Fie z=ƒ(x;y) o funcție a două variabile x și y, fiecare dintre acestea fiind o funcție a variabilei independente t: x = x(t), y = y(t). În acest caz, funcția z = f(x(t);y(t)) este o funcție complexă a unei variabile independente t; variabilele x și y sunt variabile intermediare.

Teorema 44.4. Dacă z \u003d ƒ (x; y) este o funcție diferențiabilă în punctul M (x; y) є D și x \u003d x (t) și y \u003d y (t) sunt funcții diferențiabile ale variabilei independente t, atunci derivata funcției complexe z (t ) = f(x(t);y(t)) se calculează prin formula

Să dăm variabilei independente t un increment Δt. Atunci funcțiile x = x(t) și y = y(t) vor primi incremente Δx și, respectiv, Δy. Ele, la rândul lor, vor determina ca funcția z să crească Az.

Deoarece, prin condiție, funcția z - ƒ(x; y) este diferențiabilă în punctul M(x; y), incrementul ei total poate fi reprezentat ca

unde a→0, β→0 ca Δх→0, Δу→0 (a se vedea punctul 44.3). Împărțim expresia Δz la Δt și trecem la limită ca Δt→0. Atunci Δх→0 și Δу→0 datorită continuității funcțiilor x = x(t) și y = y(t) (după condiția teoremei, sunt diferențiabile). Primim:

Caz special: z=ƒ(x;y), unde y=y(x), adică z=ƒ(x;y(x)) este o funcție complexă a unei variabile independente x. Acest caz se reduce la precedentul, x jucând rolul variabilei t. Conform formulei (44.8) avem:

Formula (44.9) se numește formula derivată totală.

Caz general: z=ƒ(x;y), unde x=x(u;v), y=y(u;v). Atunci z= f(x(u;v);y(u;v)) este o funcție complexă a variabilelor independente u și v. Derivatele sale parțiale pot fi găsite folosind formula (44.8) după cum urmează. Având v fix, îl înlocuim cu derivatele parțiale corespunzătoare

În mod similar, obținem:

Astfel, derivata unei funcții complexe (z) față de fiecare variabilă independentă (u și v) este egală cu suma produselor derivatelor parțiale ale acestei funcții (z) față de variabilele sale intermediare (x și y). ) și derivatele acestora în raport cu variabila independentă corespunzătoare (u și v).

Exemplul 44.5. Aflați dacă z=ln(x 2 +y 2), x=u v, y=u/v.

Soluție: Găsiți dz/du (dz/dv - independent) folosind formula (44.10):

Simplificați partea dreaptă a egalității rezultate:

40. Derivate parțiale și diferența totală a unei funcții a mai multor variabile.

Fie dată funcția z = ƒ (x; y). Deoarece x și y sunt variabile independente, una dintre ele se poate modifica, în timp ce cealaltă rămâne neschimbată. Să dăm variabilei independente x un increment Δx, păstrând valoarea lui y neschimbată. Atunci z va primi un increment care se numește increment parțial al lui z în x și este notat cu ∆ x z. Asa de,

Δ x z \u003d ƒ (x + Δ x; y) -ƒ (x; y).

În mod similar, obținem o creștere parțială a lui z față de y:

Δ y z \u003d ƒ (x; y + Δy) -ƒ (x; y).

Incrementul total Δz al funcției z este definit de egalitate

Δz \u003d ƒ (x + Δx; y + Δy) - ƒ (x; y).

Dacă există o limită

atunci se numește derivată parțială a funcției z \u003d ƒ (x; y) în punctul M (x; y) față de variabila x și este notat cu unul dintre simboluri:

Derivatele parțiale față de x în punctul M 0 (x 0; y 0) sunt de obicei notate prin simboluri

Derivata parțială a lui z \u003d ƒ (x; y) în raport cu variabila y este definită și notă într-un mod similar:

Astfel, derivata parțială a unei funcții de mai multe (două, trei sau mai multe) variabile este definită ca fiind derivata unei funcții a uneia dintre aceste variabile, sub rezerva constanței valorilor variabilelor independente rămase. Prin urmare, derivatele parțiale ale funcției ƒ(x; y) se găsesc după formulele și regulile de calcul a derivatelor unei funcții a unei variabile (în acest caz, respectiv, x sau y este considerată valoare constantă).

Exemplul 44.1. Aflați derivatele parțiale ale funcției z = 2y + e x2-y +1. Soluţie:

Sensul geometric al derivatelor parțiale ale unei funcții a două variabile

Graficul funcției z \u003d ƒ (x; y) este o anumită suprafață (a se vedea paragraful 12.1). Graficul funcției z \u003d ƒ (x; y 0) este linia de intersecție a acestei suprafețe cu planul y \u003d y o. Pe baza semnificației geometrice a derivatei pentru o funcție a unei variabile (a se vedea clauza 20.2), concluzionăm că ƒ "x (xo; yo) \u003d tg a, unde a este unghiul dintre axa Ox și tangenta trasă la curba z \u003d ƒ (x; y 0) în punctul Mo (xo; yo; ƒ (xo; yo)) (vezi Fig. 208).

În mod similar, f "y (x 0; y 0) \u003d tgβ.

O functie Z=f(x,y) se numeste diferentiabila intr-un punct P(x,y) daca incrementul ei total ΔZ poate fi reprezentat ca Δz = A∙Δx+B∙Δy+ω(Δx,Δy), unde Δx și Δy – orice creșteri ale argumentelor corespunzătoare x și y în apropierea punctului P, A și B sunt constante (nu depind de Δx, Δy),

ω(Δx,Δy) este un ordin infinitezimal mai mare decât distanța:

Dacă o funcție este diferențiabilă într-un punct, atunci incrementul ei total în acel punct constă din două părți:

1. Partea principală a incrementului funcției A∙Δx+B∙Δy este liniară în raport cu Δx,Δy

2. Și ω(Δx,Δy) neliniar - un ordin infinitezimal mai mare decât partea principală a incrementului.

Partea principală a incrementului unei funcții, care este liniară în raport cu Δx,Δy, se numește diferența totală a acestei funcții și se notează:Δz = A∙Δx+B∙Δy, Δx=dx și Δy=dy sau diferența totală a unei funcții a două variabile:

Diferenţial de afişare. Diferenţială şi derivată a unei funcţii numerice a unei variabile. Tabel de derivate. Diferențiabilitate. ) este o funcție a argumentului , care este infinit mic ca →0, adică,

Să clarificăm acum legătura dintre diferențiabilitatea într-un punct și existența unei derivate în același punct.

Teorema. Pentru functia f(X) a fost diferențiabilă la punctul dat X , este necesar și suficient ca acesta să aibă o derivată finită în acest punct.

Tabel de derivate.

Diferențierea funcțiilor complexe

Lăsați pentru funcție n- argumentele variabilelor sunt și funcții ale variabilelor:

Următoarea teoremă privind diferențierea unei funcții compuse este valabilă.

Teorema 8. Dacă funcțiile sunt diferențiabile în punctul , iar funcția este diferențiabilă în punctul corespunzător , unde , . Atunci funcția complexă este diferențiabilă în punctul , iar derivatele parțiale sunt determinate de formule

unde derivatele parțiale sunt calculate la punctul și sunt calculate la punctul .

ƒ Să demonstrăm această teoremă pentru o funcție a două variabile. Să , a .

Fie și incremente arbitrare ale argumentelor și la punctul . Ele corespund incrementelor de funcții și la punctul . Crește și corespunde creșterii funcției în punctul . Deoarece este diferențiabilă în punctul , incrementul său poate fi scris ca

unde și sunt calculate în punctul , la și . Datorită diferențiabilității funcțiilor și în punctul , obținem

unde se calculează în punctul ; .

Înlocuim (14) în (13) și rearanjam termenii

Rețineți că ca , deoarece și tind spre zero ca . Aceasta rezultă din faptul că infinitezimal la și . Dar funcțiile și sunt diferențiabile și, prin urmare, continue la punctul . Prin urmare, dacă și , atunci . Apoi și la .

Deoarece derivatele parțiale sunt calculate în punctul , obținem

Denota

și aceasta înseamnă că este diferențiabilă în raport cu variabilele și , și

Consecinţă. Dacă , și , , i.e. , apoi derivata fata de variabila t calculate prin formula

Daca atunci

Ultima expresie se numește formula derivată totală pentru o funcție a mai multor variabile.

Exemple. 1) Aflați derivata totală a funcției , unde , .

Soluţie.

2) Aflați derivata totală a funcției dacă , .

Soluţie.

Folosind regulile de diferențiere a unei funcții complexe, obținem o proprietate importantă a diferenţialului unei funcţii de mai multe variabile.

Dacă variabilele independente sunt funcții, atunci diferența este prin definiție egală cu:

Acum să fie argumentele funcții diferențiabile la un moment dat al funcției în raport cu variabilele și să fie funcția diferențiabilă în raport cu variabilele . Atunci poate fi considerată ca o funcție complexă de variabile , . După teorema anterioară, este diferențiabilă și relația este valabilă

unde este determinat de formulele (12). Înlocuim (12) în (17) și, adunând coeficienții la , obținem

Deoarece coeficientul derivatei este egal cu diferenţialul funcţiei , atunci formula (16) a fost obţinută din nou pentru diferenţialul funcţiei complexe.

Astfel, prima formulă diferențială nu depinde de dacă argumentele sale sunt funcții sau sunt independente. Această proprietate se numește invarianta formei primei diferentiale.

Formula Taylor (29) poate fi scrisă și ca

ƒ Demonstrarea se va efectua pentru o funcţie a două variabile sau .

Să considerăm mai întâi o funcție a unei variabile. Fie ca timpii să fie diferențiabili într-o vecinătate a punctului. Formula Taylor pentru o funcție a unei variabile cu un termen de rest în formula Lagrange are

Deoarece este o variabilă independentă, atunci . Prin definiţia diferenţialului unei funcţii a unei variabile

Dacă notăm , atunci (31) se poate scrie ca

Luați în considerare o vecinătate a unui punct și a unui punct arbitrar din acesta și conectați punctele și un segment de dreaptă. Este clar că coordonatele și punctele acestei linii sunt funcții liniare ale parametrului .

Pe segmentul de linie dreaptă, funcția este o funcție complexă a parametrului , deoarece . Mai mult decât atât, este diferențiabilă în timp în raport cu și formula Taylor (32) este valabilă pentru, unde , adică,

Diferenţialele din formula (32) sunt diferenţialele funcţiei complexe , unde , , , i.e.

Înlocuind (33) în (32) și ținând cont de faptul că , obținem

Ultimul termen din (34) se numește restul formulei Taylor în Forma Lagrange

Observăm fără dovezi că dacă, în ipotezele teoremei, funcția este diferențiabilă într-un punct m ori, atunci termenul rămas poate fi scris ca Forma Peano:

Capitolul 7

7.1. Spaţiu R n . Se așează în spațiu liniar.

O mulțime ale cărei elemente sunt toate seturi ordonate din n numere reale, notate și numite spațiu aritmetic n-dimensional, și numărul n numit dimensiunea spatiului. Elementul multimii se numeste un punct în spațiu sau un vector, si numerele coordonate acest punct. Se numește punctul =(0, 0, …0). zero sau origine.

Spațiul este mulțimea numerelor reale, adică - linia numerică; și sunt planul geometric de coordonate bidimensionale și, respectiv, spațiul geometric de coordonate tridimensionale. Se numesc vectorii , , … bază unică.

Pentru două elemente ale unei mulțimi se definesc conceptele de suma elementelor și produsul unui element cu un număr real:

Evident, în virtutea acestei definiții și a proprietăților numerelor reale, egalitățile sunt adevărate:

După aceste proprietăți, spațiul se mai numește liniar (vector) spaţiu.

În spațiul liniar este definit produs scalar elemente și ca număr real calculat după următoarea regulă:

Numărul este sunat lungimea vectorului sau norma. Vectori și sunt numite ortogonală, dacă . Valoare

, )= │ - │ =

numit distanța dintre elementeȘi .

Dacă și sunt vectori nenuli, atunci unghiîntre ele se numeşte unghi astfel încât

Este ușor de observat că pentru orice element și un număr real se realizează produsul scalar:

Un spațiu liniar cu un produs scalar definit în el prin formula (1) se numește spațiu euclidian.

Lăsați punctul și . Mulțimea tuturor punctelor pentru care sunt valabile inegalitățile

numit n -cub de masura cu o muchie si centrata in punctul . De exemplu, un cub bidimensional este un pătrat cu o latură centrată pe .

Se numesc setul de puncte care satisfac inegalitatea n-bilă raza centrată pe , care se mai numește

- vecinatatea punctuluiîn și denotă,

Astfel, o minge unidimensională este un interval de lungime . minge 2D

există un cerc pentru care inegalitatea

Definiția 1. Setul este numit limitat, dacă există
n este o minge care conține acest set.

Definiția 2. Se numește o funcție definită pe mulțimea numerelor naturale și luând valori care îi aparțin secvenţăîn spațiu și se notează cu , unde .

Definiția 3. Punctul se numește limită de secvență, dacă pentru un număr pozitiv arbitrar există un număr natural astfel încât inegalitatea să fie valabilă pentru orice număr.

În mod simbolic, această definiție este scrisă după cum urmează:

Desemnare:

Din Definiția 3 rezultă că , pentru . O astfel de secvență se numește convergente la .

Dacă secvența nu converge către niciun punct, atunci este numită divergente.

Teorema 1. Pentru ca șirul să convergă către un punct, este necesar și suficient ca pentru orice număr, i.e. a secventa i- coordonatele x ale punctelor la care au convergit i-a coordonata a punctului .

□ Dovada rezultă din inegalități

Secvența este numită limitat, dacă setul valorilor sale este limitat, i.e.

Ca și o secvență de numere, o secvență convergentă de puncte este mărginită și are o singură limită.

Definiția 4. Secvența este numită fundamental(secvență Cauchy), dacă pentru orice număr pozitiv se poate specifica un număr natural astfel încât pentru numere naturale arbitrare și mai mari decât , , i.e.

Teorema 2(criteriul Cauchy). Pentru ca o secvență să converge, este necesar și suficient ca aceasta să fie fundamentală.

□ Necesitatea. Lasă converge către un punct. Apoi obținem o secvență care converge către . . . , …, se numește X regiuneîn . Dacă X - zonă, atunci se numește închiderea acesteia zonă închisă.

seturi XȘi Y numit separabil, dacă niciunul dintre ele nu conține puncte de contact ale celuilalt.

Multe X numit legate de dacă nu poate fi reprezentat ca o unire a două mulţimi separabile.

Multe X numit convex , dacă oricare două dintre punctele sale pot fi legate printr-un segment care aparține în întregime acestei mulțimi.

Exemplu. Pe baza definițiilor de mai sus, se poate argumenta că

– multime conexă, conectată liniar, deschisă, neconvexă, este o regiune.

– multime conectată, conectată liniar, nedeschisă, neconvexă, nu este un domeniu.

– multime neconectată, neconectată liniar, deschisă, neconvexă, nu este o regiune.

– neconectat, nu conectat liniar, set deschis, nu un domeniu.

– conectat, conectat liniar, set deschis, este un domeniu.

Exemplu. Găsiți dacă, unde.

Soluţie. Conform formulei (1) avem:

Exemplu. Aflați derivata parțială și derivata totală dacă .

Soluţie. .

Pe baza formulei (2), obținem .

2°. Cazul mai multor variabile independente.

Lasa z = f(x;y) - funcţia a două variabile XȘi y, fiecare dintre ele este o funcție

variabila independenta t: x = x(t), y = y(t).În acest caz, funcția z=f(x(t);y(t)) este o

funcţie complexă a unei variabile independente t; variabile x și y sunt variabile intermediare.

Teorema. Dacă z == f(X; y) - diferentiabil la un punct M(x; y) D funcţie

Și x = x(t)Și la =YT) - funcţii diferenţiabile ale variabilei independente t,

apoi derivata functiei complexe z(t) == f(x(t);y(t)) calculate prin formula

(3)

Caz special: z = f(x; y), unde y = y(x), acestea. z= f(x;y(x)) - funcţie complexă de

variabila independenta X. Acest caz se reduce la cel precedent, și rolul variabilei

t joacă X. Conform formulei (3) avem:

.

Ultima formulă se numește formule pentru derivata totală.

Caz general: z = f(x;y), Unde x = x(u;v), y=y(u;v). Atunci z = f(x(u;v);y(u;v)) - complex

funcţia variabilelor independente ȘiȘi v. Derivatele sale parțiale pot fi găsite

folosind formula (3) după cum urmează. Fixare v,înlocuiți în ea

derivate parțiale corespunzătoare

Deci derivata funcției compuse (z) față de fiecare variabilă independentă (ȘiȘi v)

este egală cu suma produselor derivatelor parțiale ale acestei funcții (z) față de intermediarul ei

variabile (x și y) la derivatele lor în raport cu variabila independentă corespunzătoare (u și v).

În toate cazurile luate în considerare, formula

(proprietatea invarianței diferenţialului total).

Exemplu. Găsiți și dacă z= f(x,y), unde x=uv, .

Teorema.Lasa u = f(x, y) este dat în domeniul D și fie x = x(t)Și y = y(t) definite în zonă , și atunci când , atunci x și y aparțin zonei D. Fie o funcție u diferențiabilă într-un punct M 0 (X 0 ,y 0 ,z 0), și funcțiile x(t) iar la(t) sunt diferențiabile în punctul corespunzător t 0 , atunci funcția complexă u = f[X(t),y(t)]=F (t)diferentiabil la t 0 iar următoarea egalitate este valabilă:

.

Dovada. Deoarece u este diferențiabilă condiționat în punctul ( X 0 , y 0), atunci incrementul său total este reprezentat ca

Împărțind acest raport la , obținem:

Să trecem la limita de la și să obținem formula

.

Observație 1. Dacă u= u(X y) Și X= X, y= y(X), apoi derivata totală a funcției u după variabilă X

sau .

Ultima egalitate poate fi folosită pentru a demonstra regula de diferențiere a unei funcții a unei variabile dată implicit în formă F(X, y) = 0, unde y= y(X) (vezi subiectul numărul 3 și exemplul 14).

Avem: . De aici . (6.1)

Să revenim la exemplul 14 al subiectului numărul 3:

;

.

După cum puteți vedea, răspunsurile sunt aceleași.

Observația 2. Lasa u = f (X y), Unde X= X(t , v), la= la(t , v). Atunci u este în cele din urmă o funcție complexă a două variabile tȘi v. Dacă acum funcția u este diferențiabilă într-un punct M 0 (X 0 , y 0), și funcțiile XȘi la sunt diferențiabile în punctul corespunzător ( t 0 , v 0), atunci putem vorbi despre derivate parțiale cu privire la tȘi v dintr-o funcție complexă într-un punct ( t 0 , v 0). Dar dacă vorbim despre derivata parțială față de t într-un punct specificat, atunci a doua variabilă v este considerată constantă și egală cu v 0 . Prin urmare, vorbim despre derivata numai a unei funcții complexe față de t și, prin urmare, putem folosi formula derivată. Astfel, primim.

Fie definită funcția z - f(x, y) într-un domeniu D pe planul xOy. Să luăm un punct interior (x, y) din regiunea D și să dăm x un increment Ax astfel încât punctul (x + Ax, y) 6 D (Fig. 9). Să numim valoarea o creștere parțială a funcției z față de x. Compuneți raportul Pentru un punct dat (x, y), acest raport este o funcție a Definiției. Dacă pentru Ax -* 0 relația ^ are o limită finită, atunci această limită se numește derivată parțială a funcției z = /(x, y) față de variabila independentă x în punctul (x, y) și este notat cu simbolul jfc (sau /i(x, jj ), sau z "x (x, În același mod, prin definiție, sau, care este același, Analog Dacă și este o funcție a n variabile independente, atunci notând că Arz se calculează cu valoarea variabilei y neschimbată, iar Atz cu valoarea variabilei x neschimbată, definițiile derivatelor parțiale pot fi formulate astfel: Derivate parțiale Sensul geometric al derivatelor parțiale a unei funcții a două variabile. o funcție a mai multor variabile Condiții necesare pentru diferențiabilitatea unei funcții Condiții suficiente pentru diferențiabilitatea funcțiilor mai multor variabile Diferențial total. ) se numește derivată obișnuită a acestei funcții față de x, calculată în ipoteza că y este o constantă; derivata parțială față de y a funcției z - / (x , y) este derivata sa față de y, calculată în ipoteza că x este o constantă. Rezultă că regulile de calcul al derivatelor parțiale coincid cu regulile dovedite pentru o funcție a unei variabile. Exemplu. Găsiți derivate parțiale ale unei funcții 4 Avem Substituții*. Existența unei funcții y = /(x, y) la un punct dat de derivate parțiale față de toate argumentele nu implică continuitatea funcției în acest punct. Deci, funcția nu este continuă în punctul 0(0,0). Cu toate acestea, în acest moment, această funcție are derivate parțiale față de x și față de y. Aceasta rezultă din faptul că /(x, 0) = 0 și /(0, y) = 0 și, prin urmare, semnificația geometrică a derivatelor parțiale ale unei funcții a două variabile Fie suprafața S în spațiul tridimensional dat de ecuația în care f(x, y) este o funcție, continuă într-un domeniu D și având derivate parțiale față de x și y acolo. Să aflăm semnificația geometrică a acestor derivate în punctul Mo(x0, y0) 6 D, căruia îi corespunde punctul f(x0)yo) pe suprafața z = f(x)y). Când găsim derivata parțială în punctul M0, presupunem că z este doar o funcție a argumentului x, în timp ce argumentul y păstrează o valoare constantă y \u003d yo, adică funcția fi (x) este reprezentată geometric de curba L , de-a lungul căreia suprafața S este intersectată de planul y \u003d la aproximativ. Datorită semnificației geometrice a derivatei unei funcții a unei variabile, f \ (xo) = tg a, unde a este unghiul format de tangenta la dreapta L în punctul JV0 cu axa Ox (Fig. 10) . Dar așadar, derivata parțială ($|) este egală cu tangentei unghiului a dintre axa Ox și tangentei în punctul N0 la curba obținută în secțiunea suprafeței z \u003d / (x, y) de planul y. În mod similar, obținem că §6. Diferențiabilitatea unei funcții cu mai multe variabile Fie definită funcția z = /(x, y) într-un domeniu D pe planul xOy. Să luăm un punct (x, y) € D și să dăm valorile alese x și y orice incremente Ax și Dy, dar astfel încât punctul. Definiție. O functie r = /(x, y) se numeste diferentiabil * punct (x, y) € 2E daca incrementul total al acestei functii, corespunzator incrementelor Dx, Dy ale argumentelor, poate fi reprezentat ca unde A si B nu depind de Dx și D y ( dar în general depind de x și y), în timp ce a(Ax, Dy) și f(Ax, Dy) tind spre zero, deoarece Ax și Dy tind spre zero. . Dacă funcția z = /(x, y) este diferențiabilă în punctul (x, y), atunci partea A Dx 4 - VDy a incrementului funcției, liniară față de Dx și Dy, se numește diferenţial total a acestei funcții în punctul (x, y) și este notat cu simbolul dz: Tanim way, exemplu. Fie r = x2 + y2. În orice punct (r, y) și pentru orice Dx și Dy avem Aici. rezultă că a și /3 tind spre zero, deoarece Ax și Dy tind spre zero. Prin definiție, această funcție este diferențiabilă în orice punct din planul xOy. Aici observăm că în raționamentul nostru nu am exclus în mod formal cazul în care incrementele Dx, Dy separat sau chiar ambele sunt egale cu zero deodată. Formula (1) poate fi scrisă mai compact dacă introducem expresia (distanța dintre puncte (Folosind-o, putem scrie Notând expresia dintre paranteze cu e, vom avea unde c depinde de J, Du și tinde spre zero dacă J 0 și Dy 0, sau, pe scurt, dacă p 0. Formula (1), care exprimă condiția ca funcția z = f(xt y) să fie diferențiabilă în punctul (x, y), se poate scrie acum ca Deci, în exemplul 6.1 de mai sus.Teorema 4. Dacă funcția r = f(x, y) este diferențiabilă la un moment dat, atunci este continuă în acel punct.4 Dacă funcția r = f(x, y) este diferențiabilă în punctul (x, y), atunci totalul incrementului funcţiei i în acest punct""e, corespunzător incrementelor j şi dy ale argumentelor, poate fi reprezentat ca /(x, y) este continuu. Fie funcția z = /(x, y) să fie diferențiabilă într-un punct (x, y). Apoi incrementul Dx al acestei funcții, care corespunde incrementelor Dx, Ay ale argumentelor, poate fi reprezentat sub forma (1). Luând în egalitate (1) Dx Ф 0, Dn \u003d 0, obținem de unde Deoarece în partea dreaptă a ultimei egalități valoarea A nu depinde de, Aceasta înseamnă că în punctul (x, y) există o derivată parțială a funcției r \u003d / (x, y) față de x și, printr-un raționament similar, vedem că (x, există o derivată parțială a funcției zу și din teoremă rezultă că Subliniem că teorema 5 afirmă existența derivatelor parțiale doar la punctul (x, y), dar nu spune nimic despre continuitatea lor 6.2 Condiții suficiente pentru diferențiabilitatea funcțiilor mai multor variabile După cum se știe, o condiție necesară și suficientă pentru diferențiabilitatea o funcție y = f(x) a unei variabile în punctul xo este existența unei derivate finite /"(x) în punctul x0. În cazul în care funcția depinde de mai multe variabile, situația este mult mai complicată : nu există condiții necesare și suficiente de diferențiere pentru funcția z = /(x, y) a două variabile independente x, y; există l căutați condițiile necesare (cf. de mai sus) și separat - suficient. Aceste condiții suficiente pentru diferențiabilitatea funcțiilor mai multor variabile sunt exprimate prin următoarea teoremă. Teorema c. Dacă o funcție are derivate parțiale /£ și f"v în vreo vecinătate a dreptei subțiri (xo, y0) și dacă aceste derivate sunt continue în punctul (xo, y0) însuși, atunci funcția z = f(x, y). ) este diferențiabilă în punctul (x- Exemplu Considerăm o funcție Derivate parțiale Semnificația geometrică a derivatelor parțiale ale unei funcții a două variabile Diferențiabilitatea unei funcții a mai multor variabile Condiții necesare pentru diferențiabilitatea unei funcții Condiții suficiente pentru diferențiabilitatea funcțiilor mai multor variabile Total diferențiale Diferențiale parțiale Derivate ale unei funcții complexe Este definită peste tot Pe baza definiției derivatelor parțiale, avem ™ din această funcție în punctul 0(0, 0) pe care îl găsim și incrementul acesteia se accentuează 0 și Du 0. Avem pune D0. Atunci din formula (1) vom avea Prin urmare, funcțiile / (x, y) \u003d nu este diferențiabilă în punctul 0 (0, 0), deși are în acest moment producem fa și f "r Obținut rezultatul se explică prin faptul că derivatele f"z și f"t sunt discontinue în punctul §7. diferenţial complet. Diferențiale parțiale Dacă funcția r - f(z> y) este diferențiabilă, atunci ultima ei diferențială dz este incrementele lor: După aceea, formula pentru diferența totală a funcției ia exemplul. Fie i - 1l(x + y2). Atunci, în mod similar, dacă u =) este o funcție diferențiabilă a n variabile independente, atunci expresia se numește diferenţialul slab al funcției z = f(x, y) în raport cu variabila x; expresia se numește diferența parțială a funcției z = /(x, y) a variabilei y. Din formulele (3), (4) și (5) rezultă că diferența totală a unei funcții este suma diferențialelor sale parțiale: Rețineți că incrementul total Az al funcției z = /(x, y), în general vorbind , nu este egal cu suma incrementelor parțiale. Dacă într-un punct (x, y) funcția y = /(x, y) este diferențiabilă și diferența dz Φ 0 în acest punct, atunci incrementul ei total diferă de partea sa liniară doar prin suma ultimilor termeni aAx 4 - /? 0 și Ay --> O sunt infinitezimale de ordin superior termenilor părții liniare. Prin urmare, când dz Ф 0, partea liniară a incrementului unei funcții diferențiabile se numește partea principală a incrementului funcției și se folosește o formulă aproximativă care va fi cu atât mai precisă, cu atât valoarea absolută a incrementelor de argumentele. §8. Derivate ale unei funcții complexe 1. Fie definită funcția într-un domeniu D pe planul xOy, iar fiecare dintre variabilele x, y, la rândul său, este o funcție a argumentului t: Vom presupune că atunci când t se modifică în interval (punctele corespunzătoare (x, y) nu ies în afara regiunii D. Dacă substituim valorile în funcția z = / (x, y), atunci obținem o funcție complexă a unei variabile t. și pentru valorile corespunzătoare funcția / (x, y) este diferențiabilă, atunci funcția complexă în punctul t are o derivată și M Să dăm t un increment Dt. Atunci x și y vor primi niște incremente Ax și Dy. Ca ca urmare, pentru (J)2 + (Dy)2 ∩ 0, funcția z va primi și un increment Dt, care, datorită diferențiabilității funcției z = f , y) în punctul (x, y) poate fi reprezentat ca unde a) tind spre zero ca Ax și Du tind spre zero. Să definim a și /3 pentru Ax = Ay = 0 stabilind a Atunci a( va fi continuu pentru J = Dy = 0. Considerăm că relația sunt constante pentru cea dată, prin condiție există limite din existența derivatelor ^ iar în punctul £ rezultă că funcțiile x = y(t) și y = sunt continue în acest punct; prin urmare, la 0 atât J cât și Dy tind spre zero, ceea ce la rândul său implică a(Ax, Dy) și P (Ax, Ay) tind spre zero. Astfel, partea dreaptă a egalității (2) la 0 are o limită egală cu. Prin urmare, limita părții stângi a lui (2) există la At 0, adică, e. este egal Trecand in egalitatea (2) la limita ca At -» 0, obtinem formula ceruta In cazul particular cand, in consecinta, z este o functie complexa a lui x, obtinem , y) peste x, in al cărui calcul argumentul y este luat ca constantă în expresia /(x, y). Și există derivata totală a funcției z față de variabila independentă x, în calculul căreia y în expresia /(x, y) nu mai este luată ca constantă, ci este considerată la rândul său o funcție a lui x : y = tp(x)t și, prin urmare, dependența lui z de este pe deplin luată în considerare. Exemplu. Găsiți și jg dacă 2. Să considerăm acum diferențierea unei funcții complexe a mai multor variabile. Fie unde la rândul său, astfel încât Să presupunem că în punctul (() există derivate parțiale continue u, 3? și în punctul corespunzător (x, y), unde Funcția f(x, y) este derivabilă. Să arătăm că în aceste condiţii funcţia complexă z = z(() y) în punctul t7) are derivate şi u, şi găsim expresii pentru aceste derivate. Rețineți că acest caz nu diferă semnificativ de cel deja studiat. Într-adevăr, când z este diferențiat față de £, a doua variabilă independentă rj este luată ca o constantă, drept urmare x și y devin funcții ale aceleiași variabile x" = c), y = c) în această operație, iar întrebarea derivatei Φ se rezolvă exact în același mod ca și problema derivatei la derivarea formulei (3) Folosind formula (3) și înlocuind formal derivatele g și ^ din ea cu derivatele u și respectiv, obținem Dacă o funcție complexă este „Specificată prin formule astfel încât, dacă sunt îndeplinite condițiile adecvate, avem În cazul particular când Și = unde Derivate parțiale Semnificația geometrică a derivatelor parțiale ale unei funcții a două variabile Diferențiabilitatea unei funcții a mai multor variabile Condiții necesare pentru diferențiabilitatea unei funcții Condiții suficiente pentru diferențiabilitatea funcțiilor mai multor variabile Diferențial complet.Diferențiale parțiale Avem derivate ale unei funcții complexe Aici m este derivata parțială totală a funcției și în ceea ce privește variabila independentă x, ținând cont de dependența completă a și față de x, inclusiv și prin z = z(x, y), a