλ. παραπάνω) και χωριστά - επαρκής. Αυτές οι επαρκείς προϋποθέσεις για τη διαφοροποίηση των συναρτήσεων πολλών μεταβλητών εκφράζονται με το ακόλουθο θεώρημα. Θεώρημα γ. Αν μια συνάρτηση έχει μερικές παραγώγους /£ και f"v σε κάποια γειτονιά της λεπτής γραμμής (xo, y0) και αν αυτές οι παράγωγοι είναι συνεχείς στο ίδιο το σημείο (xo, y0), τότε η συνάρτηση z = f(x, y ) είναι διαφοροποιήσιμο στο σημείο (x- Παράδειγμα Θεωρήστε μια συνάρτηση Μερικές παράγωγοι Γεωμετρική σημασία μερικών παραγώγων μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών Διαφοροποίηση μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών Απαραίτητες προϋποθέσεις για τη διαφοροποίηση μιας συνάρτησης Επαρκείς προϋποθέσεις για τη διαφοροποίηση των συναρτήσεων πολλών μεταβλητών Σύνολο διαφορικό Μερικά διαφορικά Παράγωγοι μιγαδικής συνάρτησης Ορίζεται παντού Με βάση τον ορισμό των μερικών παραγώγων, έχουμε ™ αυτής της συνάρτησης στο σημείο 0(0, 0) που βρίσκουμε και η αύξηση αυτής οξύνεται 0 και Du 0. Εμείς βάλε το D0. Τότε από τον τύπο (1) θα έχουμε Επομένως, οι συναρτήσεις / (x, y) \u003d δεν είναι διαφοροποιήσιμες στο σημείο 0 (0, 0), αν και έχει σε αυτό το σημείο παράγουμε fa και f "r Λαμβάνεται το αποτέλεσμα εξηγείται από το γεγονός ότι οι παράγωγοι f"z και f"t είναι ασυνεχείς στο σημείο της §7. πλήρες διαφορικό. Μερικές διαφορικές Αν η συνάρτηση r - f(z> y) είναι διαφορίσιμη, τότε το τελευταίο της διαφορικό dz είναι οι προσαυξήσεις τους: Μετά από αυτό, ο τύπος για το συνολικό διαφορικό της συνάρτησης παίρνει το παράδειγμα. Έστω i - 1l(x + y2). Τότε Ομοίως, εάν το u =) είναι μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση n ανεξάρτητων μεταβλητών, τότε Έκφραση ονομάζεται άπαχο διαφορικό της συνάρτησης z = f(x, y) ως προς τη μεταβλητή x. η έκφραση ονομάζεται μερικό διαφορικό της συνάρτησης z = /(x, y) της μεταβλητής y. Από τους τύπους (3), (4) και (5) προκύπτει ότι το ολικό διαφορικό μιας συνάρτησης είναι το άθροισμα των μερικών διαφορών της: Σημειώστε ότι η συνολική αύξηση Az της συνάρτησης z = /(x, y), γενικά , δεν ισούται με το άθροισμα των μερικών προσαυξήσεων. Αν σε ένα σημείο (x, y) η συνάρτηση z = /(x, y) είναι διαφορίσιμη και η διαφορική dz Φ 0 σε αυτό το σημείο, τότε η συνολική προσαύξησή της διαφέρει από το γραμμικό της μέρος μόνο κατά το άθροισμα των τελευταίων όρων aAx 4 - /? 0 και Ay --> O είναι απειροελάχιστα υψηλότερης τάξης από τους όρους του γραμμικού μέρους. Επομένως, όταν dz Ф 0, το γραμμικό μέρος της αύξησης μιας διαφοροποιήσιμης συνάρτησης ονομάζεται κύριο μέρος της αύξησης της συνάρτησης και χρησιμοποιείται ένας κατά προσέγγιση τύπος που θα είναι όσο πιο ακριβής, τόσο μικρότερη είναι η απόλυτη τιμή των προσαυξήσεων του τα επιχειρήματα. §8. Παράγωγα μιγαδικής συνάρτησης 1. Έστω ότι η συνάρτηση ορίζεται σε κάποιο πεδίο ορισμού D στο επίπεδο xOy, και καθεμία από τις μεταβλητές x, y, με τη σειρά της, είναι συνάρτηση του ορίσματος t: Θα υποθέσουμε ότι όταν το t αλλάζει στο διάστημα (τα αντίστοιχα σημεία (x, y) δεν εξέρχονται εκτός του τομέα D. Εάν αντικαταστήσουμε τις τιμές στη συνάρτηση z = / (x, y), τότε λαμβάνουμε μια σύνθετη συνάρτηση μιας μεταβλητής t. και για τις αντίστοιχες τιμές η συνάρτηση / (x, y) είναι διαφοροποιήσιμη, τότε η μιγαδική συνάρτηση στο σημείο t έχει παράγωγο και M Ας δώσουμε στο t μια αύξηση Dt. Τότε τα x και y θα λάβουν μερικές προσαυξήσεις Ax και Dy. Ως αποτέλεσμα, όταν (J)2 + (Dy)2 ∆ 0, η συνάρτηση z θα λάβει επίσης κάποια αύξηση Dt, η οποία, λόγω της διαφοροποίησης της συνάρτησης z = /(x , y) στο σημείο (x, y) μπορεί να αναπαρασταθεί ως όπου α) τείνουν στο μηδέν καθώς το Ax και το Du τείνουν στο μηδέν. Επεκτείνουμε τον ορισμό του a και /3 για Ax = Ay = 0 θέτοντας a Τότε το a( θα είναι συνεχές για J = Dy = 0. Θεωρήστε ότι η σχέση για το δεδομένο είναι σταθερή, υπό την προϋπόθεση ότι υπάρχουν όρια από την ύπαρξη οι παράγωγοι ^ και στο σημείο £ προκύπτει ότι οι συναρτήσεις x = y(t) και y = είναι συνεχείς σε αυτό το σημείο· επομένως, στο 0 και το J και το Dy τείνουν στο μηδέν, το οποίο με τη σειρά του συνεπάγεται a(Ax, Dy) και P(Ax, Ay) τείνουν στο μηδέν. Έτσι, η δεξιά πλευρά της ισότητας (2) στο 0 έχει ένα όριο ίσο με Επομένως, το όριο της αριστερής πλευράς του (2) υπάρχει στο 0, δηλ. , ε. υπάρχει ίσος Περνώντας στην ισότητα (2) στο όριο ως στο -» 0, λαμβάνουμε τον απαιτούμενο τύπο Στη συγκεκριμένη περίπτωση που, κατά συνέπεια, το z είναι σύνθετη συνάρτηση του x, λαμβάνουμε , y) πάνω από x, σε ο υπολογισμός του οποίου το όρισμα y λαμβάνεται ως σταθερά στην παράσταση /(x, y). Και υπάρχει η συνολική παράγωγος της συνάρτησης z ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή x, στον υπολογισμό της οποίας το y στην παράσταση /(x, y) δεν λαμβάνεται πλέον ως σταθερά, αλλά θεωρείται με τη σειρά του συνάρτηση του x : y = tp(x)t και επομένως η εξάρτηση του z από λαμβάνεται πλήρως υπόψη. Παράδειγμα. Βρείτε και jg εάν 2. Εξετάστε τώρα τη διαφοροποίηση μιας μιγαδικής συνάρτησης πολλών μεταβλητών. Έστω πού με τη σειρά του Έστω ότι στο σημείο (() υπάρχουν συνεχείς μερικές παράγωγοι u, 3; και στο αντίστοιχο σημείο (x, y), όπου η συνάρτηση f(x, y) είναι διαφορίσιμη Ας δείξουμε ότι Κάτω από αυτές τις συνθήκες, το μιγαδικό funchion z = z(() y) στο σημείο t7) έχει παραγώγους και u, και βρίσκουμε εκφράσεις για αυτές τις παραγώγους. Σημειώστε ότι αυτή η περίπτωση δεν διαφέρει σημαντικά από αυτήν που έχει ήδη μελετηθεί. Πράγματι, όταν το z διαφοροποιείται ως προς το £, η δεύτερη ανεξάρτητη μεταβλητή rj λαμβάνεται ως σταθερά, ως αποτέλεσμα της οποίας τα x και y γίνονται συναρτήσεις της ίδιας μεταβλητής x" = c), y = c) σε αυτήν την πράξη, και η ερώτηση της παραγώγου Φ λύνεται ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως η ερώτηση της παραγώγου στην παραγωγή του τύπου (3) Χρησιμοποιώντας τον τύπο (3) και αντικαθιστώντας τυπικά τις παραγώγους g και ^ σε αυτήν από τις παραγώγους u και αντίστοιχα, αποκτήστε Αν μια μιγαδική συνάρτηση είναι «Καθορίζεται από τύπους έτσι ώστε, εάν πληρούνται οι κατάλληλες συνθήκες, έχουμε Στη συγκεκριμένη περίπτωση όταν Και = όπου Μερικές παράγωγοι Γεωμετρική σημασία μερικών παραγώγων μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών Διαφοροποίηση μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών Απαραίτητες προϋποθέσεις για τη διαφοροποίηση μιας συνάρτησης Επαρκείς προϋποθέσεις για τη διαφοροποίηση συναρτήσεων πολλών μεταβλητών Πλήρες διαφορικό Μερικές διαφορικές Έχουμε παραγώγους μιγαδικής συνάρτησης Εδώ m είναι η ολική μερική παράγωγος της συνάρτησης και σε σχέση με την ανεξάρτητη μεταβλητή x, λαμβάνοντας υπόψη την πλήρη εξάρτηση του και από το x, συμπεριλαμβανομένων και μέσω z = z(x, y),