მოდით z=ƒ(x;y) იყოს x და y ორი ცვლადის ფუნქცია, რომელთაგან თითოეული არის t დამოუკიდებელი ცვლადის ფუნქცია: x = x(t), y = y(t). ამ შემთხვევაში ფუნქცია z = f(x(t);y(t)) არის t ერთი დამოუკიდებელი ცვლადის რთული ფუნქცია; ცვლადები x და y შუალედური ცვლადებია.

თეორემა 44.4. თუ z = ƒ(x;y) არის დიფერენცირებადი ფუნქცია M(x;y) წერტილში є D და x = x(t) და y = y(t) არის t დამოუკიდებელი ცვლადის დიფერენცირებადი ფუნქციები, მაშინ წარმოებული რთული ფუნქციის z(t ) = f(x(t);y(t)) გამოითვლება ფორმულით

დამოუკიდებელ ცვლადს t მივცეთ ნამატი Δt. შემდეგ x = = x(t) და y = y(t) ფუნქციები მიიღებენ ნამატებს Δх და Δу შესაბამისად. ისინი, თავის მხრივ, გამოიწვევენ z ფუნქციას Az-ის გაზრდას.

ვინაიდან პირობით ფუნქცია z - ƒ(x;y) დიფერენცირებადია M(x;y) წერტილში, მისი მთლიანი ზრდა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც

სადაც a→0, β→0 at Δх→0, Δу→0 (იხ. პუნქტი 44.3). გამოთქმა Δz გავყოთ Δt-ზე და გადავიდეთ ზღვარზე Δt→0. შემდეგ Δх→0 და Δу→0 x = x(t) და y = y(t) ფუნქციების უწყვეტობის გამო (თეორემის პირობების მიხედვით ისინი დიფერენცირებადია). ჩვენ ვიღებთ:

განსაკუთრებული შემთხვევა: z=ƒ(x;y), სადაც y=y(x), ანუ z=ƒ(x;y(x)) არის ერთი დამოუკიდებელი ცვლადის x-ის რთული ფუნქცია. ეს შემთხვევა მცირდება წინაზე და t ცვლადის როლს ასრულებს x. ფორმულის მიხედვით (44.8) გვაქვს:

ფორმულას (44.9) ეწოდება მთლიანი წარმოებული ფორმულა.

ზოგადი შემთხვევა: z=ƒ(x;y), სადაც x=x(u;v), y=y(u;v). მაშინ z= f(x(u;v);y(u;v)) არის u და v დამოუკიდებელი ცვლადების რთული ფუნქცია. მისი ნაწილობრივი წარმოებულები შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულის (44.8) გამოყენებით შემდეგნაირად. v-ს დაფიქსირების შემდეგ, ჩვენ ვცვლით მას შესაბამისი ნაწილობრივი წარმოებულებით

ანალოგიურად ვიღებთ:

ამრიგად, რთული ფუნქციის (z) წარმოებული ყოველი დამოუკიდებელი ცვლადის მიმართ (u და v) უდრის ამ ფუნქციის (z) ნაწილობრივი წარმოებულების ნამრავლების ჯამს მის შუალედურ ცვლადებთან (x და y) მიმართ. ) და მათი წარმოებულები შესაბამისი დამოუკიდებელი ცვლადის მიმართ (u და v).

მაგალითი 44.5. იპოვეთ თუ z=ln(x 2 +y 2), x=u v, y=u/v.

ამოხსნა: ვიპოვოთ dz/du (dz/dv - დამოუკიდებლად), ფორმულით (44.10):

მოდით გავამარტივოთ მიღებული ტოლობის მარჯვენა მხარე:

40. რამდენიმე ცვლადის ფუნქციების ნაწილობრივი წარმოებულები და ჯამური დიფერენციაციები.

მოცემული იყოს z = ƒ (x; y) ფუნქცია. ვინაიდან x და y დამოუკიდებელი ცვლადებია, ერთი მათგანი შეიძლება შეიცვალოს, ხოლო მეორე ინარჩუნებს მნიშვნელობას. დამოუკიდებელ ცვლადს x მივცეთ ნამატი Δx, y მნიშვნელობა უცვლელი შევინარჩუნოთ. მაშინ z მიიღებს ნამატს, რომელსაც ეწოდება z-ის ნაწილობრივი ზრდა x-ის მიმართ და აღინიშნება ∆ x z. ასე რომ,

Δ x z=ƒ(x+Δx;y)-ƒ(x;y).

ანალოგიურად, ჩვენ ვიღებთ z-ის ნაწილობრივ ზრდას y-სთან მიმართებაში:

Δ y z=ƒ(x;y+Δy)-ƒ(x;y).

z ფუნქციის Δz ჯამური ნამატი განისაზღვრება ტოლობით

Δz = ƒ(x + Δx;y + Δy) - ƒ(x;y).

თუ არის ლიმიტი

მაშინ მას უწოდებენ z = ƒ (x; y) ფუნქციის ნაწილობრივ წარმოებულს M (x; y) წერტილში x ცვლადის მიმართ და აღინიშნება ერთ-ერთი სიმბოლოთი:

ნაწილობრივი წარმოებულები x-სთან მიმართებაში M 0 წერტილში (x 0 ; y 0) ჩვეულებრივ აღინიშნება სიმბოლოებით

z=ƒ(x;y)-ის ნაწილობრივი წარმოებული y ცვლადის მიმართ განისაზღვრება და აღინიშნება ანალოგიურად:

ამრიგად, რამდენიმე (ორი, სამი ან მეტი) ცვლადის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებული განისაზღვრება, როგორც ერთ-ერთი ამ ცვლადის ფუნქციის წარმოებული, იმ პირობით, რომ დარჩენილი დამოუკიდებელი ცვლადების მნიშვნელობები მუდმივია. მაშასადამე, ƒ(x;y) ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები გვხვდება ერთი ცვლადის ფუნქციის წარმოებულების გამოთვლის ფორმულებისა და წესების გამოყენებით (ამ შემთხვევაში, x ან y, შესაბამისად, მუდმივ მნიშვნელობად ითვლება).

მაგალითი 44.1. იპოვეთ z = 2y + e x2-y +1 ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები. გამოსავალი:

ორი ცვლადის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულების გეომეტრიული მნიშვნელობა

z= ƒ (x; y) ფუნქციის გრაფიკი არის გარკვეული ზედაპირი (იხ. ნაწილი 12.1). z = ƒ (x; y 0) ფუნქციის გრაფიკი არის ამ ზედაპირის გადაკვეთის წრფე y = y o სიბრტყესთან. ერთი ცვლადის ფუნქციის წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობიდან გამომდინარე (იხ. პუნქტი 20.2), ჩვენ დავასკვნით, რომ ƒ"x(x o; y o) = tan a, სადაც a არის კუთხე Ox ღერძსა და ტანგენტს შორის. მრუდი z = ƒ (x; y 0) წერტილში Mo(xo;yo; ƒ(xo;yo)) (იხ. სურ. 208).

ანალოგიურად, f"y (x 0;y 0) = tgβ.

ფუნქცია Z=f(x,y) ეწოდება დიფერენცირებადი P(x,y) წერტილში, თუ მისი ჯამური ზრდა ΔZ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც Δz = A∙Δx+B∙Δy+ω(Δx,Δy), სადაც Δx და Δy - x და y შესაბამისი არგუმენტების ნებისმიერი ზრდა P, A და B წერტილის გარკვეულ მიმდებარე ტერიტორიაზე მუდმივია (არ არის დამოკიდებული Δx,Δy-ზე),

ω(Δx,Δy) - მანძილზე უფრო მაღალი რიგის უსასრულო მცირე რაოდენობა:

თუ ფუნქცია დიფერენცირებადია წერტილში, მაშინ მისი მთლიანი ზრდა ამ წერტილში შედგება ორი ნაწილისგან:

1. A∙Δx+B∙Δy ფუნქციის ნაზრდის ძირითადი ნაწილი წრფივია Δx,Δy მიმართ.

2. ხოლო არაწრფივი ω(Δx,Δy) არის უფრო მაღალი რიგის უსასრულო მცირე ნაწილი, ვიდრე ნამატის ძირითადი ნაწილი.

ფუნქციის ნაზრდის ძირითად ნაწილს, წრფივი Δx,Δy-ის მიმართ, ამ ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი ეწოდება და აღინიშნება:Δz = A∙Δx+B∙Δy, Δx=dx და Δy=dy ან ორი ცვლადის ფუნქციის სრული დიფერენციალი:

ჩვენება დიფერენციალი. ერთი ცვლადის რიცხვითი ფუნქციის დიფერენციალური და წარმოებული. წარმოებულების ცხრილი. განსხვავებულობა. ) არის არგუმენტის ფუნქცია, რომელიც უსასრულოდ მცირეა როგორც →0, ე.ი.

ახლა განვმარტოთ კავშირი წერტილში დიფერენციალურობასა და იმავე წერტილში წარმოებულის არსებობას შორის.

თეორემა. ფუნქციის მიზნით ვ(x) იყო დიფერენცირებადი მოცემულ მომენტში X , აუცილებელია და საკმარისია, რომ მას ამ ეტაპზე ჰქონდეს სასრულ წარმოებული.

წარმოებულების ცხრილი.

რთული ფუნქციების დიფერენცირება

მოდით ფუნქციისთვის ნ- ცვლადების არგუმენტები ასევე ცვლადების ფუნქციებია:

მართებულია შემდეგი თეორემა რთული ფუნქციის დიფერენციაციის შესახებ.

თეორემა 8.თუ ფუნქციები დიფერენცირებადია წერტილში, ხოლო ფუნქცია დიფერენცირებადია შესაბამის წერტილში, სადაც , . მაშინ რთული ფუნქცია დიფერენცირებადია წერტილში, ხოლო ნაწილობრივი წარმოებულები განისაზღვრება ფორმულებით

სადაც ნაწილობრივი წარმოებულები გამოითვლება წერტილში და გამოითვლება წერტილში.

მოდით დავამტკიცოთ ეს თეორემა ორი ცვლადის ფუნქციისთვის. მოდით, ა.

დაე, იყოს არგუმენტების თვითნებური მატება წერტილში. ისინი შეესაბამება ფუნქციების ნამატებს და წერტილს. იზრდება და შეესაბამება ფუნქციის ზრდას წერტილში. ვინაიდან ის წერტილში დიფერენცირებადია, მისი ნამატი შეიძლება დაიწეროს ფორმით

სადაც და გამოითვლება წერტილში , ზე და . ფუნქციების დიფერენციალურობის გამო და წერტილში ვიღებთ

სად არის გათვლილი პუნქტში; .

მოდით ჩავანაცვლოთ (14) (13)-ით და გადავაწყოთ ტერმინები

გაითვალისწინეთ, რომ at, since და ტენდენცია ნულისკენ ზე. ეს გამომდინარეობს იქიდან, რომ უსასრულოდ მცირე და . მაგრამ ფუნქციები ასევე დიფერენცირებადია და, შესაბამისად, უწყვეტი წერტილში. ამიტომ, თუ და, მაშინ. შემდეგ და ზე.

ვინაიდან ნაწილობრივი წარმოებულები გამოითვლება წერტილში, ჩვენ ვიღებთ

აღვნიშნოთ

და ეს ნიშნავს, რომ ის დიფერენცირებადია ცვლადების მიმართ და, და

შედეგი.თუ , და , ე.ი. , შემდეგ წარმოებული ცვლადის მიმართ ტგამოითვლება ფორმულით

თუ, მაშინ

ბოლო გამოთქმა ე.წ მთლიანი წარმოებული ფორმულამრავალი ცვლადის ფუნქციისთვის.

მაგალითები. 1) იპოვეთ ფუნქციის ჯამური წარმოებული, სადაც , .

გამოსავალი.

2) იპოვეთ ფუნქციის სრული წარმოებული, თუ , .

გამოსავალი.

რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესების გამოყენებით ვიღებთ რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის დიფერენციალურობის ერთ მნიშვნელოვან თვისებას.

თუ დამოუკიდებელი ცვლადები ფუნქციებია, მაშინ დიფერენციალი განსაზღვრებით უდრის:

მოდით ახლა არგუმენტები იყოს დიფერენცირებადი ფუნქციები ფუნქციის რაღაც მომენტში ცვლადებთან მიმართებაში და ფუნქცია იყოს დიფერენცირებადი ცვლადებთან მიმართებაში, . მაშინ შეიძლება ჩაითვალოს ცვლადების კომპლექსურ ფუნქციად, . წინა თეორემის მიხედვით ის დიფერენცირებადია და მიმართება მოქმედებს

სადაც განისაზღვრება ფორმულებით (12). მოდით შევცვალოთ (12) (17)-ით და, ვაგროვებთ კოეფიციენტებს, მივიღებთ

ვინაიდან წარმოებულის კოეფიციენტი უდრის ფუნქციის დიფერენციალს, ჩვენ კვლავ მივიღეთ ფორმულა (16) რთული ფუნქციის დიფერენციალისთვის.

ამრიგად, პირველი დიფერენციალური ფორმულა არ არის დამოკიდებული იმაზე, არის თუ არა მისი არგუმენტები ფუნქციები თუ დამოუკიდებელი. ამ ქონებას ე.წ პირველი დიფერენციალური ფორმის უცვლელობა.

ტეილორის ფორმულა (29) ასევე შეიძლება დაიწეროს როგორც

ჩვენ განვახორციელებთ მტკიცებულებას ორი ცვლადის ფუნქციისთვის ან .

ჯერ ერთი ცვლადის ფუნქციას გადავხედოთ. მოდით ერთხელ იყოს დიფერენცირებადი წერტილის სამეზობლოში. ტეილორის ფორმულა ერთი ცვლადის ფუნქციისთვის, რომელსაც აქვს ნარჩენი წევრი ლაგრანგის ფორმულაში

ვინაიდან არის დამოუკიდებელი ცვლადი, მაშინ . ერთი ცვლადის ფუნქციის დიფერენციალური განსაზღვრებით

თუ აღვნიშნავთ, მაშინ (31) შეიძლება დაიწეროს როგორც

განვიხილოთ წერტილის რამდენიმე სამეზობლო და მასში არსებული თვითნებური წერტილი და დავაკავშიროთ წერტილები სწორი ხაზის სეგმენტთან. ნათელია, რომ ამ ხაზის კოორდინატები და წერტილები პარამეტრის წრფივი ფუნქციებია.

სწორი ხაზის სეგმენტზე ფუნქცია პარამეტრის რთული ფუნქციაა, რადგან . უფრო მეტიც, ის ერთხელ დიფერენცირებადია და ტეილორის ფორმულა (32) მოქმედებს, სადაც, ე.ი.

(32) ფორმულის დიფერენციაციები რთული ფუნქციის დიფერენციალურია, სადაც , , , ე.ი.

(33) ჩანაცვლებით (32) და იმის გათვალისწინებით, რომ ვიღებთ

ბოლო წევრს (34) ეწოდება ტეილორის ფორმულის ნარჩენი წევრი ლაგრანგის ფორმა

მტკიცებულების გარეშე აღვნიშნავთ, რომ თუ თეორემის პირობებში ფუნქცია დიფერენცირებადია წერტილში მჯერ, მაშინ დარჩენილი ვადა შეიძლება დაიწეროს როგორც პეანოს ფორმა:

თავი 7. რამდენიმე ცვლადის ფუნქციები

7.1. სივრცე Rn.კომპლექტი ხაზოვან სივრცეში.

კომპლექტი, რომლის ელემენტებიც არის ყველა შესაძლო მოწესრიგებული კომპლექტი ნრეალური რიცხვები, აღინიშნა და გამოძახებული n-განზომილებიანი არითმეტიკული სივრცედა ნომერი ნდაურეკა სივრცის განზომილება.კომპლექტის ელემენტს ეწოდება წერტილი სივრცეში, ან ვექტორი,და ნომრები კოორდინატებიეს წერტილი. წერტილი =(0, 0, …0) ეწოდება ნული ან წარმოშობა.

სივრცე არის ნამდვილი რიცხვების ერთობლიობა, ე.ი. - რიცხვითი ხაზი; და – არის ორგანზომილებიანი კოორდინატთა გეომეტრიული სიბრტყე და სამგანზომილებიანი კოორდინატთა გეომეტრიული სივრცე, შესაბამისად. ვექტორები , , ..., ე.წ ერთეულის საფუძველი.

ორი ელემენტისთვის, კომპლექტი, განისაზღვრება ელემენტების ჯამის ცნებები და ელემენტის ნამრავლი რეალური რიცხვით:

აშკარაა, რომ ამ განსაზღვრებისა და რეალური რიცხვების თვისებებიდან გამომდინარე, ტოლობები ჭეშმარიტია:

ამ თვისებების მიხედვით სივრცესაც ეძახიან წრფივი (ვექტორი)სივრცე.

წრფივ სივრცეში იგი განსაზღვრულია წერტილოვანი პროდუქტიელემენტები და როგორც რეალური რიცხვი, გამოითვლება შემდეგი წესით:

ნომერზე იწოდება ვექტორის სიგრძეან ნორმა. ვექტორებს უწოდებენ ორთოგონალური, თუ . მაგნიტუდა

, )= │ - │ =

დაურეკა ელემენტებს შორის მანძილიდა .

თუ და არის არანულოვანი ვექტორები, მაშინ კუთხემათ შორის ისეთ კუთხეს უწოდებენ, რომ

ადვილია იმის შემოწმება, რომ ნებისმიერი ელემენტისთვის და რეალური რიცხვისთვის, სკალარული პროდუქტი დაკმაყოფილებულია:

წრფივი სივრცე მასში (1) ფორმულით განსაზღვრული სკალარული ნამრავლით ეწოდება ევკლიდური სივრცე.

დაუშვით წერტილი და. ყველა წერტილის ერთობლიობა, რომლებისთვისაც არსებობს უტოლობა

დაურეკა ნ -საზომი კუბიკიდით და ცენტრით წერტილში. მაგალითად, ორგანზომილებიანი კუბი არის კვადრატი, რომლის გვერდი არის ცენტრში.

უტოლობის დამაკმაყოფილებელი წერტილების სიმრავლე ეწოდება n-განზომილებიანი ბურთირადიუსი ორიენტირებული წერტილზე, რომელსაც ასევე უწოდებენ

- წერტილის მეზობლობადა აღნიშნე,

ამრიგად, ერთგანზომილებიანი ბურთი არის სიგრძის ინტერვალი. 2D ბურთი

არის წრე, რომლისთვისაც უტოლობა მოქმედებს

განმარტება 1. კომპლექტი ე.წ შეზღუდული, თუ არსებობს
ნ- განზომილებიანი ბურთი, რომელიც შეიცავს ამ კომპლექტს.

განმარტება 2. ნატურალური რიცხვების სიმრავლეზე განსაზღვრული ფუნქცია და რომელსაც ეკუთვნის მნიშვნელობები, ეწოდება თანმიმდევრობასივრცეში და აღინიშნება სად .

განმარტება 3. წერტილი ე.წ თანმიმდევრობის ზღვარი, თუ თვითნებური დადებითი რიცხვისთვის არის ისეთი ნატურალური რიცხვი, რომ უტოლობა მოქმედებს ნებისმიერ რიცხვზე.

სიმბოლურად, ეს განმარტება იწერება შემდეგნაირად:

აღნიშვნა:

მე-3 განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ ამისთვის. ამ თანმიმდევრობას ე.წ კონვერგენტული.

თუ მიმდევრობა არ ემთხვევა რომელიმე წერტილს, მაშინ მას უწოდებენ განსხვავებული.

თეორემა 1.იმისთვის, რომ მიმდევრობა წერტილამდე გადაიზარდოს, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ნებისმიერი რიცხვისთვის, ე.ი. თანმიმდევრობით მე- წერტილების x კოორდინატები, რომელზედაც კონვერგირდება მე- წერტილის კოორდინატი.

□ მტკიცებულება გამომდინარეობს უტოლობებიდან

თანმიმდევრობა ე.წ შეზღუდულითუ მისი მნიშვნელობების ნაკრები შეზღუდულია, ე.ი.

რიცხვების მიმდევრობის მსგავსად, წერტილების კონვერგენტული მიმდევრობა შემოსაზღვრულია და აქვს ერთი ზღვარი.

განმარტება 4. თანმიმდევრობა ე.წ ფუნდამენტური(კოშის თანმიმდევრობა), თუ რომელიმე დადებითი რიცხვისთვის შესაძლებელია ისეთი ნატურალური რიცხვის მითითება, რომ თვითნებური ნატურალური რიცხვებისთვის და , დიდი იყოს, ე.ი.

თეორემა 2(კოშის კრიტერიუმი). იმისათვის, რომ თანმიმდევრობა იყოს კონვერგენტული, აუცილებელია და საკმარისი იყოს ის ფუნდამენტური.

□ აუცილებლობა.დაე . შემდეგ მივიღებთ თანმიმდევრობას, რომელიც კონვერგირდება. . . , ..., X ჰქვიარეგიონი ვ . თუ X - რეგიონში, მაშინ მისი დახურვა ე.წ.

დახურული ტერიტორია კომპლექტი X დაი დაურეკაგანცალკევებადი

, თუ არცერთი მათგანი არ შეიცავს მეორის შეხების წერტილებს. ბევრი X დაურეკადაკავშირებული

, თუ არცერთი მათგანი არ შეიცავს მეორის შეხების წერტილებს. ბევრი, თუ ის არ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ორი განცალკევებული სიმრავლის გაერთიანებად. დაურეკა , ამოზნექილი

თუ მისი რომელიმე ორი წერტილი შეიძლება იყოს დაკავშირებული სეგმენტით, რომელიც მთლიანად ეკუთვნის ამ კომპლექტს.. მაგალითი

ზემოთ ჩამოყალიბებული განმარტებებიდან გამომდინარე, შეიძლება ითქვას, რომ

– დაკავშირებული, წრფივად დაკავშირებული, ღია, არაამოზნექილი ნაკრები, არის რეგიონი.

– დაკავშირებული, წრფივად დაკავშირებული, გაუხსნელი, არაამოზნექილი კომპლექტი, არა რეგიონი.

– შეუერთებელი, არა წრფივად დაკავშირებული, ღია, არაამოზნექილი კომპლექტი, არა რეგიონი.

– შეუერთებელი, არა ხაზოვანი, ღია ნაკრები, არა რეგიონი.

– დაკავშირებული, წრფივად დაკავშირებული, ღია ნაკრები, არის რეგიონი.

მაგალითი. იპოვე თუ სად.

გამოსავალი. ფორმულის მიხედვით (1) გვაქვს: .

მაგალითი. იპოვეთ ნაწილობრივი წარმოებული და მთლიანი წარმოებული თუ

გამოსავალი. . .

2°. ფორმულის (2) საფუძველზე ვიღებთ

რამდენიმე დამოუკიდებელი ცვლადის შემთხვევა. დაე z = f(x;y) - X X ორი ცვლადის ფუნქცია y,

რომელთაგან თითოეული არის ფუნქცია დამოუკიდებელი ცვლადი t: x = x (t), y = y (t). ამ შემთხვევაში ფუნქცია z=f(x(t);y(t))

არის ერთი დამოუკიდებელი ცვლადის კომპლექსური ფუნქციატ; ცვლადები

თეორემა x და y შუალედური ცვლადებია. . თუ == ვზ (x;შ) - ერთ წერტილში დიფერენცირებადი M(x;y) D

ფუნქცია და X x = x(t) =ზე y(t) - დამოუკიდებელი ცვლადის დიფერენცირებადი ფუნქციები

ტ, შემდეგ რთული ფუნქციის წარმოებული == ვz(t)(x(t);y(t))

(3)

გამოითვლება ფორმულით = განსაკუთრებული შემთხვევა: ზ f (x; y), სადაც y = y(x), იმათ. z = f(x;y(x)) -

რომელთაგან თითოეული არის ფუნქცია ერთის რთული ფუნქცია X.

ტეს შემთხვევა ამცირებს წინას და ცვლადის როლს ერთის რთული ფუნქციაფორმულის მიხედვით (3) გვაქვს:

.

ბოლო ფორმულა ე.წ მთლიანი წარმოებული ფორმულები.

ზოგადი შემთხვევა: ზ = f (x;y),სად x = x(u;v), y=y(u;v).შემდეგ z = f(x(u;v);y(u;v)) -კომპლექსი

დამოუკიდებელი ცვლადების ფუნქცია და X ვ.მისი ნაწილობრივი წარმოებულები შეიძლება მოიძებნოს

ფორმულის (3) გამოყენებით შემდეგნაირად. დაფიქსირდა v,შეცვალეთ იგი,

შესაბამისი ნაწილობრივი წარმოებულები

ამრიგად, რთული ფუნქციის (z) წარმოებული თითოეული დამოუკიდებელი ცვლადის მიმართ (და X v)

უდრის ამ ფუნქციის (z) ნაწილობრივი წარმოებულების ნამრავლების ჯამს მის შუალედურთან მიმართებაში.

ცვლადები (x და y)მათ წარმოებულებს შესაბამისი დამოუკიდებელი ცვლადის მიმართ (u და v).

ყველა განხილულ შემთხვევაში, ფორმულა მოქმედებს

(ტოტალური დიფერენციალური უცვლელობის თვისება).

მაგალითი. იპოვეთ და თუ z= ვ(x,y), სადაც x=uv, .

თეორემა.რამდენიმე დამოუკიდებელი ცვლადის შემთხვევა. u = f (x, y)მოცემულია D დომენში და ნება x = x(t) X y = y(t)ტერიტორიაზე გამოვლენილი , და როდის , მაშინ x და y ეკუთვნის D რეგიონს. დაე, ფუნქცია u იყოს დიფერენცირებადი M წერტილში 0 (x 0 ,წ 0 ,ზ 0)და ფუნქციები x(ტ) და ზე(ტ) დიფერენცირებადი შესაბამის წერტილში t 0 , მაშინ კომპლექსური ფუნქცია u = f[x(ტ),წ(ტ)]=F (ტ)დიფერენცირებადი t წერტილში 0 და თანასწორობა მოქმედებს:

.

მტკიცებულება.ვინაიდან u დიფერენცირებადია მდგომარეობიდან გამომდინარე ( x 0 , წ 0), მაშინ მისი მთლიანი ზრდა წარმოდგენილია როგორც

ამ თანაფარდობის გაყოფით ვიღებთ:

მოდით წავიდეთ ლიმიტზე და მივიღოთ ფორმულა

.

შენიშვნა 1.თუ u= u(x, y) და x= x, წ= წ(x), შემდეგ ფუნქციის მთლიანი წარმოებული uცვლადის მიხედვით X

ან .

ბოლო ტოლობა შეიძლება გამოყენებულ იქნას ერთი ცვლადის ფუნქციის დიფერენცირების წესის დასამტკიცებლად, რომელიც იგულისხმება ფორმით. ფ(x, წ) = 0, სადაც წ= წ(x) (იხ. თემა No3 და მაგალითი 14).

ჩვენ გვაქვს: . აქედან . (6.1)

დავუბრუნდეთ მე-3 თემის მე-14 მაგალითს:

;

.

როგორც ხედავთ, პასუხები ერთმანეთს დაემთხვა.

შენიშვნა 2.დაე u = ვ (x, y), სად X= X(ტ , ვ), x = x(t)= x = x(t)(ტ , ვ). მაშინ u საბოლოოდ არის ორი ცვლადის რთული ფუნქცია ტდა ვ. თუ ახლა ფუნქცია u დიფერენცირებადია წერტილში მ 0 (x 0 , წ 0) და ფუნქციები X X x = x(t)დიფერენცირებადია შესაბამის წერტილში ( ტ 0 , ვ 0), მაშინ შეგვიძლია ვისაუბროთ ნაწილობრივ წარმოებულებზე ტდა ვრთული ფუნქციიდან წერტილში ( ტ 0 , ვ 0). მაგრამ თუ ვსაუბრობთ ნაწილობრივ წარმოებულზე t-ის მიმართ მითითებულ წერტილში, მაშინ მეორე ცვლადი v ითვლება მუდმივი და ტოლი ვ 0 . შესაბამისად, ჩვენ ვსაუბრობთ მხოლოდ რთული ფუნქციის წარმოებულზე t-ის მიმართ და, შესაბამისად, შეგვიძლია გამოვიყენოთ მიღებული ფორმულა. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ.

დაე, ფუნქცია z - /(x, y) განისაზღვროს ზოგიერთ D დომენში xOy სიბრტყეში. ავიღოთ შიდა წერტილი (x, y) D ფართობიდან და მივცეთ x ნამატი Ax ისე, რომ წერტილი (x + Ax, y) 6 D (ნახ. 9). რაოდენობას ვუწოდოთ z ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა x-ის მიმართ. შევქმნათ მიმართება: მოცემული წერტილისთვის (x, y) ეს მიმართება Definition-ის ფუნქციაა. თუ Ax -* 0-ისთვის ^ მიმართებას აქვს სასრული ზღვარი, მაშინ ამ ზღვარს ეწოდება z = /(x, y) ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებული x დამოუკიდებელ ცვლადთან მიმართებაში (x, y) წერტილში და არის. აღინიშნება სიმბოლოთი jfc (ან /i(x, jj) ან z"x(x, ანალოგიურად, განმარტებით, ან, რაც იგივეა, ანალოგიურად, თუ u არის n დამოუკიდებელი ცვლადის ფუნქცია, შემდეგ შევამჩნიეთ, რომ Arz გამოითვლება y ცვლადის მუდმივი მნიშვნელობით, ხოლო Atz - x ცვლადის მუდმივი მნიშვნელობით, ნაწილობრივი წარმოებულების განმარტებები შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: ნაწილობრივი წარმოებულები ორი ცვლადის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულების გეომეტრიული მნიშვნელობა. რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის დიფერენციალურობა აუცილებელი პირობები ფუნქციის დიფერენცირებისთვის საკმარისი პირობები რამდენიმე ცვლადის ფუნქციების დიფერენციალურობისთვის სრული დიფერენციალური ნაწილობრივი დიფერენციალი ნაწილობრივი წარმოებულის რთული ფუნქციის წარმოებულები x ფუნქციის მიმართ z = /(x , y ) არის ამ ფუნქციის ჩვეულებრივი წარმოებული x-ის მიმართ, გამოითვლება იმ ვარაუდით, რომ y არის ნაწილობრივი წარმოებული z ფუნქციის მიმართ - /(x, y) არის მისი წარმოებული. y, გამოითვლება იმ ვარაუდით, რომ x არის მუდმივი. აქედან გამომდინარეობს, რომ ნაწილობრივი წარმოებულების გამოთვლის წესები ემთხვევა ერთი ცვლადის ფუნქციისთვის დადასტურებულ წესებს. მაგალითი. იპოვეთ 4-ის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები ჩვენ გვაქვს ჩანაცვლებები*. ფუნქციის r = f(x, y) არსებობა ნაწილობრივი წარმოებულების მოცემულ წერტილში ყველა არგუმენტის მიმართ არ ნიშნავს ფუნქციის უწყვეტობას ამ ეტაპზე. ამრიგად, ფუნქცია არ არის უწყვეტი 0(0,0) წერტილში. თუმცა, ამ ეტაპზე მითითებულ ფუნქციას აქვს ნაწილობრივი წარმოებულები x და y მიმართ. ეს გამომდინარეობს იქიდან, რომ /(x, 0) = 0 და /(0, y) = 0 და, შესაბამისად, ორი ცვლადის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულების გეომეტრიული მნიშვნელობა დაე, ზედაპირი S სამგანზომილებიან სივრცეში განისაზღვროს განტოლება, სადაც f(x, y) არის უწყვეტი ფუნქცია D ზოგიერთ დომენში და აქვს ნაწილობრივი წარმოებულები x და y მიმართ. მოდით გავარკვიოთ ამ წარმოებულების გეომეტრიული მნიშვნელობა Mo(xo,yo) 6 D წერტილში, რომელიც შეესაბამება f(x0)yo) წერტილს ზედაპირზე z = f(x)y). M0 წერტილის ნაწილობრივი წარმოებულის პოვნისას, ვივარაუდებთ, რომ z არის მხოლოდ x არგუმენტის ფუნქცია, ხოლო y არგუმენტი ინარჩუნებს მუდმივ მნიშვნელობას y = y0, ანუ ფუნქცია fi(x) გეომეტრიულად წარმოდგენილია L მრუდით გასწვრივ. რომელსაც S ზედაპირი კვეთს y = at o სიბრტყით. ერთი ცვლადის ფუნქციის წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობიდან გამომდინარე, f\(xo) = tan a, სადაც a არის კუთხე, რომელიც წარმოიქმნება L წრფეზე ტანგენტის მიერ JV0 წერტილში Ox ღერძით (ნახ. 10). . მაგრამ ასე რომ, ნაწილობრივი წარმოებული ($|) უდრის a კუთხის ტანგენტს Ox ღერძსა და N0 წერტილში არსებულ ტანგენტს შორის ზედაპირის მონაკვეთზე z = /(x, y) მრუდის მიმართ. y თვითმფრინავი ანალოგიურად, ჩვენ ვიღებთ, რომ §6. რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის დიფერენციალურობა მოდით, xOy სიბრტყეზე რომელიმე D დომენში განისაზღვროს ფუნქცია z = /(x, y). ავიღოთ წერტილი (x, y) € D და მივცეთ x-ისა და y-ის შერჩეული მნიშვნელობები Ax და Dy, მაგრამ ისეთი, რომ წერტილი. განმარტება. ფუნქცია r = /(x, y) ეწოდება დიფერენცირებადი * წერტილი (x, y) € 2E, თუ ამ ფუნქციის სრული ზრდა, რომელიც შეესაბამება Dx, Dy არგუმენტების ნამატებს, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს იმ ფორმით, სადაც A და B არ არიან დამოკიდებული Dx-ზე და Dy-ზე (მაგრამ ზოგადად დამოკიდებულია x-ზე და y-ზე), და a(Dx, Dy) და /?(Dx, Dy) ნულისკენ მიდრეკილნი არიან, როგორც Dx და Dy მიდრეკილნი არიან ნულისკენ. . თუ ფუნქცია z = /(x, y) დიფერენცირებადია (x, y) წერტილში, მაშინ ფუნქციის ნაზრდის A Dx 4- VDy ნაწილს, წრფივი Dx-სა და Dy-სთან მიმართებაში, ეწოდება ჯამური დიფერენციალი. ამ ფუნქციის წერტილში (x, y) და აღინიშნება სიმბოლო dz: ამ გზით, მაგალითი. ვთქვათ r = x2 + y2. ნებისმიერ წერტილში (r,y) და ნებისმიერი Dx და Du ჩვენ გვაქვს აქ. ახლა, როდესაც a და /3 მიდრეკილია ნულისკენ, როგორც Dx და Dy მიდრეკილია ნულისკენ. განმარტების მიხედვით, ეს ფუნქცია დიფერენცირებადია xOy სიბრტყის ნებისმიერ წერტილში. ამავდროულად, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ჩვენს მსჯელობაში ფორმალურად არ გამოვრიცხეთ შემთხვევა, როდესაც Dx-ის, Du-ს ცალ-ცალკე, ან თუნდაც ორივეს ნამატები ერთდროულად ნულის ტოლია. დაე, ფუნქცია z = /(x, y) იყოს დიფერენცირებადი წერტილში (x, y). მაშინ ამ ფუნქციის ნამატი Dg, რომელიც შეესაბამება არგუმენტების Dx, Ay ნამატებს, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სახით (1). ტოლობის (1) Dx Φ 0, Dy = 0-ის გათვალისწინებით, მივიღებთ საიდანაც, რადგან ბოლო ტოლობის მარჯვენა მხარეს მნიშვნელობა A არ არის დამოკიდებული, ეს ნიშნავს, რომ წერტილში (x, y) არის ნაწილობრივი წარმოებული. ფუნქციის r = /(x, y) x-ში და მსგავსი მსჯელობით ჩვენ ვრწმუნდებით (x, არსებობს zy ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებული და თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ ხაზს ვუსვამთ, რომ თეორემა 5 აცხადებს არსებობას ნაწილობრივი წარმოებულები მხოლოდ წერტილში (x, y), მაგრამ არაფერს ამბობს მათ უწყვეტობაზე ამ მომენტში, ისევე როგორც მათ ქცევას წერტილის მიმდებარედ (x, y /"(x) x0 წერტილში. იმ შემთხვევაში, როდესაც ფუნქცია დამოკიდებულია რამდენიმე ცვლადზე, სიტუაცია ბევრად უფრო რთულია: არ არსებობს დიფერენცირებადობის აუცილებელი და საკმარისი პირობები ორი დამოუკიდებელი ცვლადის x, y ფუნქციისთვის, არსებობს მხოლოდ ცალკე აუცილებელი პირობები (იხ ზემოთ) და ცალკე - საკმარისი. რამდენიმე ცვლადის ფუნქციების დიფერენცირებისთვის ეს საკმარისი პირობები გამოიხატება შემდეგი თეორემით. თეორემა გ. თუ ფუნქციას აქვს ნაწილობრივი წარმოებულები f და f"v წვრილის რომელიმე სამეზობლოში (xo, V0) და თუ ეს წარმოებულები უწყვეტია წერტილში (xo, V0), მაშინ ფუნქცია z = f(x, y) დიფერენცირებადია წერტილი (x- მაგალითი. განვიხილოთ ფუნქცია ნაწილობრივი წარმოებულები ორი ცვლადის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულების გეომეტრიული მნიშვნელობა რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის დიფერენციალურობა რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის დიფერენციალურობის საკმარისი პირობები კომპლექსური ფუნქციის სრული დიფერენციალური წარმოებულები ეს არის განსაზღვრული ყველგან. ნაწილობრივი წარმოებულების განსაზღვრებიდან გამომდინარე, ჩვენ გვაქვს ამ ფუნქციის ™ დიფერენცირებადი 0(0,0) წერტილში და ამ წერტილის ზრდა ფუნქციის დიფერენცირებისთვის /(x,y) = 0(0,0) წერტილში აუცილებელია, რომ ფუნქცია e(Dx, Dy) იყოს სრულიად მცირე Dx 0-ზე და Ду 0. მოდით დავაყენოთ D0 ფორმულიდან, შესაბამისად, გვაქვს ფუნქცია f(. x,y) = არ არის დიფერენცირებადი 0(0,0) წერტილში, თუმცა მას აქვს fa და f"r ამ ეტაპზე. მიღებული შედეგი აიხსნება იმით, რომ წარმოებულები f"z და f"t უწყვეტია. §7 პუნქტში. სრული დიფერენციალი. ნაწილობრივი დიფერენციაციები თუ ფუნქცია z - f(z> y) დიფერენცირებადია, მაშინ მისი ჯამური დიფერენციალი dz უდრის ფუნქციის დამოუკიდებელ ცვლადებზე დაყენება დამოუკიდებელ ცვლადების დიფერენციალურობის ტოლფასია: ამის შემდეგ აღსანიშნავია ფუნქციის სრული დიფერენციალური ფორმულა. მოდით i - 1l(x + y2). მაშინ ანალოგიურად, თუ u =) არის n დამოუკიდებელი ცვლადის დიფერენცირებადი ფუნქცია, მაშინ გამონათქვამს ეწოდება z = f(x, y) ფუნქციის პოსტ დიფერენციალი x ცვლადის მიმართ; გამოხატვას ეწოდება y ცვლადის z = /(x, y) ფუნქციის ნაწილობრივი დიფერენციალი. (3), (4) და (5) ფორმულებიდან გამომდინარეობს, რომ ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი არის მისი ნაწილობრივი დიფერენციაციების ჯამი: გაითვალისწინეთ, რომ z = /(x, y) ფუნქციის Az მთლიანი ზრდა, ზოგადად. , არ უდრის ნაწილობრივი ნამატების ჯამს. თუ (i, y) წერტილში z = /(x, y) ფუნქცია დიფერენცირებადია და დიფერენციალური dz Φ 0 ამ ეტაპზე, მაშინ მისი ჯამური ნამატი განსხვავდება მისი წრფივი ნაწილისგან მხოლოდ ბოლო წევრთა ჯამით aAx 4. - /?DE, რომლებიც Ax 0-ზე და Ау -» О უფრო მაღალი რიგის უსასრულო მცირეა ვიდრე წრფივი ნაწილის ტერმინები. ამიტომ, როდესაც dz Ф 0, დიფერენცირებადი ფუნქციის ნაზრდის წრფივ ნაწილს უწოდებენ ფუნქციის ზრდის ძირითად ნაწილს და გამოიყენება სავარაუდო ფორმულა, რომელიც იქნება უფრო ზუსტი, მით უფრო მცირეა აბსოლუტური მნიშვნელობით ნამატები. არგუმენტები არის. §8. რთული ფუნქციის წარმოებულები 1. მოდით, ფუნქცია განისაზღვროს xOy სიბრტყეზე რომელიმე D დომენში და თითოეული ცვლადი x, y თავის მხრივ არის t არგუმენტის ფუნქცია: ჩავთვლით, რომ როდესაც t იცვლება ინტერვალში ( შესაბამისი წერტილები (x, y) არ ტოვებენ D რეგიონის გარეთ. თუ მნიშვნელობებს ჩავანაცვლებთ z = / (x, y) ფუნქციაში, მივიღებთ t ცვლადის კომპლექსურ ფუნქციას და შესაბამისი მნიშვნელობებისთვის ფუნქცია / (x, y) არის დიფერენცირებადი, მაშინ კომპლექსურ ფუნქციას აქვს წარმოებული M წერტილი (J)2 + (Dy)2 Ф 0, ფუნქცია z მიიღებს ასევე გარკვეულ ნამატს Dt, რომელიც, z = /(x , y) ფუნქციის დიფერენცირებულობის გამო (x, y) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს იმ ფორმით, სადაც ა) ნულისკენ მიდრეკილია, როგორც Ax ​​და Du ნულისკენ. მოდით განვსაზღვროთ a და /3 Ax = Ay = 0-სთვის a-ს დაყენებით, შემდეგ a(უწყვეტი იქნება J = Dn = 0-ისთვის. განვიხილოთ მიმართება, რომელიც გვაქვს თითოეულ წევრში^ (2-ის მარჯვენა მხარეს) ორივე ფაქტორს აქვს ლიმიტები. მართლაც, ნაწილობრივი წარმოებულები და ^ მოცემულისთვის მუდმივია, პირობითად არსებობს წარმოებულების არსებობის საზღვრები, ხოლო £ წერტილში x = y(t) და y = ფუნქციები უწყვეტია, როგორც At 0, J და Dy მიდრეკილია ნულისკენ, რაც თავის მხრივ გულისხმობს ტენდენციას ნულისკენ a(Dx, Dy) და P(Ax, Ay). ტოლია მაშასადამე, 0-ზე ასევე არის (2) მარცხენა მხარის ზღვარი, ე.ი. არის ტოლი (2) ზღვრამდე, როგორც At -» 0, ჩვენ ვიღებთ საჭირო ფორმულას, როდესაც z არის x-ის რთული ფუნქცია (5) არის ნაწილობრივი წარმოებული funadiig = /(x, y) x-ით, რომლის გამოთვლისას გამოსახულებაში /(x, y) არგუმენტი y მიღებულია მუდმივად. და არსებობს z ფუნქციის სრული წარმოებული x დამოუკიდებელი ცვლადის მიმართ, რომლის გამოთვლისას y გამოსახულებაში /(x, y) აღარ მიიღება მუდმივად, მაგრამ თავის მხრივ განიხილება x-ის ფუნქციად: y. = tp(x)t და შესაბამისად z-ის დამოკიდებულება მთლიანად გათვალისწინებულია. მაგალითი. იპოვეთ და jg თუ 2. ახლა განვიხილოთ რამდენიმე ცვლადის რთული ფუნქციის დიფერენციაცია. დავდოთ სად თავის მხრივ ასე რომ დავუშვათ, რომ (() წერტილში არის უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები u, 3? და შესაბამის წერტილში (x, y), სადაც ფუნქცია f(x, y) დიფერენცირებადია. ამ პირობებში კომპლექსურ ფუნქციას z = z(() y) t7 წერტილში აქვს წარმოებულები და χ, და ჩვენ ვიპოვით გამონათქვამებს ამ წარმოებულებისთვის. გაითვალისწინეთ, რომ ეს შემთხვევა მნიშვნელოვნად არ განსხვავდება უკვე შესწავლილისაგან. მართლაც, z £-ის მიმართ დიფერენცირებისას მეორე დამოუკიდებელი ცვლადი rj მიიღება მუდმივად, რის შედეგადაც x და y ამ ოპერაციაში ხდება ერთი ცვლადის ფუნქცია x" = c), y = c) და კითხვა. წარმოებული ζ წყდება ზუსტად ისე, როგორც წარმოებულის საკითხი (3) ფორმულის გამოყენებით და მასში წარმოებული § და ^ წარმოებულის სახით ჩანაცვლებით და, შესაბამისად, ვიღებთ ანალოგიურად. ჩვენ ვპოულობთ მაგალითს იპოვნეთ r = x2 y - x - y ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები ^ და ^ = თუ რთული ფუნქცია ” მოცემულია ფორმულებით ისე, რომ მაშინ, როდესაც დაკმაყოფილდება შესაბამისი პირობები, გვაქვს განსაკუთრებულ შემთხვევაში, როდესაც. და = სადაც ნაწილობრივი წარმოებულები ორი ცვლადის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულების გეომეტრიული მნიშვნელობა რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის დიფერენცირებადობა ფუნქციის დიფერენცირებისთვის საკმარისი პირობები რამდენიმე ცვლადის ფუნქციების დიფერენცირებისთვის მთლიანი დიფერენციალური აქვს აქ m არის ფუნქციის მთლიანი ნაწილობრივი წარმოებული და x დამოუკიდებელი ცვლადის მიმართ, x-ზე და სრული დამოკიდებულების გათვალისწინებით, z = z(x,y),a ^ -ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულის ჩათვლით. u = /(r, y, d) x-ით, k-ის გამოთვლისას