A determináns bármely elemének mollját ún a második meghatározója

az ezt az elemet tartalmazó sor és oszlop egy adott determinánsból való törlésével kapott sorrend. Tehát kicsi az elemhez

elemhez:

A determináns bármely elemének algebrai komplementere ennek az elemnek a faktorral felvett mollja, ahol i az elem sorszáma, j az oszlop száma. Így az elem algebrai komplementere:

Példa. Algebrai komplementerek keresése a determináns elemeire.

Tétel. A determináns egyenlő bármely oszlopa vagy sora elemeinek és algebrai komplementereinek szorzatával.

Más szavakkal, a következő egyenlőségek érvényesek a determinánsra.

Ezen egyenlőségek bizonyítása abból áll, hogy az algebrai összeadásokat a determináns elemein keresztül a kifejezéseikre cseréljük, és megkapjuk a (3) kifejezést. Javasoljuk, hogy ezt saját maga végezze el. A determináns cseréjét a hat képlet valamelyikével úgy nevezzük, hogy a determinánst a megfelelő oszlop vagy sor elemeire bontjuk. Ezeket a kiterjesztéseket a determinánsok kiszámítására használják.

Példa. Számítsa ki a determinánst a második oszlop elemeire bontva!

A harmadrendű determináns sor vagy oszlop elemeivé való kiterjesztésére vonatkozó tételt felhasználva igazolható az 1-8 tulajdonságok érvényessége harmadrendű determinánsokra. Ennek az állításnak az érvényességét hivatott ellenőrizni. A determinánsok tulajdonságai és a determinánsnak oszlop vagy sor elemeire való felosztására vonatkozó tétel lehetővé teszi a determinánsok számításának egyszerűsítését.

Példa. Számítsa ki a determinánst.

Számítsuk ki a második sor elemeinek "2" közös tényezőjét, majd a harmadik oszlop elemeinek ugyanazt a közös tényezőjét.

Adjuk hozzá az első sor elemeit a második, majd a harmadik sor megfelelő elemeihez.

Bővítsük ki a determinánst az első oszlop elemeire.

KisebbM ij elem a ij döntő n -a sorrendet sorrenddeterminánsnak nevezzük ( n-1 ), amelyet egy adott determinánsból kapunk úgy, hogy áthúzzuk azt a sort és oszlopot, amelyben ez az elem található ( én -edik sor és j oszlop).

Algebrai komplementer elem a ij a következő kifejezés adja:

A rendet meghatározó tényezők n>3 a determináns sor vagy oszlop elemeire való kiterjesztésére vonatkozó tétel segítségével számíthatók ki:

Tétel. A determináns egyenlő bármely sor vagy oszlop elemeinek az ezeknek az elemeknek megfelelő algebrai komplementerek szorzatának összegével, azaz.

Példa.

Számítsa ki a determinánst egy sor vagy oszlop elemeire bontva:

Megoldás

1. Ha egy sorban vagy egy oszlopban csak egy nullától eltérő elem található, akkor nem kell a determinánst átalakítani. Egyébként a determináns dekompozíciójára vonatkozó tétel alkalmazása előtt a következő tulajdonsággal transzformáljuk: ha egy sor (oszlop) elemeihez hozzáadjuk egy másik sor (oszlop) megfelelő elemeit tetszőleges tényezővel megszorozva, akkor a determináns értéke nem változik.

A 3. sor elemeiből kivonjuk a 2. sor megfelelő elemeit.

A 4. oszlop elemeiből vonja ki a 3. oszlop megfelelő elemeit, szorozva 2-vel.

A determinánst kiterjesztjük a harmadik sor elemeire

2. A kapott 3. rendű determináns kiszámítható a háromszögszabály vagy a Sarrus-szabály segítségével (lásd fent). A determináns elemei azonban meglehetősen nagy számok, ezért bővítsük ki a determinánst úgy, hogy először átalakítjuk:

A második sor elemeiből vonja ki az első sor megfelelő elemeit, szorozva 3-mal.

Az első sor elemeiből kivonjuk a harmadik sor megfelelő elemeit.

Az 1. sor elemeihez hozzáadjuk a 2. sor megfelelő elemeit

A nulla sor determinánsa 0.

Tehát a sorrend meghatározói n>3 kiszámítják:

· a determináns átalakítása háromszög alakra a determinánsok tulajdonságainak felhasználásával;

· a determináns tagokra vagy oszlopelemekre bontása, ezáltal a sorrend csökkentése.

Mátrix rang.

A mátrix rangja fontos numerikus jellemző. A legjellemzőbb probléma, amely megköveteli a mátrix rangjának megtalálását, a lineáris algebrai egyenletrendszer konzisztenciájának ellenőrzése.

Vegyük a mátrixot A rendelés p x n . Hadd k – valamilyen természetes szám, amely nem haladja meg a legkisebb számot p És n , vagyis

Kisebb k-edik rend mátrixok A négyzetes sorrendű mátrix determinánsának nevezzük k x k , mátrixelemekből áll A , amelyek előre kiválasztottak k vonalak és k oszlopok, valamint a mátrixelemek elrendezése A meg van mentve.

Tekintsük a mátrixot:

Írjunk fel ennek a mátrixnak néhány elsőrendű minorját. Például ha a mátrix harmadik sorát és második oszlopát választjuk ki A , akkor a választásunk megfelel az elsőrendű minor det(-4)=-4. Más szóval, ennek a minornak a megszerzéséhez töröltük a mátrixból az első és második sort, valamint az első, harmadik és negyedik oszlopot. A , a fennmaradó elemből pedig determinánst alkottak.

Így a mátrix elsőrendű minorjai maguk a mátrixelemek.

Mutassunk néhány másodrendű kiskorút. Válasszon ki két sort és két oszlopot. Vegyük például az első és második sort, valamint a harmadik és negyedik oszlopot. Ezzel a választással egy másodrendű kiskorúunk van
.

A mátrix másodrendű másik mollja A csekély

Hasonlóképpen megtalálhatók a mátrix harmadrendű minorjai is A . Mivel a mátrixban A Csak három sor van, majd jelölje ki mindet. Ha ezeknek a soroknak az első három oszlopát jelöljük ki, egy harmadrendű melléket kapunk:

Egy másik harmadrendű kiskorú:

Adott mátrixhoz A harmadnál magasabb rendű kiskorú nincs, hiszen

Hány kiskorú van? k - Hűha mátrix sorrend A rendelés p x n ? Elég sokat!

Rendben kiskorúak száma k képlettel lehet kiszámítani:

Mátrix rang a mátrix nem nulla moll legmagasabb rendűnek nevezzük.

Mátrix rang A ként jelölve rang(A). A mátrix rang és a mátrix minor definícióiból arra a következtetésre juthatunk, hogy a nulla mátrix rangja egyenlő nullával, és a nem nulla mátrix rangja nem kisebb egynél.

Tehát az első módszer a mátrix rangjának meghatározására az kiskorúak számbavételének módja . Ez a módszer a mátrix rangjának meghatározásán alapul.

Meg kell találnunk a mátrix rangját A rendelés p x n .

Ha a mátrixnak legalább egy eleme különbözik a nullától, akkor a mátrix rangja legalább eggyel egyenlő (mivel van egy elsőrendű kisebb, amely nem egyenlő nullával).

Ezután a másodrendű kiskorúakat nézzük. Ha minden másodrendű kiskorú nulla, akkor a mátrix rangja eggyel egyenlő. Ha van legalább egy nem nulla másodrendű moll, akkor folytatjuk a harmadrendű mollok felsorolását, és a mátrix rangja legalább kettő.

Hasonlóképpen, ha az összes harmadrendű kiskorú nulla, akkor a mátrix rangja kettő. Ha van legalább egy, a nullától eltérő harmadrendű moll, akkor a mátrix rangja legalább három, és áttérünk a negyedrendű mollok felsorolására.

Vegye figyelembe, hogy a mátrix rangja nem haladhatja meg a legkisebb számot p És n .

Példa.

Keresse meg a mátrix rangját!
.

Megoldás.

1. Mivel a mátrix nem nulla, a rangja nem kisebb egynél.

2. Másodrendű kiskorúak egyike
különbözik a nullától, ezért a mátrix rangja A legalább kettő.

3. Harmadrendű kiskorúak

Minden harmadrendű kiskorú egyenlő nullával. Ezért a mátrix rangja kettő.

rang(A) = 2.

Vannak más módszerek is a mátrix rangjának meghatározására, amelyek lehetővé teszik az eredmény elérését kevesebb számítási munkával.

Az egyik ilyen módszer az él minor módszer . Ezzel a módszerrel a számítások némileg csökkennek, de így is meglehetősen nehézkesek.

Van egy másik módszer a mátrix rangjának meghatározására - elemi transzformációk segítségével (Gauss-módszer).

A következő mátrixtranszformációkat nevezzük alapvető :

· a mátrix sorainak (vagy oszlopainak) átrendezése;

· a mátrix bármely sorának (oszlopának) minden elemét megszorozzuk egy tetszőleges számmal k, nullától eltérő;

· bármely sor (oszlop) elemeihez hozzáadjuk a mátrix másik sorának (oszlopának) megfelelő elemeit tetszőleges számmal megszorozva k.

A B mátrixot az A mátrixszal ekvivalensnek nevezzük, Ha IN származó A véges számú elemi transzformáció segítségével. A mátrix egyenértékűségét a szimbólum jelzi « ~ » , vagyis meg van írva A~B.

Egy mátrix rangjának megtalálása elemi mátrixtranszformációk segítségével a következő állításon alapul: ha a mátrix IN mátrixból nyerjük A véges számú elemi transzformáció felhasználásával, akkor r ang(A) = cseng(B) , azaz az ekvivalens mátrixok rangjai egyenlők .

Az elemi transzformációk módszerének lényege, hogy a mátrixot, amelynek rangját meg kell találnunk, trapéz alakúra (adott esetben felső háromszögre) redukáljuk elemi transzformációk segítségével.

Az ilyen típusú mátrixok rangját nagyon könnyű megtalálni. Egyenlő a legalább egy nullától eltérő elemet tartalmazó sorok számával. És mivel a mátrix rangja nem változik az elemi transzformációk végrehajtásakor, a kapott érték az eredeti mátrix rangja lesz.

Példa.

Az elemi transzformációk módszerével keressük meg a mátrix rangját!

.

Megoldás.

1. Cserélje fel a mátrix első és második sorát A , mivel az elem a 11 =0, és az elem a 21 nem nulla:

~

A kapott mátrix eleme egyenlő eggyel. Ellenkező esetben az első sor elemeit meg kellett szorozni -val. Tegyük nullára az első oszlop összes elemét, kivéve az elsőt. A második sorban már van egy nulla, a harmadik sorhoz hozzáadjuk az elsőt, megszorozva 2-vel:

A kapott mátrix eleme eltér nullától. Szorozzuk meg a második sor elemeit ezzel

A kapott mátrix második oszlopa a kívánt alakú, mivel az elem már egyenlő nullával.

Mert , A , majd cserélje fel a harmadik és a negyedik oszlopot, és szorozza meg a kapott mátrix harmadik sorát a következővel:

Az eredeti mátrix trapéz alakúra redukálódik, rangja megegyezik a legalább egy nullától eltérő elemet tartalmazó sorok számával. Három ilyen sor van, ezért az eredeti mátrix rangja három. r ang(A)=3.

Inverz mátrix.

Legyen egy mátrixunk A .

Mátrix inverz az A mátrixhoz , mátrixnak nevezzük A-1 olyan hogy A -1 A = A A -1 = E .

Inverz mátrix csak négyzetmátrix esetén létezhet. Ráadásul maga is ugyanolyan méretű, mint az eredeti mátrix.

Ahhoz, hogy egy négyzetmátrixnak legyen inverze, nem szingulárisnak kell lennie (pl. Δ ≠0 ). Ez a feltétel is elegendő a létezéshez A-1 a mátrixhoz A . Tehát minden nem szinguláris mátrixnak van inverze, sőt, egyedi is.

Algoritmus az inverz mátrix megtalálásához mátrix példáján A :

1. Keresse meg a mátrix determinánsát! Ha Δ ≠0 , majd a mátrix A-1 létezik.

2. Készítsünk B mátrixot az eredeti mátrix elemeinek algebrai összeadásaiból A . Azok. a mátrixban IN elem én - oh vonalak és j - a th oszlop az algebrai komplementer lesz A ij elem a ij eredeti mátrix.

3. Transzponálja a mátrixot IN és megkapjuk B t .

4. Keresse meg az inverz mátrixot a kapott mátrix szorzásával B t számonként .

Példa.

Adott mátrix esetén keresse meg az inverzt, és ellenőrizze:

Megoldás

Használjuk a korábban leírt algoritmust az inverz mátrix megkeresésére.

1. Egy inverz mátrix létezésének megállapításához ki kell számítani ennek a mátrixnak a determinánsát. Használjuk a háromszög szabályt:

A mátrix nem szinguláris, ezért invertálható.

Keressük meg az összes mátrixelem algebrai kiegészítését:

A talált algebrai összeadásokból összeáll a mátrix:

és átültetik

A kapott mátrix minden elemét elosztva a determinánsával, az eredetivel inverz mátrixot kapunk:

Az ellenőrzést úgy végezzük, hogy a kapott mátrixot megszorozzuk az eredetivel. Ha az inverz mátrixot helyesen találjuk, akkor a szorzás eredménye az azonosságmátrix.

Az adott mátrix inverz mátrixának megtalálásához használhatja a Gauss-módszert (természetesen először meg kell győződnie arról, hogy a mátrix invertálható), amelynek figyelembevételét az önálló munkára hagyom.

Algebrai komplementer- a mátrixalgebra fogalma; a négyzetmátrix aij eleméhez viszonyítva A-t úgy alakítjuk ki, hogy az aij elem mollját (1)i+j-vel megszorozzuk; Аij-vel jelöljük: Aij=(1)i+jMij, ahol Mij az A= mátrix aij elemének mollja, azaz. meghatározó...... Közgazdasági és matematikai szótár

algebrai komplementer- A mátrixalgebra fogalma; a négyzetmátrix aij eleméhez viszonyítva A-t úgy alakítjuk ki, hogy az aij elem mollját (1)i+j-vel megszorozzuk; Аij-vel jelöljük: Aij=(1)i+jMij, ahol Mij az A= mátrix aij elemének mollja, azaz. mátrix meghatározó,...... Műszaki fordítói útmutató

Lásd Art. Döntő... Nagy Szovjet Enciklopédia

Egy kisebb M esetén egy olyan szám, amely megegyezik azzal, hogy M egy k-rendű moll, amely számokkal rendelkező sorokban és oszlopokban található valamilyen n-rendű A négyzetmátrixban; egy n k rendű mátrix determinánsa, amelyet az A mátrixból kapunk a mellék M sorainak és oszlopainak törlésével;... ... Matematikai Enciklopédia

A Wikiszótárban van egy "kiegészítés" szócikk. A kiegészítés jelentése... Wikipédia

A művelet az adott X halmaz egy részhalmazát megfelelteti egy másik részhalmazzal, így ha Mi N ismeretes, akkor az X halmaz így vagy úgy visszaállítható attól függően, hogy az X halmaz milyen struktúrával van felruházva,... ... Matematikai Enciklopédia

Vagy egy determináns, a matematikában a számok rögzítése négyzet alakú táblázat formájában, amelyhez egy másik szám kerül (a determináns értéke). A determináns fogalma gyakran a determináns jelentését és rögzítésének formáját is jelenti. Collier enciklopédiája

A valószínűségszámításból származó tételhez lásd a Moivre-Laplace lokális tételét című cikket. A Laplace-tétel a lineáris algebra egyik tétele. Pierre Simon Laplace (1749, 1827) francia matematikusról nevezték el, akinek a nevéhez fűződik a ... ... Wikipédia megfogalmazása.

- (Laplacián mátrix) egy gráf mátrixot használó reprezentációinak egyike. A Kirchhoff-mátrixot egy adott gráf feszítőfáinak megszámlálására használják (mátrixfa tétel), és a spektrális gráfelméletben is használják. Tartalom 1... ...Wikipédia

Az egyenlet egy matematikai összefüggés, amely két algebrai kifejezés egyenlőségét fejezi ki. Ha egy egyenlőség igaz a benne szereplő ismeretlenek bármely megengedett értékére, akkor azt identitásnak nevezzük; például a forma aránya... ... Collier enciklopédiája

Könyvek

• Diszkrét matematika, A. V. Chashkin. 352 pp. A tankönyv 17 fejezetből áll a diszkrét matematika főbb részeiről: kombinatorikus elemzés, gráfelmélet, Boole-függvények, számítási komplexitás és kódoláselmélet. Tartalmaz...

Mátrix kiskorúak

Legyen adott egy négyzet mátrix A, n-edik sorrend. Kisebb néhány elem a ij , a mátrix meghatározója n-edik rendet hívják döntő(n - 1.) sorrend, az eredetiből annak a sornak és oszlopnak az áthúzásával kapjuk, amelynek metszéspontjában a kiválasztott elem a ij található. M ij jelölése.

Nézzünk egy példát a mátrix meghatározója 3 - sorrendje:

Akkor a definíció szerint kiskorú, kiskorú Az a 12 elemnek megfelelő M 12 lesz döntő:

Ugyanakkor segítséggel kiskorúak megkönnyítheti a számítási feladatot a mátrix meghatározója. Ki kell terjesztenünk mátrix meghatározó valamilyen vonal mentén, majd döntő egyenlő lesz ennek a sornak a kiskorúak összes elemének összegével. Bomlás a mátrix meghatározója 3 - a sorrend így fog kinézni:

A szorzat előtti jel (-1) n, ahol n = i + j.

Algebrai összeadások:

Algebrai komplementer az a ij elemet annak nevezzük kiskorú, "+" jellel, ha az összeg (i + j) páros szám, és "-" jellel, ha ez az összeg páratlan szám. Jelölve A ij. A ij = (-1) i+j × M ij.

Ezután újrafogalmazhatjuk a fent említett tulajdonságot. Mátrix meghatározó egyenlő egy bizonyos sor (sor vagy oszlop) elemeinek szorzatának összegével mátrixok megfelelőjükre algebrai összeadások. Példa:

4. Inverz mátrix és számítása.

Legyen A négyzet mátrix n-edik rend.

Négyzet mátrix A-t nem degeneráltnak nevezzük, ha mátrix meghatározó(Δ = det A) nem nulla (Δ = det A ≠ 0). Ellenkező esetben (Δ = 0) mátrix A-t degeneráltnak nevezzük.

Mátrix, szövetségese mátrix Ah, úgy hívják mátrix

Hol A ij - algebrai komplementer elem a ij adott mátrixok(ugyanúgy van meghatározva, mint algebrai komplementer elem a mátrix meghatározója).

Mátrix A -1-et hívják inverz mátrix A, ha a feltétel teljesül: A × A -1 = A -1 × A = E, ahol E egység mátrix ugyanaz a sorrend, mint mátrix A. Mátrix A -1 mérete megegyezik a mátrix A.

Inverz mátrix

Ha vannak négyzetek mátrixok X és A, teljesítve a feltételt: X × A = A × X = E, ahol E az egység mátrix akkor ugyanabban a sorrendben mátrix X-et hívják inverz mátrix az A mátrixhoz, és A -1-gyel jelöljük. Bármilyen nem degenerált mátrix rendelkezik inverz mátrixés ráadásul csak egyet, vagyis azért, hogy négyzet alakú legyen mátrix A volt inverz mátrix, szükséges és elégséges ahhoz döntő különbözött a nullától.

Megkapni inverz mátrix használd a képletet:

Ahol M ji további kiskorú elem a ji mátrixok A.

5. Mátrix rang. Rangszámítás elemi transzformációkkal.

Tekintsünk egy téglalap alakú mxn mátrixot. Válasszunk ki néhány k sort és k oszlopot ebben a mátrixban, 1 £ k £ min (m, n) . A kiválasztott sorok és oszlopok metszéspontjában elhelyezkedő elemekből k-edrendű determinánst állítunk össze. Minden ilyen determinánst mátrix minornak nevezünk. Például egy mátrixhoz másodrendű minorokat is összeállíthat és elsőrendű kiskorúak 1, 0, -1, 2, 4, 3.

Meghatározás. A mátrix rangja ennek a mátrixnak a nullától eltérő moll legmagasabb rendje. Jelölje az r(A) mátrix rangját.

A megadott példában a mátrix rangja kettő, mivel például kisebb

Kényelmes egy mátrix rangját az elemi transzformációk módszerével kiszámítani. Az elemi átalakítások a következőket tartalmazzák:

1) sorok (oszlopok) átrendezése;

2) egy sor (oszlop) szorzata nullától eltérő számmal;

3) egy sor (oszlop) elemeihez hozzáadjuk egy másik sor (oszlop) megfelelő elemeit, előzőleg megszorozva egy bizonyos számmal.

Ezek a transzformációk nem változtatják meg a mátrix rangját, hiszen ismert, hogy 1) a sorok átrendezésekor a determináns előjelet vált, és ha nem volt egyenlő nullával, akkor már nem lesz az; 2) ha egy determináns karakterláncát megszorozzuk egy olyan számmal, amely nem egyenlő nullával, a determinánst megszorozzuk ezzel a számmal; 3) a harmadik elemi transzformáció egyáltalán nem változtatja meg a determinánst. Így ha egy mátrixon elemi transzformációkat hajtunk végre, olyan mátrixot kaphatunk, amelyhez könnyen kiszámítható a rangja, és ennek következtében az eredeti mátrixé.

Meghatározás. Egy mátrixból elemi transzformációkkal kapott mátrixot ekvivalensnek nevezünk és jelöljük A IN.

Tétel. A mátrix rangja nem változik az elemi mátrix transzformációk során.

Elemi transzformációk segítségével a mátrixot az úgynevezett lépésformára redukálhatja, amikor a rangjának kiszámítása nem nehéz.

Mátrix lépésenként nevezzük, ha a következő formában van:

Nyilvánvaló, hogy az echelon mátrix rangja megegyezik a nullától eltérő sorok számával , mert van egy kisebb sorrend, amely nem egyenlő nullával:

.

Példa. Határozza meg a mátrix rangját elemi transzformációk segítségével!

A mátrix rangja megegyezik a nullától eltérő sorok számával, azaz. .

Meghatározás. Ha az n-edrendű determinánsban tetszőlegesen k sort és k oszlopot választunk, akkor ezeknek a soroknak és oszlopoknak a metszéspontjában lévő elemek k sorrendű négyzetmátrixot alkotnak. Az ilyen négyzetmátrix determinánsát ún k-edik rendű minor .

Jelölve Mk. Ha k=1, akkor az elsőrendű moll a determináns eleme.

A fennmaradó (n-k) sorok és (n-k) oszlopok metszéspontjában lévő elemek egy (n-k) sorrendű négyzetmátrixot alkotnak. Egy ilyen mátrix meghatározóját minornak nevezzük, további kiskorúnak M k . Mn-k jelöléssel.

A moll M k algebrai kiegészítése további mollnak fogjuk nevezni, amelyet „+” vagy „-” jellel veszünk, attól függően, hogy az összes sor és oszlop számának összege, amelyben az M k moll található, páros vagy páratlan.

Ha k=1, akkor az elem algebrai komplementere egy ik képlettel számítjuk ki

A ik =(-1) i+k M ik, ahol M ik- kisebb (n-1) sorrend.

Tétel. Egy k-edrendű moll és algebrai komplementerének szorzata egyenlő a D n determináns bizonyos számú tagjának összegével.

Bizonyíték

1. Tekintsünk egy speciális esetet. Hagyja, hogy az M k moll a determináns bal felső sarkát foglalja el, azaz az 1, 2, ..., k sorokban található, akkor az M n-k moll a k+1, k+2, ... sorokat foglalja el. , n.

Számítsuk ki a moll M k algebrai komplementerét. Definíció szerint

A n-k =(-1) s M n-k, ahol s=(1+2+...+k) +(1+2+...+k)= 2(1+2+...+k), akkor

(-1)s=1 és A n-k = M n-k. Megkapjuk

M k A n-k = M k M n-k. (*)

A moll M k tetszőleges tagját vesszük

ahol s az inverziók száma a helyettesítésben

és egy tetszőleges melléktag M n-k

ahol s * az inverziók száma a helyettesítésben

Az (1)-et és a (3-at) megszorozva kapjuk

A szorzat n elemből áll, amelyek a D determináns különböző soraiban és oszlopaiban helyezkednek el. Következésképpen ez a szorzat a D determináns tagja. Az (5) szorzat előjelét a (2) és a helyettesítések inverzióinak összege határozza meg. (4), és a hasonló szorzat előjele a D determinánsban az inverziók száma s k a helyettesítésben.

Nyilvánvaló, hogy s k =s+s * .

Így visszatérve a (*) egyenlőséghez, azt kapjuk, hogy az M szorzat k A n-k csak a determináns kifejezéseiből áll.

2. Legyen kiskorú M k sorokban található számokkal i 1 , i 2 , ..., i kés számokkal ellátott oszlopokban j 1, j 2, ..., j k,és én 1< i 2 < ...< i k És j 1< j 2 < ...< j k .

A determinánsok tulajdonságait felhasználva, transzpozíciókkal a moll bal felső sarokba kerül. Megkapjuk a D ¢ determinánst, amelyben a moll M k a bal felső sarkot és a további M¢-t foglalja el n-k a jobb alsó sarok, akkor az 1. pontban bizonyítottak szerint azt kapjuk, hogy az M szorzat k M¢ n-k a D ¢ determináns bizonyos számú elemének saját előjelükkel vett összege. De a D¢-t D-ből kapjuk a ( i 1 -1)+(i 2 -2)+ ...+(i k -k)=(i 1 + i 2 + ...+ i k)-(1+2+...+k) karakterlánc-transzpozíciók és ( j 1-1)+(j 2-2)+ ...+(j k -k)=(j 1 + j 2 + ...+ j k)- (1+2+...+k) oszloptranszpozíciók. Vagyis minden megtörtént

(i 1 + i 2 + ...+ i k)-(1+2+...+k)+ (j 1 + j 2 + ...+ j k)- (1+2+...+k) )= (i 1 + i 2 + ...+ i k)+ (j 1 + j 2 + ...+ j k)- 2 (1+2+...+k)=s-2(1+2) +...+k). Ezért a D és D ¢ determinánsok tagjai (-1) s-2(1+2+...+k) =(-1) s előjelben különböznek, ezért a (-1) s M szorzat k M¢ n-k a D determináns bizonyos számú tagjából fog állni, ugyanazokkal az előjelekkel, mint ebben a determinánsban.

Laplace-tétel. Ha az n-edik rendű determinánsban tetszőlegesen k sort (vagy k oszlopot) választunk 1£k£n-1, akkor a kiválasztott sorokban található összes k-edrendű minor és algebrai komplementere szorzata egyenlő a D determinánssal. .

Bizonyíték

Válasszunk véletlenszerű sorokat i 1 , i 2 , ..., i kés ezt be fogjuk bizonyítani

Korábban bebizonyosodott, hogy az egyenlőség bal oldalán lévő összes elem tagként szerepel a D determinánsban. Mutassuk meg, hogy a D determináns minden tagja csak az egyik tagba esik. Valóban, mindent tsúgy néz ki t s =. ha ebben a szorzatban megjegyezzük azokat a tényezőket, amelyek első indexei i 1 , i 2 , ..., i k, és állítsa össze terméküket, akkor észreveheti, hogy a kapott termék a k-edik rendű minorba tartozik. Következésképpen a maradék n-k sorból és n-k oszlopból átvett tagok a komplementer minorhoz, az előjelet figyelembe véve pedig az algebrai komplementerhez tartozó elemet alkotnak, ezért bármely ts csak az egyik szorzatba esik, ami bizonyítja a tételt.

Következmény(tétel a determináns sorban történő bővítéséről) . A determináns egy bizonyos sorának elemeinek és a megfelelő algebrai komplementerek szorzatának összege egyenlő a determinánssal.

(A bizonyítás gyakorlatként.)

Tétel. A determináns i-edik sorának elemeinek szorzata a j-edik sor (i¹j) elemeinek megfelelő algebrai komplementerekkel 0-val egyenlő.

Megjegyzés. Célszerű a Laplace-tétel egy következményét olyan tulajdonságokkal transzformált determinánsra alkalmazni, hogy az egyik sorban (vagy az egyik oszlopban) egy kivételével minden elem 0-val egyenlő.

Példa. Számítsd ki a determinánst

12 -14 +35 -147 -20 -2= -160.