Quindi abbiamo potenze di due. Se prendi il numero dalla riga inferiore, puoi facilmente trovare la potenza alla quale dovrai alzare due per ottenere questo numero. Ad esempio, per ottenere 16, devi elevare due alla quarta potenza. E per ottenere 64, devi elevare due alla sesta potenza. Questo può essere visto dalla tabella.
E ora, in realtà, la definizione del logaritmo:
Il logaritmo in base a di x è la potenza alla quale deve essere elevato a per ottenere x.
Notazione: log a x = b, dove a è la base, x è l'argomento, b è ciò a cui è effettivamente uguale il logaritmo.
Ad esempio, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (il logaritmo in base 2 di 8 è tre perché 2 3 = 8). Con lo stesso successo, log 2 64 = 6, poiché 2 6 = 64.
L'operazione di trovare il logaritmo di un numero in base data si chiama logaritmizzazione. Quindi, aggiungiamo una nuova riga alla nostra tabella:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| logaritmo 2 2 = 1 | logaritmo 2 4 = 2 | log28 = 3 | logaritmo 2 16 = 4 | logaritmo 2 32 = 5 | logaritmo 2 64 = 6 |
Sfortunatamente, non tutti i logaritmi si calcolano così facilmente. Ad esempio, prova a trovare log 2 5. Il numero 5 non è nella tabella, ma la logica impone che il logaritmo si trovi da qualche parte nell'intervallo. Perché 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Tali numeri sono detti irrazionali: i numeri dopo la virgola possono essere scritti all'infinito e non si ripetono mai. Se il logaritmo risulta irrazionale, è meglio lasciarlo così: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
È importante capire che un logaritmo è un'espressione con due variabili (la base e l'argomento). Molte persone inizialmente confondono dove sia la base e dove sia l’argomento. Per evitare fastidiosi malintesi basta guardare l'immagine:
[Didascalia dell'immagine]
Davanti a noi non c'è altro che la definizione di logaritmo. Ricordare: il logaritmo è una potenza, in cui è necessario costruire la base per ottenere un argomento. È la base che viene elevata a potenza: nell'immagine è evidenziata in rosso. Si scopre che la base è sempre in basso! Dico ai miei studenti questa meravigliosa regola già dalla prima lezione e non si crea alcuna confusione.
Abbiamo trovato la definizione: non resta che imparare a contare i logaritmi, ad es. sbarazzarsi del segno "log". Per cominciare, notiamo che dalla definizione conseguono due fatti importanti:
- L'argomento e la base devono essere sempre maggiori di zero. Ciò deriva dalla definizione di grado mediante esponente razionale, a cui si riduce la definizione di logaritmo.
- La base deve essere diversa da uno, poiché uno in ogni misura rimane pur sempre uno. Per questo motivo la domanda “a quale potere bisogna elevare uno per ottenerne due” non ha senso. Non esiste un diploma del genere!
Tali restrizioni sono chiamate intervallo di valori accettabili(ODZ). Risulta che l'ODZ del logaritmo è simile a questo: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Nota che non ci sono restrizioni sul numero b (il valore del logaritmo). Ad esempio, il logaritmo potrebbe essere negativo: log 2 0,5 = −1, perché 0,5 = 2 −1.
Adesso però consideriamo solo le espressioni numeriche per le quali non è necessario conoscere il VA del logaritmo. Tutte le restrizioni sono già state prese in considerazione dagli autori delle attività. Ma quando entrano in gioco le equazioni e le disuguaglianze logaritmiche, i requisiti DL diventeranno obbligatori. Dopotutto, la base e l'argomentazione possono contenere costruzioni molto forti che non corrispondono necessariamente alle restrizioni di cui sopra.
Consideriamo ora lo schema generale per il calcolo dei logaritmi. Si compone di tre passaggi:
- Esprimi la base a e l'argomento x come una potenza con la base minima possibile maggiore di uno. Lungo il percorso, è meglio eliminare i decimali;
- Risolvi l'equazione per la variabile b: x = a b ;
- Il numero risultante b sarà la risposta.
Questo è tutto! Se il logaritmo risultasse irrazionale, ciò sarà visibile già nel primo passaggio. Molto importante è il requisito che la base sia maggiore di uno: questo riduce la probabilità di errore e semplifica moltissimo i calcoli. Con le frazioni decimali è lo stesso: se le converti immediatamente in frazioni ordinarie, ci saranno molti meno errori.
Vediamo come funziona questo schema utilizzando esempi specifici:
Compito. Calcola il logaritmo: log 5 25
- Immaginiamo la base e l'argomento come una potenza di cinque: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
- Creiamo e risolviamo l'equazione:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2; - Abbiamo ricevuto la risposta: 2.
Compito. Calcola il logaritmo:
[Didascalia dell'immagine]
Compito. Calcola il logaritmo: log 4 64
- Immaginiamo la base e l'argomento come una potenza di due: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
- Creiamo e risolviamo l'equazione:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3; - Abbiamo ricevuto la risposta: 3.
Compito. Calcola il logaritmo: log 16 1
- Immaginiamo la base e l'argomento come una potenza di due: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
- Creiamo e risolviamo l'equazione:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0; - Abbiamo ricevuto la risposta: 0.
Compito. Calcola il logaritmo: log 7 14
- Immaginiamo la base e l'argomento come una potenza di sette: 7 = 7 1 ; 14 non può essere rappresentato come una potenza di sette, poiché 7 1< 14 < 7 2 ;
- Dal paragrafo precedente ne consegue che il logaritmo non conta;
- La risposta è nessun cambiamento: log 7 14.
Una piccola nota sull'ultimo esempio. Come puoi essere sicuro che un numero non sia una potenza esatta di un altro numero? È molto semplice: basta fattorizzarlo in fattori primi. E se tali fattori non possono essere riuniti in potenze con gli stessi esponenti, allora il numero originale non è una potenza esatta.
Compito. Scopri se i numeri sono potenze esatte: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - grado esatto, perché c'è un solo moltiplicatore;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - non è una potenza esatta, poiché ci sono due fattori: 3 e 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - grado esatto;
35 = 7 · 5 - ancora una volta non una potenza esatta;
14 = 7 · 2 - ancora una volta non un grado esatto;
Si noti inoltre che i numeri primi stessi sono sempre potenze esatte di se stessi.
Logaritmo decimale
Alcuni logaritmi sono così comuni che hanno un nome e un simbolo speciali.
Il logaritmo decimale di x è il logaritmo in base 10, cioè La potenza alla quale bisogna elevare il numero 10 per ottenere il numero x. Designazione: lgx.
Ad esempio, log 10 = 1; lg100 = 2; lg 1000 = 3 - ecc.
D'ora in poi, quando in un libro di testo apparirà una frase come "Trova lg 0.01", sappi: non si tratta di un errore di battitura. Questo è un logaritmo decimale. Tuttavia, se non hai familiarità con questa notazione, puoi sempre riscriverla:
logaritmo x = logaritmo 10 x
Tutto ciò che vale per i logaritmi ordinari vale anche per i logaritmi decimali.
Logaritmo naturale
C'è un altro logaritmo che ha una sua designazione. In un certo senso, è ancora più importante del decimale. Stiamo parlando del logaritmo naturale.
Il logaritmo naturale di x è il logaritmo in base e, cioè la potenza alla quale bisogna elevare il numero e per ottenere il numero x. Designazione: ln x .
Molti si chiederanno: qual è il numero e? Questo è un numero irrazionale; il suo valore esatto non può essere trovato e scritto. Darò solo le prime cifre:
e = 2,718281828459...
Non entreremo nei dettagli su cosa sia questo numero e perché è necessario. Ricorda solo che e è la base del logaritmo naturale:
ln x = log e x
Quindi ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - ecc. D'altra parte, ln 2 è un numero irrazionale. In generale, il logaritmo naturale di qualsiasi numero razionale è irrazionale. Tranne, ovviamente, uno: ln 1 = 0.
Per i logaritmi naturali valgono tutte le regole valide per i logaritmi ordinari.
DEFINIZIONE
Logaritmo decimale chiamato logaritmo in base 10:
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Questo logaritmo è la soluzione dell'equazione esponenziale. A volte (soprattutto nella letteratura straniera) il logaritmo decimale è anche indicato come , sebbene le prime due designazioni siano inerenti anche al logaritmo naturale.
Le prime tabelle dei logaritmi decimali furono pubblicate dal matematico inglese Henry Briggs (1561-1630) nel 1617 (per questo motivo gli scienziati stranieri spesso chiamano anche Briggs i logaritmi decimali), ma queste tabelle contenevano errori. Sulla base delle tavole (1783) del matematico sloveno e austriaco Georg Barthalomew Vega (Juri Veha o Vehovec, 1754-1802), nel 1857 l'astronomo e geometra tedesco Karl Bremiker (1804-1877) pubblicò la prima edizione priva di errori. Con la partecipazione del matematico e insegnante russo Leonty Filippovich Magnitsky (Telyatin o Telyashin, 1669-1739), le prime tavole dei logaritmi furono pubblicate in Russia nel 1703. I logaritmi decimali erano ampiamente utilizzati per i calcoli.
Proprietà dei logaritmi decimali
Questo logaritmo ha tutte le proprietà inerenti ad un logaritmo in base arbitraria:
1. Identità logaritmica di base:
5. 
.
7. Transizione ad una nuova base:
La funzione logaritmo decimale è una funzione. Il grafico di questa curva viene spesso chiamato logaritmico.
Proprietà della funzione y=lg x
1) Ambito della definizione: .
2) Significati multipli: .
3) Funzione generale.
4) La funzione non è periodica.
5) Il grafico della funzione interseca l'asse x nel punto .
6) Intervalli di costanza di segno: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="44" style="vertical-align: -4px;"> для !} 
quello per .
Spesso prendono il numero dieci. Vengono chiamati logaritmi dei numeri in base dieci decimale. Quando si eseguono calcoli con il logaritmo decimale, è normale operare con il segno lg, non tronco d'albero; in questo caso non è indicato il numero dieci, che definisce la base. Quindi, sostituiamo ceppo 10 105 a semplificato lg105; UN ceppo102 SU lg2.
Per logaritmi decimali sono tipiche le stesse caratteristiche che hanno i logaritmi con base maggiore di uno. Vale a dire, i logaritmi decimali sono caratterizzati esclusivamente per i numeri positivi. I logaritmi decimali dei numeri maggiori di uno sono positivi, mentre quelli dei numeri minori di uno sono negativi; di due numeri non negativi, quello più grande equivale al logaritmo decimale più grande, ecc. Inoltre, i logaritmi decimali hanno caratteristiche distintive e caratteristiche peculiari, che spiegano perché è comodo preferire il numero dieci come base dei logaritmi.
Prima di esaminare queste proprietà, familiarizziamo con le seguenti formulazioni.
Parte intera del logaritmo decimale di un numero UNè chiamato caratteristica, e quello frazionario lo è mantissa questo logaritmo.
Caratteristiche del logaritmo decimale di un numero UNè indicato come , e la mantissa come (lg UN}.
Prendiamo, ad esempio, log 2 ≈ 0,3010 Pertanto = 0, (log 2) ≈ 0,3010.
Allo stesso modo per log 543.1 ≈2.7349. Di conseguenza, = 2, (log 543,1)≈ 0,7349.
Il calcolo dei logaritmi decimali dei numeri positivi dalle tabelle è ampiamente utilizzato.
Caratteristiche caratteristiche dei logaritmi decimali.
Il primo segno del logaritmo decimale. un numero intero non negativo rappresentato da uno seguito da zeri è un numero intero positivo uguale al numero di zeri nel record del numero selezionato .
Prendiamo log 100 = 2, log 1 00000 = 5.
In generale, se
Quello UN= 10N , da cui otteniamo
lg a = lg 10 n = n lg 10 =N.
Secondo segno. Il dieci logaritmo di un decimale positivo, mostrato come uno con zeri iniziali, è - N, Dove N- il numero di zeri nella rappresentazione di questo numero, tenendo conto dei numeri interi zero.
Consideriamo , logaritmo 0,001 = - 3, logaritmo 0,000001 = -6.
In generale, se
,
Quello UN= 10-N e si scopre
lg=lg10N =-n log 10 =-n
Terzo segno. La caratteristica del logaritmo decimale di un numero non negativo maggiore di uno è pari al numero di cifre della parte intera di tale numero escluso l'uno.
Analizziamo questa caratteristica: 1) La caratteristica del logaritmo lg 75.631 è uguale a 1.
Infatti, 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод
lg10< lg 75,631 < lg 100,
1 < lg 75,631 < 2.
Ne consegue,
logaritmo 75.631 = 1+b,
Spostare il punto decimale in una frazione decimale a destra o a sinistra equivale all'operazione di moltiplicare questa frazione per una potenza di dieci con un esponente intero N(positivo o negativo). Pertanto, quando la virgola in una frazione decimale positiva viene spostata a sinistra o a destra, la mantissa del logaritmo decimale di questa frazione non cambia.
Quindi, (log 0,0053) = (log 0,53) = (log 0,0000053).