Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Fungsi y=sin(x). Definisi dan sifat"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, ulasan, keinginan Anda! Semua materi telah diperiksa oleh program anti-virus.

Manual dan simulator di toko online Integral untuk kelas 10 dari 1C
Kami memecahkan masalah dalam geometri. Tugas konstruksi interaktif untuk kelas 7-10
Lingkungan perangkat lunak "1C: Konstruktor Matematika 6.1"

Apa yang akan kita pelajari:

• Sifat-sifat fungsi Y=sin(X).
• Grafik fungsi.
• Cara membuat grafik dan skalanya.
• Contoh.

Sifat-sifat sinus. Y=dosa(X)

Teman-teman, kita sudah mengenal fungsi trigonometri dari argumen numerik. Apakah Anda ingat mereka?

Mari kita lihat lebih dekat fungsi Y=sin(X)

Mari tuliskan beberapa properti dari fungsi ini:
1) Daerah definisinya adalah himpunan bilangan real.
2) Fungsinya ganjil. Mari kita ingat kembali definisi fungsi ganjil. Suatu fungsi disebut ganjil jika persamaannya memenuhi: y(-x)=-y(x). Seperti yang kita ingat dari rumus hantu: sin(-x)=-sin(x). Definisi tersebut terpenuhi, artinya Y=sin(X) merupakan fungsi ganjil.
3) Fungsi Y=sin(X) bertambah pada ruas dan menurun pada ruas [π/2; π]. Saat kita bergerak sepanjang kuarter pertama (berlawanan arah jarum jam), ordinatnya bertambah, dan saat kita melewati kuarter kedua, ordinatnya berkurang.

4) Fungsi Y=sin(X) dibatasi dari bawah dan dari atas. Properti ini mengikuti fakta bahwa
-1 ≤ dosa(X) ≤ 1
5) Nilai fungsi terkecil adalah -1 (pada x = - π/2+ πk). Nilai terbesar dari fungsi tersebut adalah 1 (pada x = π/2+ πk).

Mari gunakan properti 1-5 untuk memplot fungsi Y=sin(X). Kami akan membuat grafik kami secara berurutan, menerapkan properti kami. Mari kita mulai membuat grafik pada segmen tersebut.

Perhatian khusus harus diberikan pada skalanya. Pada sumbu ordinat akan lebih mudah untuk mengambil segmen satuan yang sama dengan 2 sel, dan pada sumbu absis akan lebih mudah untuk mengambil segmen satuan (dua sel) yang sama dengan π/3 (lihat gambar).

Merencanakan fungsi sinus x, y=sin(x)

Mari kita hitung nilai fungsi pada segmen kita:

Mari kita buat grafik menggunakan titik-titik kita, dengan mempertimbangkan properti ketiga.

Tabel konversi rumus hantu

Mari kita gunakan properti kedua, yang menyatakan bahwa fungsi kita ganjil, yang berarti dapat dicerminkan secara simetris terhadap titik asal:

Kita tahu bahwa sin(x+ 2π) = sin(x). Artinya pada interval [- π; π] grafiknya terlihat sama seperti pada segmen [π; 3π] atau atau [-3π; - π] dan seterusnya. Yang harus kita lakukan adalah menggambar ulang grafik pada gambar sebelumnya secara hati-hati di sepanjang sumbu x.

Grafik fungsi Y=sin(X) disebut sinusoidal.

Mari kita tulis beberapa properti lagi sesuai dengan grafik yang dibuat:
6) Fungsi Y=sin(X) bertambah pada sembarang ruas bentuk: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k adalah bilangan bulat dan berkurang pada setiap segmen dengan bentuk: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – bilangan bulat.
7) Fungsi Y=sin(X) merupakan fungsi kontinu. Mari kita lihat grafik fungsinya dan pastikan fungsi kita tidak ada jeda, artinya kontinuitas.
8) Rentang nilai: segmen [- 1; 1]. Hal ini juga terlihat jelas dari grafik fungsinya.
9) Fungsi Y=sin(X) - fungsi periodik. Mari kita lihat grafiknya lagi dan lihat bahwa fungsinya mengambil nilai yang sama pada interval tertentu.

Contoh soal sinus

1. Selesaikan persamaan sin(x)= x-π

Solusi: Mari kita buat 2 grafik fungsi: y=sin(x) dan y=x-π (lihat gambar).
Grafik kita berpotongan di satu titik A(π;0), ini jawabannya: x = π

2. Gambarkan fungsi y=sin(π/6+x)-1

Penyelesaian: Grafik yang diinginkan diperoleh dengan menggerakkan grafik fungsi y=sin(x) π/6 satuan ke kiri dan 1 satuan ke bawah.

Solusi: Mari kita gambarkan fungsinya dan pertimbangkan segmen kita [π/2; 5π/4].
Grafik fungsi menunjukkan bahwa nilai terbesar dan terkecil dicapai di ujung segmen, masing-masing di titik π/2 dan 5π/4.
Jawaban: sin(π/2) = 1 – nilai terbesar, sin(5π/4) = nilai terkecil.

Masalah sinus untuk solusi independen

• Selesaikan persamaan: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Gambarkan fungsi y=sin(π/3+x)-2
• Gambarkan fungsi y=sin(-2π/3+x)+1
• Tentukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi y=sin(x) pada ruas tersebut
• Tentukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi y=sin(x) pada interval [- π/3; 5π/6]

"Sekolah Tinggi Teknologi Layanan Yoshkar-Ola"

Konstruksi dan studi grafik fungsi trigonometri y=sinx dalam spreadsheetMS Unggul

/pengembangan metodologis/

Yoshkar – Ola

Subjek. Konstruksi dan studi grafik fungsi trigonometrikamu = dosa dalam lembar kerja MS Excel

Jenis pelajaran– terintegrasi (mendapatkan pengetahuan baru)

Sasaran:

Tujuan didaktik - mengeksplorasi perilaku grafik fungsi trigonometrikamu= dosatergantung odds menggunakan komputer

Pendidikan:

1. Cari tahu perubahan grafik fungsi trigonometri kamu= dosa X tergantung pada peluang

2. Menampilkan pengenalan teknologi komputer dalam pengajaran matematika, integrasi dua mata pelajaran: aljabar dan ilmu komputer.

3. Mengembangkan keterampilan penggunaan teknologi komputer dalam pembelajaran matematika

4. Memperkuat keterampilan mempelajari fungsi dan membuat grafiknya

Pendidikan:

1. Mengembangkan minat kognitif siswa terhadap disiplin akademik dan kemampuan menerapkan pengetahuannya dalam situasi praktis

2. Mengembangkan kemampuan menganalisis, membandingkan, menonjolkan hal yang pokok

3. Berkontribusi dalam meningkatkan tingkat perkembangan siswa secara keseluruhan

Mendidik :

1. Menumbuhkan kemandirian, ketelitian, dan kerja keras

2. Menumbuhkan budaya dialog

Bentuk pekerjaan dalam pelajaran - digabungkan

Fasilitas dan perlengkapan didaktik:

1. Komputer

2. Proyektor multimedia

4. Selebaran

5. Slide presentasi

Kemajuan pelajaran

SAYA. Organisasi awal pelajaran

· Menyapa siswa dan tamu

· Suasana hati untuk pelajaran

II. Penetapan tujuan dan pembaruan topik

Dibutuhkan banyak waktu untuk mempelajari suatu fungsi dan membuat grafiknya, Anda harus melakukan banyak perhitungan yang rumit, ini tidak nyaman, teknologi komputer datang untuk menyelamatkan.

Hari ini kita akan mempelajari cara membuat grafik fungsi trigonometri di lingkungan spreadsheet MS Excel 2007.

Topik pelajaran kita adalah “Membangun dan mempelajari grafik fungsi trigonometri kamu= dosa dalam prosesor tabel"

Dari mata kuliah aljabar kita mengetahui skema mempelajari suatu fungsi dan membuat grafiknya. Mari kita ingat bagaimana melakukan ini.

Geser 2

Skema studi fungsi

1. Domain fungsi (D(f))

2. Rentang fungsi E(f)

3. Penentuan paritas

4. Frekuensi

5. Nol dari fungsi (y=0)

6. Interval tanda konstan (y>0, y<0)

7. Masa-masa monoton

8. Fungsi ekstrem

AKU AKU AKU. Asimilasi utama materi pendidikan baru

Buka MS Excel 2007.

Mari kita gambarkan fungsinya y=sin X

Membangun grafik dalam prosesor spreadsheetMS Unggul 2007

Kami akan memplot grafik fungsi ini pada segmen tersebut X[-2π; 2π]

Kami akan mengambil nilai argumen secara bertahap , untuk membuat grafik lebih akurat.

Karena editor bekerja dengan angka, mari kita ubah radian menjadi angka, dengan mengetahui hal itu P ≈ 3.14 . (tabel terjemahan di handout).

1. Temukan nilai fungsi pada titik tersebut x=-2P. Selebihnya, editor menghitung nilai fungsi terkait secara otomatis.

2. Sekarang kita memiliki tabel dengan nilai argumen dan fungsi. Dengan data ini, kita harus memplot fungsi ini menggunakan Chart Wizard.

3. Untuk membuat grafik, Anda perlu memilih rentang data yang diperlukan, garis dengan argumen dan nilai fungsi

4..jpg" lebar="667" tinggi="236 src=">

Kesimpulannya kami tuliskan di buku catatan (Slide 5)

Kesimpulan. Grafik fungsi berbentuk y=sinx+k diperoleh dari grafik fungsi y=sinx dengan translasi paralel sepanjang sumbu op-amp sebanyak k satuan

Jika k >0, maka grafiknya bergeser ke atas sebanyak k satuan

Jika k<0, то график смещается вниз на k единиц

Konstruksi dan studi tentang fungsi bentukkamu=k*sinx,k- konstanta

Tugas 2. Di tempat kerja Lembar2 menggambar grafik fungsi dalam satu sistem koordinat kamu= dosa kamu=2* dosa, kamu= * dosa, pada interval (-2π; 2π) dan perhatikan bagaimana tampilan grafiknya berubah.

(Agar tidak menyetel ulang nilai argumen, mari salin nilai yang ada. Sekarang Anda perlu menyetel rumus dan membuat grafik menggunakan tabel yang dihasilkan.)

Kami membandingkan grafik yang dihasilkan. Bersama siswa, kami menganalisis perilaku grafik fungsi trigonometri bergantung pada koefisiennya. (Geser 6)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif" width="16" height="41 src=">x , pada interval (-2π; 2π) dan perhatikan bagaimana tampilan grafiknya berubah.

Kami membandingkan grafik yang dihasilkan. Bersama siswa, kami menganalisis perilaku grafik fungsi trigonometri bergantung pada koefisiennya. (Geser 8)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg" width="649" height="281 src=">

Kesimpulannya kami tuliskan di buku catatan (Slide 11)

Kesimpulan. Grafik fungsi berbentuk y=sin(x+k) diperoleh dari grafik fungsi y=sinx dengan translasi paralel sepanjang sumbu OX sebanyak k satuan

Jika k >1, maka grafik bergeser ke kanan sepanjang sumbu OX

Jika 0

IV. Konsolidasi utama dari pengetahuan yang diperoleh

Kartu yang dibedakan dengan tugas membangun dan mempelajari suatu fungsi menggunakan grafik

	kamu=6*dosa(x)	kamu=1-2 dosaX	kamu=- dosa(3x+)
1. Domain definisi
2. Rentang nilai
3. Keseimbangan
4. Periodisitas
5. Interval keteguhan tanda
6. Kesenjangankesamaan
Fungsi meningkat
Fungsi berkurang
7. Fungsi ekstrem
Minimum
Maksimum

V. Organisasi pekerjaan rumah

Plot grafik fungsi y=-2*sinх+1, periksa dan periksa kebenaran konstruksi dalam lingkungan spreadsheet Microsoft Excel. (Geser 12)

VI. Cerminan

Bagaimana cara membuat grafik fungsi y=sin x? Pertama, mari kita lihat grafik sinus pada intervalnya.

Kami mengambil satu segmen sepanjang 2 sel di buku catatan. Pada sumbu Oy kita tandai satu.

Untuk memudahkan, kita membulatkan angka π/2 menjadi 1,5 (dan bukan menjadi 1,6, seperti yang disyaratkan oleh aturan pembulatan). Dalam hal ini, segmen dengan panjang π/2 setara dengan 3 sel.

Pada sumbu Ox kami menandai bukan segmen tunggal, tetapi segmen dengan panjang π/2 (setiap 3 sel). Oleh karena itu, segmen dengan panjang π sama dengan 6 sel, dan segmen dengan panjang π/6 sama dengan 1 sel.

Dengan pilihan segmen satuan ini, grafik yang digambarkan pada selembar buku catatan di dalam kotak sedapat mungkin sesuai dengan grafik fungsi y=sin x.

Mari kita buat tabel nilai sinus pada interval:

Kami menandai titik-titik yang dihasilkan pada bidang koordinat:

Karena y=sin x merupakan fungsi ganjil, grafik sinusnya simetris terhadap titik asal - titik O(0;0). Dengan mempertimbangkan fakta ini, kita terus memplot grafik ke kiri, lalu titik -π:

Fungsi y=sin x periodik dengan periode T=2π. Oleh karena itu, grafik suatu fungsi yang diambil pada interval [-π;π] diulang berkali-kali ke kanan dan ke kiri.

Sekarang kita akan melihat pertanyaan tentang bagaimana memplot fungsi trigonometri berbagai sudut ωx, Di mana ω - beberapa angka positif.

Untuk membuat grafik suatu fungsi kamu = dosa ωx Mari kita bandingkan fungsi ini dengan fungsi yang telah kita pelajari y = dosa x. Mari kita asumsikan kapan x = x 0 fungsi y = dosa x mengambil nilai sama dengan 0. Kemudian

kamu 0 = dosa X 0 .

Mari kita ubah hubungan ini sebagai berikut:

Oleh karena itu, fungsinya kamu = dosa ωx pada X = X 0 / ω mengambil nilai yang sama pada 0 , yang sama dengan fungsinya y = dosa x pada x = X 0 . Artinya fungsinya kamu = dosa ωx mengulangi maknanya di ω kali lebih sering daripada fungsinya y = dosa x. Oleh karena itu, grafik fungsinya kamu = dosa ωx diperoleh dengan "mengompresi" grafik fungsi y = dosa x V ω kali sepanjang sumbu x.

Misalnya grafik suatu fungsi y = dosa 2x diperoleh dengan "mengompresi" sinusoidal y = dosa x dua kali sepanjang sumbu x.

Grafik suatu fungsi kamu = dosa x / 2 diperoleh dengan “meregangkan” sinusoida y = sin x dua kali (atau “mengompresinya” dengan 1 / 2 kali) sepanjang sumbu x.

Sejak fungsinya kamu = dosa ωx mengulangi maknanya di ω kali lebih sering daripada fungsinya
y = dosa x, maka periodenya adalah ω kali lebih kecil dari periode fungsinya y = dosa x. Misalnya periode suatu fungsi y = dosa 2x sama 2π/2 = π , dan periode fungsinya kamu = dosa x / 2 sama π / X/ 2 = 4π .

Menarik untuk mempelajari perilaku fungsi tersebut y = sin kapak menggunakan contoh animasi, yang dapat dibuat dengan sangat mudah di dalam program Maple:

Grafik fungsi trigonometri lain dari berbagai sudut dibuat dengan cara yang sama. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y = cos 2x, yang diperoleh dengan “mengompresi” gelombang kosinus kamu = karena x dua kali sepanjang sumbu x.

Grafik suatu fungsi kamu = karena x / 2 diperoleh dengan “meregangkan” gelombang kosinus kamu = karena x dua kali lipat sepanjang sumbu x.

Pada gambar Anda melihat grafik fungsinya y = tan 2x, diperoleh dengan “mengompresi” tangentsoid y = tan x dua kali sepanjang sumbu x.

Grafik suatu fungsi kamu = tg X/ 2 , diperoleh dengan “meregangkan” garis singgung y = tan x dua kali lipat sepanjang sumbu x.

Dan terakhir, animasi yang dibawakan oleh program Maple:

Latihan

1. Buatlah grafik fungsi-fungsi tersebut dan tunjukkan koordinat titik potong grafik tersebut dengan sumbu koordinat. Tentukan periode fungsi-fungsi tersebut.

A). kamu = dosa 4x/ 3 G). y = tan 5x/ 6 Dan). kamu = cos 2x/ 3

B). kamu= cos 5x/ 3 D). y = ctg 5x/ 3 H). y=ctg X/ 3

V). y = tan 4x/ 3 e). kamu = dosa 2x/ 3

2. Tentukan periode fungsi y = dosa (πх) Dan kamu = tg (πх/2).

3. Berikan dua contoh fungsi yang mengambil semua nilai dari -1 hingga +1 (termasuk dua bilangan tersebut) dan berubah secara periodik dengan periode 10.

4 *. Berikan dua contoh fungsi yang mengambil semua nilai dari 0 hingga 1 (termasuk dua angka ini) dan berubah secara berkala seiring suatu periode π/2.

5. Berikan dua contoh fungsi yang mengambil semua nilai real dan bervariasi secara periodik terhadap periode 1.

6 *. Berikan dua contoh fungsi yang menerima semua nilai negatif dan nol, tetapi tidak menerima nilai positif, dan berubah secara periodik dengan periode 5.