Legyen z=ƒ(x;y) két x és y változó függvénye, amelyek mindegyike egy független t változó függvénye: x = x(t), y = y(t). Ebben az esetben a z = f(x(t);y(t)) függvény egy t független változó komplex függvénye; az x és y változók köztes változók.

44.4. Tétel. Ha z = ƒ(x;y) az M(x;y) є D pontban differenciálható függvény és x = x(t) és y = y(t) a t független változó differenciálható függvényei, akkor a derivált a z(t ) = f(x(t);y(t)) komplex függvényből a képlet segítségével számítjuk ki

Adjunk a t független változónak egy Δt növekményt. Ekkor az x = = x(t) és y = y(t) függvények Δx és Δy növekményt kapnak. Ezek viszont a z függvény Az értékét növelik.

Mivel a feltétel alapján a z - ƒ(x;y) függvény az M(x;y) pontban differenciálható, a teljes növekménye a következő formában ábrázolható

ahol а→0, β→0 Δх→0, Δу→0 (lásd a 44.3. bekezdést). Osszuk el a Δz kifejezést Δt-vel, és menjünk a Δt→0 határértékre. Ekkor Δх→0 és Δу→0 az x = x(t) és y = y(t) függvények folytonossága miatt (a tétel feltételei szerint differenciálhatóak). Kapunk:

Speciális eset: z=ƒ(x;y), ahol y=y(x), azaz z=ƒ(x;y(x)) egy független x változó komplex függvénye. Ez az eset redukálódik az előzőre, és a t változó szerepét x játssza. A (44.8) képlet szerint a következőket kapjuk:

A (44.9) képletet teljes derivált képletnek nevezzük.

Általános eset: z=ƒ(x;y), ahol x=x(u;v), y=y(u;v). Ekkor z= f(x(u;v);y(u;v)) az u és v független változók komplex függvénye. Parciális származékait a (44.8) képlet segítségével a következőképpen találhatjuk meg. A v rögzítése után a megfelelő parciális deriváltra cseréljük

Hasonlóképpen kapjuk:

Így egy komplex függvény (z) deriváltja minden független változóra (u és v) egyenlő ezen függvény (z) parciális deriváltjainak a közbenső változóira (x és y) vonatkozó szorzatainak összegével. ) és származékai a megfelelő független változó (u és v) vonatkozásában.

44.5. példa. Keresse meg, ha z=ln(x 2 +y 2), x=u v, y=u/v.

Megoldás: Keressük meg dz/du-t (dz/dv - függetlenül), a (44.10) képlet segítségével:

Egyszerűsítsük le a kapott egyenlőség jobb oldalát:

40. Több változó függvényének parciális deriváltjai és teljes differenciáljai.

Legyen adott a z = ƒ (x; y) függvény. Mivel x és y független változók, az egyik változhat, míg a másik megtartja értékét. Adjunk az x független változónak Δx növekményt, az y értéket változatlanul hagyva. Ekkor z növekményt kap, amelyet z x-hez viszonyított részleges növekményének nevezünk, és ∆ x z-nek jelöljük. Így,

Δxz=ƒ(x+Δx;y)-ƒ(x;y).

Hasonlóképpen megkapjuk z részleges növekményét y-hoz képest:

Δ y z=ƒ(x;y+Δy)-ƒ(x;y).

A z függvény teljes Δz növekményét az egyenlőség határozza meg

Δz = ƒ(x + Δx;y + Δy) - ƒ(x;y).

Ha van határ

akkor a z = ƒ (x; y) függvény parciális deriváltjának nevezzük az M (x; y) pontban az x változóhoz képest, és az egyik szimbólummal jelöljük:

Az x-re vonatkozó parciális deriváltokat az M 0 (x 0 ; y 0) pontban általában szimbólumokkal jelöljük

A z=ƒ(x;y) parciális deriváltját az y változóhoz hasonlóan definiáljuk és jelöljük:

Így több (két, három vagy több) változó függvényének parciális deriváltja e változók egyikének függvényének deriváltja, feltéve, hogy a többi független változó értéke állandó. Ezért az ƒ(x;y) függvény parciális deriváltjait az egyik változó függvényének deriváltjainak kiszámítására szolgáló formulák és szabályok segítségével találjuk meg (ebben az esetben x vagy y állandó értéknek tekinthető).

44.1. példa. Határozzuk meg a z = 2y + e x2-y +1 függvény parciális deriváltjait! Megoldás:

Két változó függvényének parciális deriváltjainak geometriai jelentése

A z= ƒ (x; y) függvény grafikonja egy bizonyos felület (lásd 12.1. fejezet). A z = ƒ (x; y 0) függvény grafikonja ennek a felületnek az y = y o síkkal való metszésvonala. Az egyik változó függvényének deriváltjának geometriai jelentése alapján (lásd a 20.2. bekezdést) arra a következtetésre jutunk, hogy ƒ"x(x o; y o) = tan a, ahol a az Ox tengely és a görbe z = ƒ (x; y 0) a Mo(xo;yo; ƒ(xo;yo)) pontban (lásd 208. ábra).

Hasonlóképpen, f"y(x 0;y 0)=tgp.

A Z=f(x,y) függvényt differenciálhatónak nevezzük a P(x,y) pontban, ha teljes ΔZ növekménye a következőképpen ábrázolható: Δz = A∙Δx+B∙Δy+ω(Δx,Δy), ahol Δx és Δy – a megfelelő x és y argumentumok tetszőleges növekménye a P, A és B pont bizonyos környezetében állandó (nem függ Δx,Δy-tól),

ω(Δx,Δy) – a távolságnál magasabb rendű végtelen kicsi:

Ha egy függvény egy pontban differenciálható, akkor a teljes növekménye abban a pontban két részből áll:

1. Az A∙Δx+B∙Δy függvény növekményének fő része lineáris a Δx,Δy függvényhez

2. És a nemlineáris ω(Δx,Δy) egy magasabb rendű infinitezimális, mint a növekmény fő része.

Egy függvény növekményének fő részét, lineárisan Δx,Δy függvényében, a függvény teljes differenciáljának nevezzük, és ezt jelöljük:Δz = A∙Δx+B∙Δy, Δx=dx és Δy=dy vagy két változó függvényének teljes differenciája:

Kijelző differenciálmű. Egy változó numerikus függvényének differenciálja és deriváltja. Származékok táblázata. Differenciálhatóság. ) az argumentum függvénye, amely infinitezimális mint →0, azaz.

Tisztázzuk most az összefüggést egy pontban a differenciálhatóság és a derivált ugyanabban a pontban való létezése között.

Tétel. A funkció érdekében f(x) egy adott ponton differenciálható volt X , szükséges és elégséges, hogy ezen a ponton véges deriváltja legyen.

Származékok táblázata.

Komplex függvények megkülönböztetése

Legyen a funkció n- a változók argumentumai is változók függvényei:

A komplex függvény differenciálására vonatkozó következő tétel érvényes.

8. tétel. Ha a függvények a pontban differenciálhatók, és a függvény a megfelelő pontban differenciálható, ahol , . Ekkor a komplex függvény a pontban differenciálható, és a parciális deriváltokat a képletek határozzák meg

ahol a részleges deriváltokat a pontban számítják ki, és a pontban számítják ki.

Bizonyítsuk be ezt a tételt két változó függvényére. Legyen , a .

Legyenek az argumentumok tetszőleges növekményei a pontban. Ezek a függvények növekményeinek és a pontnak felelnek meg. Növekszik és megfelel a függvény növekményének a pontban. Mivel a ponton differenciálható, a növekménye a formába írható

ahol és a pontban , at és . A függvények és a pont differenciálhatósága miatt megkapjuk

ahol a pontban kerül kiszámításra; .

Helyettesítsük (14)-et (13)-ra, és rendezzük át a kifejezéseket

Vegye figyelembe, hogy at , since és nullára hajlamosak at . Ez abból a tényből következik, hogy infinitezimálok és -nél. De a függvények is differenciálhatók, és ezért a ponton folytonosak. Ezért ha és akkor. Akkor és a .

Mivel a parciális deriváltokat a pontban számítjuk ki, megkapjuk

Jelöljük

és ez azt jelenti, hogy differenciálható az és változók tekintetében, és

Következmény. Ha , és , , azaz. , akkor a derivált a változóhoz képest t képlettel számítjuk ki

Ha, akkor

Az utolsó kifejezést nevezzük a teljes derivált képlet sok változó függvényére.

Példák. 1) Határozza meg a függvény teljes deriváltját, ahol , .

Megoldás.

2) Határozza meg a függvény teljes deriváltját, ha , .

Megoldás.

Egy összetett függvény differenciálási szabályait felhasználva megkapjuk egy több változóból álló függvény differenciáljának egyik fontos tulajdonságát.

Ha a független változók függvények, akkor a differenciál definíció szerint egyenlő:

Legyenek most az argumentumok a függvény valamely pontján differenciálható függvények a változók tekintetében, a függvény pedig legyen differenciálható a változókra vonatkozóan, . Ekkor a változók komplex függvényének tekinthető, . Az előző tétel szerint differenciálható és a reláció fennáll

ahol a (12) képlet határozza meg. Helyettesítsük be (12)-t (17)-be, és összegyűjtve az együtthatókat, megkapjuk

Mivel a derivált együtthatója egyenlő a függvény differenciáljával, ismét megkaptuk a (16) képletet egy komplex függvény differenciáljára.

Így az első differenciálképlet nem függ attól, hogy argumentumai függvények-e, vagy függetlenek-e. Ezt a tulajdonságot ún az első differenciál alakjának változatlansága.

A (29) Taylor-formula úgy is felírható

A bizonyítást két vagy változó függvényére hajtjuk végre.

Először nézzük meg egy változó függvényét. Legyen egyszer differenciálható a pont szomszédságában. A Taylor-képlet egy olyan változó függvényére, amely a Lagrange-képletben a maradék tagot tartalmazza

Mivel független változó, akkor . Egy változó függvényének differenciáljának definíciója szerint

Ha jelöljük, akkor (31) így írható fel

Tekintsük egy pont és egy tetszőleges pont környékét, és kössük össze a pontokat egy egyenes szakaszsal. Nyilvánvaló, hogy ennek az egyenesnek a koordinátái és pontjai a paraméter lineáris függvényei.

Egy egyenes szakaszon a függvény a paraméter komplex függvénye, mert . Sőt, egyszer differenciálható, és a (32) Taylor-formula érvényes, ahol , azaz.

A (32) képletben szereplő differenciálok egy komplex függvény differenciáljai, ahol , , , azaz.

A (33)-at (32)-be behelyettesítve és ezt figyelembe véve azt kapjuk

A (34) utolsó tagját az in Taylor-formula maradék tagjának nevezzük Lagrange forma

Bizonyítás nélkül megjegyezzük, hogy ha a tétel feltételei között a függvény differenciálható a pontban m alkalommal, akkor a maradék tag úgy írható fel Peano forma:

7. fejezet Több változó függvényei

7.1. Tér Rn. Lineáris térben halmozódik fel.

Egy halmaz, amelynek minden eleme lehetséges rendezett halmaza n valós számok, jelölve és hívva n-dimenziós aritmetikai tér, és a szám n hívott a tér dimenziója. Egy halmaz elemét ún egy pont a térben, vagy egy vektor,és a számok koordináták ezt a pontot. A =(0, 0, …0) pontot hívjuk nulla vagy eredet.

A tér valós számok halmaza, azaz. – számsor; és – egy kétdimenziós koordináta geometriai sík, illetve egy háromdimenziós koordináta geometriai tér. A , , … vektorokat hívjuk egység alapon.

Két elemre, egy halmazra, az elemek összegének és egy elem valós számmal való szorzatának fogalma van meghatározva:

Nyilvánvaló, hogy ebből a definícióból és a valós számok tulajdonságaiból adódóan az egyenlőségek igazak:

Ezen tulajdonságok szerint a teret is nevezik lineáris (vektor) tér.

Lineáris térben definiálva van pont termék elemek és valós számként, a következő szabály szerint számítva:

A számot hívják vektor hossza vagy a norma. A vektorokat ún ortogonális, Ha . Nagyságrend

, )= │ - │ =

hívott az elemek közötti távolságÉs .

Ha és nem nulla vektorok, akkor szög közöttük olyan szöget nevezünk

Könnyen ellenőrizhető, hogy bármely elem és valós szám esetén teljesül-e a skalárszorzat:

Az (1) képlettel meghatározott skaláris szorzattal rendelkező lineáris teret nevezzük Euklideszi tér.

Legyen a pont és . Azon pontok halmaza, amelyekre az egyenlőtlenségek érvényesek

hívott n -mérőkocka pontban éllel és középponttal. Például egy kétdimenziós kocka olyan négyzet, amelynek oldala a pontban van középpontban.

Az egyenlőtlenséget kielégítő pontok halmazát ún n-dimenziós golyó pontban középpontba állított sugár, amelyet más néven

- pont szomszédságában be és jelöli,

Így egy egydimenziós golyó egy hosszúságú intervallum. 2D labda

van egy kör, amelyre az egyenlőtlenség érvényes

1. definíció. A készlet ún korlátozott, ha létezik
n- ezt a készletet tartalmazó dimenziós golyó.

2. definíció. A természetes számok halmazán meghatározott és a hozzá tartozó értékeket felvevő függvényt hívjuk meg sorrend térben és hol jelöljük.

3. definíció. A lényeg az ún a sorozat határa, ha egy tetszőleges pozitív számhoz van olyan természetes szám, hogy az egyenlőtlenség bármely számra érvényes.

Szimbolikusan ez a meghatározás a következőképpen íródott:

Kijelölés:

A 3. definícióból az következik, hogy . Ezt a sorrendet hívják konvergens-hoz.

Ha egy sorozat nem konvergál egyetlen ponthoz sem, akkor hívják divergens.

1. tétel. Ahhoz, hogy a sorozat egy ponthoz konvergáljon, szükséges és elégséges, hogy bármely számra, pl. sorrendbe állítani én- a konvergált pontok x koordinátái én-a pont koordinátája.

□ A bizonyítás az egyenlőtlenségekből következik

A sorozat az ún korlátozott, ha az értékkészlete korlátozott, pl.

A számsorokhoz hasonlóan a konvergens pontsorozat is korlátos, és egyetlen határértékkel rendelkezik.

4. definíció. A sorozat az ún alapvető(Cauchy sorozat), ha bármely pozitív számra meg lehet adni egy természetes számot úgy, hogy tetszőleges természetes számokra és , nagy , teljesüljön, azaz.

2. tétel(Cauchy-kritérium). Ahhoz, hogy egy sorozat konvergens legyen, szükséges és elegendő, hogy alapvető legyen.

□ Szükségszerűség. Konvergáljon a lényeghez. Ekkor kapunk egy sorozatot, amely -hez konvergál. . . , ..., X-et hívják régióban V . Ha X - régióban, akkor annak lezárását ún.

zárt terület Készletek X És Y hívott szétválasztható

, ha egyik sem tartalmazza a másik érintési pontjait. Sok X hívottösszefüggő

, ha egyik sem tartalmazza a másik érintési pontjait. Sok, ha nem ábrázolható két szétválasztható halmaz uniójaként. hívott , konvex

ha bármelyik két pontja összekapcsolható egy teljes egészében ehhez a halmazhoz tartozó szakasszal.. Példa

A fent megfogalmazott definíciók alapján azt lehet érvelni, hogy

– összefüggő, lineárisan összefüggő, nyitott, nem konvex halmaz, egy régió.

– összefüggő, lineárisan összefüggő, bontatlan, nem konvex halmaz, nem régió.

– nem összefüggő, nem lineárisan összefüggő, nyitott, nem konvex halmaz, nem régió.

– nem összefüggő, nem lineárisan kapcsolódó, nyitott halmaz, nem régió.

– összefüggő, lineárisan összefüggő, nyitott halmaz, egy régió.

Példa. Keresse meg , ha , hol .

Megoldás. Az (1) képlet szerint a következőket kapjuk: .

Példa. Keresse meg a parciális derivált és a teljes derivált, ha

Megoldás. . .

2°. A (2) képlet alapján megkapjuk

Több független változó esete. Hadd z = f(x;y) - X X két változó függvénye y,

amelyek mindegyike egy függvény független változó t: x = x(t), y = y(t). Ebben az esetben a függvény z=f(x(t);y(t))

van egy független változó komplex függvénye t; változók

Tétel x és y köztes változók. . Ha == f z (x; y) - egy ponton differenciálható M(x;y) D

funkció És X x = x(t) =at y(t) - a független változó differenciálható függvényei

t, akkor egy komplex függvény deriváltja == fz(t)(x(t);y(t))

(3)

képlettel számítjuk ki = Különleges eset: z f(x; y), ahol y = y(x), azok. z = f(x;y(x)) -

amelyek mindegyike egy függvény egy összetett funkciója X.

t Ez az eset redukálódik az előzőre, és a változó szerepére egy összetett funkciója A (3) képlet szerint a következőket kapjuk:

.

Az utolsó képlet az ún teljes derivált képletek.

Általános eset: z = f(x;y), Ahol x = x(u;v), y=y(u;v). Ekkor z = f(x(u;v);y(u;v)) -összetett

független változók függvénye És X v. Részleges származékai megtalálhatók

a (3) képlet segítségével az alábbiak szerint. Javítva v, cserélje ki,

megfelelő parciális származékai

Így a komplex függvény (z) deriváltja az egyes független változókra vonatkozóan (És X v)

egyenlő e függvény (z) parciális deriváltjainak szorzatainak összegével a közbenső termékéhez képest

változók (x és y) származékaikhoz a megfelelő független változó tekintetében (u és v).

A képlet minden esetben érvényes

(egy teljes differenciál invariancia tulajdonsága).

Példa. Keresse meg és ha z= f(x,y), ahol x=uv, .

Tétel.Több független változó esete. u = f (x, y) a D és let tartományban van megadva x = x(t) X y = y(t) azonosították a területen , és mikor , akkor x és y a D régióhoz tartozik. Legyen az u függvény differenciálható az M pontban 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), és x függvények(t) és at(t) differenciálható a megfelelő t pontban 0 , akkor az u = f komplex függvény[x(t),y(t)]=F (t)t pontban differenciálható 0 és az egyenlőség érvényesül:

.

Bizonyíték. Mivel u feltétel szerint differenciálható a pontban ( x 0 , y 0), akkor a teljes növekményét a következőképpen ábrázoljuk

Ezt az arányt elosztva -vel, a következőt kapjuk:

Menjünk a határértékig, és kapjuk meg a képletet

.

1. megjegyzés. Ha u= u(x, y) És x= x, y= y(x), akkor a függvény teljes deriváltja u változó szerint X

vagy .

Az utolsó egyenlőség felhasználható egy változó függvényének differenciálására vonatkozó szabály bizonyítására, implicit formában megadva F(x, y) = 0, ahol y= y(x) (lásd a 3. témakört és a 14. példát).

Nálunk: . Innen . (6.1)

Térjünk vissza a 3. téma 14. példájához:

;

.

Mint látható, a válaszok egybeestek.

2. megjegyzés. Hadd u = f (x, y), Hol X= X(t ,v), x = x(t)= x = x(t)(t ,v). Ekkor u végső soron két változó komplex függvénye tÉs v. Ha most az u függvény differenciálható a pontban M 0 (x 0 , y 0), és a függvények X X x = x(t) differenciálhatók a megfelelő ponton ( t 0 , v 0), akkor a vonatkozásban parciális deriváltokról beszélhetünk tÉs v pontban lévő komplex függvényből ( t 0 , v 0). De ha a t-re vonatkozó parciális deriváltról beszélünk egy meghatározott pontban, akkor a második v változót állandónak tekintjük és egyenlőnek v 0 . Következésképpen csak egy komplex függvény deriváltjáról beszélünk t vonatkozásában, ezért használhatjuk a származtatott formulát. Így kapunk.

Legyen definiálva a z - /(x, y) függvény valamilyen D tartományban az xOy síkon. Vegyünk egy belső pontot (x, y) a D területből, és adjunk x-nek olyan Ax növekményt, hogy az (x + Ax, y) pont 6 D legyen (9. ábra). Nevezzük a mennyiséget a z függvény x-hez viszonyított részleges növekményének. Készítsünk relációt: Adott (x, y) pontra ez a reláció a Definíció függvénye. Ha Ax -* 0 esetén a ^ relációnak véges határa van, akkor ezt a határértéket a z = /(x, y) függvény parciális deriváltjának nevezzük az x független változóhoz képest az (x, y) pontban, és jfc (vagy /i(x, jj ), vagy z"x(x) szimbólummal jelöljük, definíció szerint ugyanígy, vagy ami ugyanaz, Hasonlóképpen, ha u n független változó függvénye, akkor észrevéve, hogy Arz-t az y változó állandó értékével, Atz-t pedig az x változó állandó értékével számítjuk, a parciális deriváltak definíciói az alábbiak szerint fogalmazhatók meg: Részleges deriváltok Két változó függvényének parciális deriváltjainak geometriai jelentése Több változó függvényének differenciálhatósága Egy függvény differenciálhatóságának szükséges feltételei Több változó függvényének differenciálhatóságának elégséges feltételei Teljes differenciál Parciális differenciálok A parciális derivált komplex függvényének deriváltjai a függvény x függvényében z = /(x , y ) ennek a függvénynek az x-hez viszonyított közönséges deriváltja, azzal a feltételezéssel számolva, hogy y a z - /(x, y) függvény y-hoz viszonyított parciális deriváltja. y, azzal a feltételezéssel számolva, hogy x konstans. Ebből következik, hogy a parciális deriváltak számítási szabályai egybeesnek az egy változó függvényére bizonyított szabályokkal. Példa. Határozzuk meg a 4 Van helyettesítésünk* függvény parciális deriváltjait. Az r = f(x, y) függvény létezése a parciális deriváltak adott pontjában az összes argumentumhoz képest nem jelenti a függvény folytonosságát ezen a ponton. Így a függvény nem folytonos a 0(0,0) pontban. Azonban ezen a ponton a megadott függvénynek parciális deriváltjai vannak x és y vonatkozásában. Ez abból következik, hogy /(x, 0) = 0 és /(0, y) = 0 és ezért két változó függvény parciális deriváltjainak geometriai jelentése. Legyen az S felület a háromdimenziós térben definiálva az az egyenlet, ahol f(x, y) valamely D tartományban folytonos függvény, és ott parciális deriváltjai vannak x és y vonatkozásában. Nézzük meg ezeknek a deriváltaknak a geometriai jelentését a Mo(xo,yo) 6 D pontban, amely megfelel a z = f(x)y felület f(x0)yo) pontjának. Az M0 pont parciális deriváltjának megkeresésekor feltételezzük, hogy z csak az x argumentum függvénye, míg az y argumentum megőrzi az y = y0 állandó értéket, azaz a fi(x) függvényt geometriailag az L görbe ábrázolja. amelyet az S felületet az y = sík o pontban metszi. Az egyik változó függvénye deriváltjának geometriai jelentése miatt f\(xo) = tan a, ahol a az a szög, amelyet az L egyenes érintője a JV0 pontban az Ox tengellyel zár be (10. ábra). . De így Így a parciális derivált ($|) egyenlő az Ox tengely és az N0 pontban lévő érintő a szög érintőjével a z = /(x, y) felület metszetében a y sík hasonlóképpen megkapjuk, hogy §6. Több változóból álló függvény differenciálhatósága Legyen a z = /(x, y) függvény az xOy síkon valamilyen D tartományban definiálva. Vegyünk egy (x, y) € D pontot, és adjuk meg az x és y kiválasztott értékeit tetszőleges Ax és Dy növekményekkel, de úgy, hogy a pont legyen. Meghatározás. Az r = /(x, y) függvényt differenciálható * pont (x, y) € 2E-nek nevezzük, ha ennek a függvénynek a teljes növekménye, amely megfelel a Dx, Dy argumentumok növekményeinek, olyan formában ábrázolható, ahol A és B nem függenek Dx-től és Dy-től (de általában függnek x-től és y-tól), és a(Dx, Dy) és /?(Dx, Dy) nullára hajlamosak, ahogy a Dx és Dy nullára hajlamosak. . Ha a z = /(x, y) függvény differenciálható az (x, y) pontban, akkor a függvény növekményének Dx és Dy függvényében lineáris A Dx 4- VDy részét teljes differenciálnak nevezzük. ennek a függvénynek az (x, y) pontjában, és dz szimbólummal jelöljük: Ily módon, Példa. Legyen r = x2 + y2. Bármely pontban (r,y) és bármely Dx és Du esetén itt van. most, hogy a és /3 nullára hajlamos, mint a Dx és a Dy nullára. A definíció szerint ez a függvény az xOy sík bármely pontján differenciálható. Ugyanakkor megjegyezzük, hogy indoklásunkban formálisan nem zártuk ki azt az esetet, amikor a Dx, a Du külön-külön, vagy akár mindkettő egyszerre nullával egyenlő. Legyen a z = /(x, y) függvény differenciálható az (x, y) pontban. Ekkor ennek a függvénynek a Dg növekménye, amely megfelel az argumentumok Dx, Ay növekményeinek, az (1) formában ábrázolható. Az (1) Dx Φ 0, Dy = 0 egyenlőséget felvéve azt kapjuk, hogy mivel az utolsó egyenlőség jobb oldalán az A érték nem függ attól, Ez azt jelenti, hogy az (x, y) pontban parciális derivált van. az r = /(x, y) függvény x-ben, és hasonló érveléssel meggyőződünk arról, hogy (x, van egy parciális deriváltja a zy függvénynek, és a tételből az következik, hogy Hangsúlyozzuk, hogy az 5. Tétel kimondja a parciális deriváltak csak az (x, y) pontban, de nem mond semmit a folytonosságukról ezen a ponton, valamint az (x, y) pont szomszédságában való viselkedésükről az x0 pontban. Abban az esetben, ha a függvény több változótól függ, sokkal bonyolultabb a helyzet: két független x, y változó z = /(x, y) függvényére nincs szükség és elégséges feltétele a differenciálhatóságnak szükséges feltételek (lásd fent) és külön - elegendő. A több változó függvényének differenciálhatóságának ezeket az elégséges feltételeit a következő tétel fejezi ki. Tétel c. Ha egy függvénynek f és f"v parciális deriváltjai vannak a vékony (xo, V0) valamelyik szomszédságában, és ha ezek a deriváltok folytonosak a pontban (xo, V0), akkor a z = f(x, y) függvény differenciálható a pont (x- Példa. Tekintsük a függvényt Parciális deriváltok Két változó függvényének parciális deriváltjainak geometriai jelentése Több változó függvényének differenciálhatósága Több változó függvényének differenciálhatóságának elégséges feltételei Összes differenciál Komplex függvény deriváltjai Ez az mindenhol definiálva A parciális deriváltak definíciója alapján ennek a függvénynek az oschdrlm* ™-jét a 0(0,0) pontban találjuk, és ennek a pontnak a növekményét Az /(x,y) függvény differenciálhatóságához. = a 0(0,0) pontban szükséges, hogy az e(Dx, Dy) függvény Dx 0 és Ду 0 esetén teljesen kicsi legyen. Állítsuk be a D0-t. Ekkor az (1) képletből kapjuk az f() függvényt. x,y) = nem differenciálható a 0(0,0) pontban, bár ebben a pontban van fa és f"r. A kapott eredményt az magyarázza, hogy az f"z és f"t deriváltak nem folytonosak pontnál §7. Teljes differenciálmű. Részleges differenciálok Ha a z - f(z> y) függvény differenciálható, akkor a dz teljes differenciája egyenlő azzal, hogy A = B = u, az (1) képletet a következő formában írjuk ki egy függvény független változókra történő beállítása, a független változók differenciáljának beállítása megegyezik a növekményükkel: Ezek után figyelemre méltó a függvény teljes differenciájának képlete. Legyen i - 1l(x + y2). Majd Hasonlóképpen, ha u =) n független változó differenciálható függvénye, akkor a Kifejezést a z = f(x, y) függvény utódifferenciáljának nevezzük az x változóhoz képest; a kifejezést az y változó z = /(x, y) függvényének parciális differenciáljának nevezzük. A (3), (4) és (5) képletekből az következik, hogy egy függvény teljes differenciája a részdifferenciáinak összege: Figyeljük meg, hogy a z = /(x, y) függvény A teljes növekménye általában véve , nem egyenlő a részleges növekmények összegével. Ha az (i, y) pontban a z = /(x, y) függvény differenciálható és a dz Φ 0 differenciál ebben a pontban, akkor teljes növekménye csak az aAx 4 utolsó tagok összegével tér el a lineáris részétől. - /?DE, amelyek az Ax 0-nál és az Ау -» О-nél magasabb rendű végtelen kicsinyek, mint a lineáris rész tagjai. Ezért, ha dz Ф 0, a differenciálható függvény növekményének lineáris részét a függvény növekményének fő részének nevezzük, és egy közelítő képletet használunk, amely minél pontosabb, minél kisebb abszolút értékű a függvény növekménye. az érvek azok. §8. Egy komplex függvény deriváltjai 1. Legyen a függvény az xOy síkon valamilyen D tartományban definiálva, és az x, y változók mindegyike a t argumentum függvénye: Feltesszük, hogy ha t változik az intervallumban ( a megfelelő pontok (x, y) nem maradnak a D tartományon kívül. Ha behelyettesítünk értékeket a z = / (x, y) függvénybe, akkor egy t változó komplex függvényét kapjuk, és a megfelelő értékekre a függvény / (x, y) differenciálható, akkor a komplex függvénynek van egy deriváltja a t pontban. Adjunk meg t-nek egy Dt növekményt (J)2 + (Dy)2 Ф 0, a z függvény is kap némi Dt növekményt, ami a z = /(x , y) függvény differenciálhatósága miatt az (x, y) pontban olyan formában kell ábrázolni, ahol a) nullára hajlamos, mint az Ax és a Du nullára. Határozzuk meg a-t és /3-at Ax = Ay = 0-ra úgy, hogy beállítjuk a Akkor a(folytonos lesz, ha J = Dn = 0. Tekintsük azt az összefüggést, amivel rendelkezünk Minden tagban^ a (2) jobb oldalán mindkét tényezőnek van határa Valójában a parciális deriváltak és a ^ egy adott esetén állandóak, feltétel szerint vannak korlátok a ^ deriváltak létezéséből, és a £ pontban az x = y(t) és y = függvények ebben a pontban folytonosak, mint At 0, mind a J, mind a Dy nullára hajlamos, ami viszont a(Dx, Dy) és P(Ax, Ay) nullára való hajlamot vonja maga után egyenlő tehát a 0-nál a (2) bal oldalának is van határa, azaz. e. Ha a (2) egyenlőségben az At -» 0-t kapjuk, akkor megkapjuk a szükséges képletet, amikor tehát z x komplex függvénye (5) van egy parciális derivált funadiig = /(x , y) x-szel, amikor kiszámoljuk, hogy az /(x, y) kifejezésben az y argumentumot vesszük állandónak. És van egy teljes deriváltja a z függvénynek az x független változóhoz képest, amikor kiszámítjuk, hogy az /(x, y) kifejezésben melyik y-t már nem vesszük állandónak, hanem az x függvényének tekintjük: y = tp(x)t, és ezért z függőségét teljes mértékben figyelembe veszik. Példa. Keresse meg és jg, ha 2. Tekintsük most egy több változóból álló komplex függvény differenciálását. Tegyük fel, hogy a (() pontban folytonos parciális deriváltak vannak u, 3? és a megfelelő pontban (x, y), ahol az f(x, y) függvény differenciálható. ilyen feltételek mellett a z = z(() y) komplex függvénynek a t7) pontban vannak deriváltjai és χ-ja, és ezekre a deriváltokra találunk kifejezéseket. Megjegyzendő, hogy ez az eset nem különbözik jelentősen a már vizsgált esettől. Valóban, amikor z-t £-hoz képest differenciáljuk, a második független rj változót konstansnak vesszük, aminek eredményeként x és y ebben a műveletben egy x" = c), y = c) változó függvényeivé válnak, és a kérdés a ζ származékot pontosan ugyanúgy oldjuk meg, mint a derivált kérdését a (3) képlet levezetésekor. megtaláljuk a Példát. Keressük meg az r = x2 y - x - y = függvény ^ és ^ parciális deriváltjait. Ha egy komplex függvényt olyan képletekkel adunk meg, hogy akkor a megfelelő feltételek teljesülése esetén az a speciális esetben, amikor. És = ahol Parciális deriváltak Két változó függvényének parciális deriváltjainak geometriai jelentése Több változó függvényének differenciálhatósága Egy függvény differenciálhatóságának szükséges feltételei Több változó függvényének differenciálhatóságának elégséges feltételei Összetett függvény deriváltjai we have Itt m a függvény teljes parciális deriváltja az x független változóhoz képest, figyelembe véve az x teljes függését, beleértve a z = z(x,y),a ^ -függvény parciális deriváltját is. u = /(r, y, d) x-szel, k kiszámításakor