ระบบตัวเลขคือชุดของเทคนิคและหลักเกณฑ์ในการตั้งชื่อและการกำหนดหมายเลข เครื่องหมายทั่วไปที่ใช้แทนตัวเลขเรียกว่าตัวเลข

โดยทั่วไป ระบบตัวเลขทั้งหมดจะแบ่งออกเป็นสองประเภท: ไม่ใช่ตำแหน่งและตำแหน่ง

ในระบบตัวเลขตำแหน่ง น้ำหนักของแต่ละหลักจะแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับตำแหน่ง (ตำแหน่ง) ในลำดับของหลักที่แสดงถึงตัวเลข ตัวอย่างเช่น ในตัวเลข 757.7 เจ็ดตัวแรกหมายถึง 7 ร้อย ที่สองหมายถึง 7 หน่วย และที่สามหมายถึง 7 ในสิบของหน่วย

สัญกรณ์ของหมายเลข 757.7 หมายถึงสัญกรณ์แบบย่อของนิพจน์:

ในระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่ง น้ำหนักของตัวเลข (นั่นคือ การมีส่วนร่วมกับค่าของตัวเลข) จะไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งในบันทึกตัวเลข ดังนั้น ในระบบเลขโรมันในเลข XXXII (สามสิบสอง) น้ำหนักของเลข X ในตำแหน่งใดๆ ก็คือสิบ

ในอดีต ระบบจำนวนแรกเป็นระบบที่ไม่ใช่ตำแหน่ง ข้อเสียเปรียบหลักประการหนึ่งคือความยากในการเขียนตัวเลขจำนวนมาก การเขียนตัวเลขจำนวนมากในระบบดังกล่าวอาจยุ่งยากมากหรือตัวอักษรของระบบมีขนาดใหญ่มาก ตัวอย่างของระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่งซึ่งค่อนข้างใช้กันอย่างแพร่หลายในปัจจุบันคือสิ่งที่เรียกว่าการนับเลขโรมัน

ระบบเลขฐานสอง เช่น ระบบที่มีฐานเป็นระบบ "ขั้นต่ำ" ซึ่งหลักการของตำแหน่งในรูปแบบดิจิทัลของการบันทึกตัวเลขจะถูกนำมาใช้อย่างเต็มที่ ในระบบเลขฐานสอง ค่าของแต่ละหลัก “ในตำแหน่ง” เมื่อย้ายจากหลักที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุดไปเป็นหลักที่มีนัยสำคัญที่สุดจะเพิ่มเป็นสองเท่า

ประวัติความเป็นมาของการพัฒนา ระบบไบนารี่แคลคูลัสเป็นหนึ่งใน หน้าที่สดใสในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ "การเกิด" อย่างเป็นทางการของเลขคณิตไบนารีมีความเกี่ยวข้องกับชื่อของ G.V. ไลบ์นิซผู้ตีพิมพ์บทความซึ่งมีการพิจารณากฎสำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดกับเลขฐานสอง

อย่างไรก็ตาม ไลบ์นิซไม่ได้แนะนำเลขคณิตไบนารี่สำหรับการคำนวณเชิงปฏิบัติแทนระบบทศนิยม แต่เน้นว่า “การคำนวณด้วยความช่วยเหลือของเลขสอง ซึ่งก็คือ 0 และ 1 เพื่อแลกกับความยาวของมัน ถือเป็นพื้นฐานของวิทยาศาสตร์และก่อให้เกิด การค้นพบใหม่ๆ ที่กลายเป็นประโยชน์ในภายหลัง แม้แต่ในแบบฝึกหัดเรื่องตัวเลข โดยเฉพาะในเรขาคณิต สาเหตุก็คือเมื่อตัวเลขลดลงเหลือหลักการที่ง่ายที่สุด เช่น 0 และ 1 ลำดับอันมหัศจรรย์ก็ปรากฏให้เห็น ทุกที่”

ไลบ์นิซถือว่าระบบไบนารี่เรียบง่าย สะดวก และสวยงาม เขากล่าวว่า “การคำนวณด้วยความช่วยเหลือของ twos... เป็นพื้นฐานของวิทยาศาสตร์และก่อให้เกิดการค้นพบใหม่ๆ... เมื่อตัวเลขลดลงเหลือหลักการที่ง่ายที่สุดซึ่งก็คือ 0 และ 1 ลำดับอันมหัศจรรย์ก็จะปรากฏขึ้นทุกที่”

ตามคำร้องขอของนักวิทยาศาสตร์ เหรียญถูกเคาะออกเพื่อเป็นเกียรติแก่ "ระบบ dyadic" - ตามที่เรียกระบบไบนารี่ เป็นภาพตารางที่มีตัวเลขและการดำเนินการง่ายๆ ตามขอบของเหรียญมีริบบิ้นที่มีข้อความว่า: "เพื่อดึงทุกสิ่งออกจากความไม่สำคัญเพียงอันเดียวก็เพียงพอแล้ว"

จากนั้นพวกเขาก็ลืมระบบไบนารีไป เป็นเวลาเกือบ 200 ปีแล้วที่ไม่มีการตีพิมพ์ผลงานใด ๆ ในหัวข้อนี้ พวกเขากลับมาที่นี่เฉพาะในปี พ.ศ. 2474 เมื่อมีการแสดงความสามารถบางอย่าง การประยุกต์ใช้จริงเลขฐานสอง

คำทำนายอันยอดเยี่ยมของไลบ์นิซเป็นจริงเพียงสองศตวรรษครึ่งต่อมา เมื่อนักวิทยาศาสตร์ นักฟิสิกส์ และนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันผู้มีชื่อเสียง จอห์น ฟอน นอยมันน์ เสนอให้ใช้ระบบเลขฐานสองเป็นวิธีสากลในการเข้ารหัสข้อมูลใน คอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์("หลักการของจอห์น ฟอน นอยมันน์")

แผนการสอน

ที่นี่คุณจะได้เรียนรู้:

♦ วิธีทำงานกับตัวเลข
♦ สเปรดชีตคืออะไร
♦ วิธีแก้ไขปัญหาทางคอมพิวเตอร์
♦ ใช้สเปรดชีต;
♦ วิธีการใช้งาน สเปรดชีตสำหรับการสร้างแบบจำลองข้อมูล

ระบบเลขฐานสอง

หัวข้อหลักของย่อหน้า:

♦ ระบบเลขทศนิยมและเลขฐานสอง;
♦ ขยายรูปแบบการเขียนตัวเลข;
♦ การแปล เลขฐานสองสู่ระบบทศนิยม
♦ การแปลงเลขทศนิยมให้เป็นระบบไบนารี
♦เลขคณิตของเลขฐานสอง

ในบทนี้เราจะพูดถึงการจัดระเบียบการคำนวณ คอมพิวเตอร์- คอมพิวเตอร์เกี่ยวข้องกับการจัดเก็บและประมวลผลตัวเลข

คอมพิวเตอร์ทำงานกับตัวเลขในระบบเลขฐานสอง

แนวคิดนี้เป็นของ John von Neumann ซึ่งเป็นผู้กำหนดหลักการออกแบบและการทำงานของคอมพิวเตอร์ในปี 1946 เรามาดูกันว่าระบบตัวเลขคืออะไร

ระบบเลขทศนิยมและเลขฐานสอง

ระบบตัวเลขหรือในรูปแบบย่อ SS เป็นระบบสำหรับบันทึกตัวเลขที่มีชุดตัวเลขเฉพาะ

คุณได้เรียนรู้เกี่ยวกับประวัติความเป็นมาของระบบตัวเลขต่างๆ เมื่อคุณศึกษาบทที่ 7 ของหนังสือเรียน และวันนี้เราจะหันมาสนใจระบบตัวเลขเช่น SS ไบนารีและทศนิยม

ดังที่คุณทราบจากเนื้อหาที่ศึกษาก่อนหน้านี้ ระบบตัวเลขที่ใช้กันมากที่สุดระบบหนึ่งคือ SS ทศนิยม และระบบนี้ถูกเรียกอย่างนั้นเพราะพื้นฐานของการสร้างคำนี้คือเลข 10 ด้วยเหตุนี้ระบบตัวเลขจึงเรียกว่าทศนิยม

คุณรู้อยู่แล้วว่าระบบนี้ใช้ตัวเลขสิบตัวเช่น 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 แต่หมายเลขสิบมีบทบาทพิเศษเนื่องจากมือของเรามีสิบนิ้ว . นั่นคือตัวเลขสิบหลักเป็นฐานของระบบตัวเลขนี้

แต่ในระบบเลขฐานสองนั้นมีเพียงสองหลักเท่านั้นที่เกี่ยวข้อง เช่น 0 และ 1 และฐานของระบบนี้คือเลข 2

ตอนนี้เราลองหาวิธีแสดงค่าโดยใช้ตัวเลขเพียงสองตัวกัน

การขยายรูปแบบการเขียนตัวเลข

หันมาที่ความทรงจำของเราแล้วจำไว้ว่ามีหลักการอะไรอยู่ใน SS ทศนิยมในการเขียนตัวเลข นั่นคือจะไม่เป็นความลับสำหรับคุณอีกต่อไปว่าใน SS การบันทึกตัวเลขนั้นขึ้นอยู่กับตำแหน่งของตัวเลขนั่นคือในตำแหน่งของมัน

ตัวอย่างเช่น ตัวเลขทางขวาสุดบอกเราถึงจำนวนหน่วยของตัวเลขนี้ ตามกฎแล้วตัวเลขที่ตามหลังตัวเลขนี้บ่งบอกถึงจำนวนสอง เป็นต้น

ตัวอย่างเช่น หากคุณและฉัน ใช้ตัวเลข เช่น 333 เราจะเห็นว่าหลักขวาสุดแทนสามหน่วย ตามด้วยสิบสาม และสามร้อย

ทีนี้ลองแสดงสิ่งนี้เป็นความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

ที่นี่เราเห็นความเท่าเทียมกันซึ่งมีการแสดงนิพจน์ที่อยู่ทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับในรูปแบบของการขยายการเขียนตัวเลขหลายหลักนี้

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่งของเลขทศนิยมหลายหลักซึ่งแสดงในรูปแบบขยายด้วย:

การแปลงเลขฐานสองเป็นระบบทศนิยม

ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างเลขฐานสองที่มีนัยสำคัญเช่น:

ในจำนวนที่มีความหมายนี้ เราเห็นเลขสองตัวที่ด้านขวาล่าง ซึ่งบ่งบอกให้เราทราบถึงฐานของระบบตัวเลข นั่นคือเราเข้าใจว่านี่คือเลขฐานสองและเราไม่สามารถสับสนกับเลขฐานสิบได้

และค่าของแต่ละหลักที่ตามมาในเลขฐานสองจะเพิ่มขึ้น 2 เท่าในแต่ละขั้นจากขวาไปซ้าย ตอนนี้เรามาดูกันว่ารูปแบบการเขียนเลขฐานสองแบบขยายนี้จะมีลักษณะอย่างไร:

ในตัวอย่างนี้ เราจะดูว่าเราสามารถแปลงเลขฐานสองให้เป็นระบบทศนิยมได้อย่างไร

ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างเพิ่มเติมของการแปลงเลขฐานสองเป็นระบบเลขฐานสิบ:

ตัวอย่างนี้แสดงให้เราเห็นว่าตัวเลขทศนิยมสองหลักในกรณีนี้สอดคล้องกับเลขฐานสองหกหลัก ระบบไบนารี่มีลักษณะเฉพาะคือการเพิ่มจำนวนหลักเมื่อค่าของตัวเลขเพิ่มขึ้น

ตอนนี้เรามาดูกันว่าจุดเริ่มต้นของชุดตัวเลขธรรมชาติในรูปแบบทศนิยม (A10) และไบนารี่ (A2) SS จะมีลักษณะอย่างไร:

การแปลงเลขทศนิยมให้เป็นเลขฐานสอง

เมื่อดูตัวอย่างข้างต้นแล้ว ฉันหวังว่าคุณจะเข้าใจแล้วว่าเลขฐานสองถูกแปลงให้เท่ากันได้อย่างไร เลขทศนิยม- ทีนี้เรามาลองทำการแปลแบบย้อนกลับกันดีกว่า เรามาดูกันว่าเราต้องทำอะไรเพื่อสิ่งนี้ สำหรับการแปล เราต้องพยายามแยกเลขทศนิยมออกเป็นพจน์ที่แสดงถึงกำลังสอง ลองยกตัวอย่าง:

อย่างที่คุณเห็นนี่ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะทำ ลองมาดูวิธีอื่นที่ง่ายกว่าในการแปลงจาก SS ทศนิยมไปเป็นไบนารี่ วิธีการนี้ประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่า ตามกฎแล้วเลขทศนิยมที่รู้จักนั้นหารด้วยสอง และผลลัพธ์ที่เหลือจะทำหน้าที่เป็นหลักลำดับต่ำของจำนวนที่ต้องการ เราหารตัวเลขที่ได้รับใหม่นี้ด้วยสองอีกครั้งและรับหลักถัดไปของตัวเลขที่ต้องการ เราจะดำเนินกระบวนการหารต่อไปจนกว่าผลหารจะน้อยกว่าฐานของระบบไบนารี่ ซึ่งก็คือน้อยกว่าสอง ผลหารที่ได้นี้จะเป็นตัวเลขสูงสุดของตัวเลขที่เรากำลังมองหา

ตอนนี้เรามาดูวิธีการเขียนการหารด้วยสองกัน ตัวอย่างเช่น ลองนำตัวเลข 37 มาลองแปลงเป็นระบบไบนารี่

ในตัวอย่างนี้เราจะเห็นว่า a5, a4, a3, a2, a1, a0 เป็นการกำหนดตัวเลขในรูปแบบเลขฐานสอง ซึ่งดำเนินการตามลำดับจากซ้ายไปขวา เป็นผลให้เราจะได้รับ:

เลขคณิตเลขฐานสอง

หากเราดำเนินการตามกฎทางคณิตศาสตร์จะสังเกตได้ง่ายว่าในระบบเลขฐานสองนั้นง่ายกว่าในระบบเลขฐานสิบมาก

ตอนนี้เรามาจำตัวเลือกในการบวกและคูณเลขฐานสองหลักเดียวกัน

ด้วยความเรียบง่ายที่เข้ากับโครงสร้างบิตได้อย่างง่ายดาย หน่วยความจำคอมพิวเตอร์ระบบเลขฐานสองดึงดูดความสนใจของผู้สร้างคอมพิวเตอร์

ให้ความสนใจกับตัวอย่างการเพิ่มเลขฐานสองหลายหลักสองตัวโดยใช้คอลัมน์:

และนี่คือตัวอย่างการคูณเลขฐานสองหลายหลักในคอลัมน์:

คุณสังเกตไหมว่าการแสดงตัวอย่างดังกล่าวนั้นง่ายและสะดวกเพียงใด

สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

ระบบตัวเลขเป็นกฎบางประการสำหรับการเขียนตัวเลขและวิธีการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับกฎเหล่านี้

ฐานของระบบตัวเลขเท่ากับจำนวนหลักที่ใช้ในระบบตัวเลข

เลขฐานสองคือตัวเลขในระบบเลขฐานสอง เขียนโดยใช้ตัวเลขสองตัว: 0 และ 1

รูปแบบการเขียนเลขฐานสองแบบขยายคือการแทนค่าผลรวมของกำลังสองคูณด้วย 0 หรือ 1

การใช้เลขฐานสองในคอมพิวเตอร์เกิดจากโครงสร้างบิตของหน่วยความจำคอมพิวเตอร์และความเรียบง่ายของเลขคณิตไบนารี

ข้อดีของระบบเลขฐานสอง

ตอนนี้เรามาดูข้อดีของระบบเลขฐานสองกัน:

ประการแรกข้อดีของระบบเลขฐานสองคือด้วยความช่วยเหลือทำให้ง่ายต่อการดำเนินกระบวนการจัดเก็บส่งและประมวลผลข้อมูลบนคอมพิวเตอร์
ประการที่สองเพื่อให้เสร็จสมบูรณ์องค์ประกอบไม่ถึงสิบองค์ประกอบก็เพียงพอแล้ว แต่มีเพียงสององค์ประกอบเท่านั้น
ประการที่สาม การแสดงข้อมูลโดยใช้เพียงสองสถานะจะมีความน่าเชื่อถือมากกว่าและทนทานต่อการรบกวนต่างๆ ได้ดีกว่า
ประการที่สี่ มันเป็นไปได้ที่จะใช้พีชคณิตของตรรกะในการนำไปใช้ การเปลี่ยนแปลงเชิงตรรกะ;
ประการที่ห้า เลขคณิตไบนารี่ยังง่ายกว่าเลขคณิตทศนิยม ดังนั้นจึงสะดวกกว่า

ข้อเสียของระบบเลขฐานสอง

ระบบเลขฐานสองมีความสะดวกน้อยกว่า เนื่องจากผู้คนคุ้นเคยกับการใช้ระบบทศนิยมมากกว่าซึ่งสั้นกว่ามาก แต่ในระบบไบนารี่มีจำนวนค่อนข้างมาก จำนวนมากการปลดปล่อยซึ่งเป็นข้อเสียเปรียบที่สำคัญ

เหตุใดระบบเลขฐานสองจึงเป็นเรื่องธรรมดา?

ระบบเลขฐานสองได้รับความนิยมเนื่องจากเป็นภาษาของการคำนวณ ซึ่งแต่ละหลักจะต้องแสดงด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งบนสื่อทางกายภาพ

ท้ายที่สุด การสร้างองค์ประกอบทางกายภาพมีสองสถานะได้ง่ายกว่าการสร้างอุปกรณ์ที่ต้องมีสถานะต่างกันสิบสถานะ ยอมรับว่ามันจะยากกว่านี้มาก

อันที่จริงนี่คือหนึ่งในเหตุผลหลักที่ทำให้ระบบเลขฐานสองได้รับความนิยม

ประวัติความเป็นมาของระบบเลขฐานสอง

ประวัติความเป็นมาของการสร้างระบบเลขฐานสองทางคณิตศาสตร์ค่อนข้างสดใสและรวดเร็ว ผู้ก่อตั้งระบบนี้ถือเป็นนักวิทยาศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อ G. W. Leibniz เขาตีพิมพ์บทความซึ่งเขาอธิบายกฎที่คุณสามารถดำเนินการทางคณิตศาสตร์ทุกประเภทกับเลขฐานสองได้

น่าเสียดายที่จนถึงต้นศตวรรษที่ 20 ระบบเลขฐานสองแทบจะไม่มีใครสังเกตเห็นได้ชัดเจนในคณิตศาสตร์ประยุกต์ และหลังจากที่อุปกรณ์คำนวณเชิงกลอย่างง่าย ๆ เริ่มปรากฏขึ้น นักวิทยาศาสตร์ก็เริ่มให้ความสนใจกับระบบเลขฐานสองมากขึ้นและเริ่มศึกษาอย่างกระตือรือร้นเนื่องจากสะดวกและขาดไม่ได้สำหรับอุปกรณ์คอมพิวเตอร์ เป็นระบบขั้นต่ำสุดที่คุณสามารถใช้หลักการของตำแหน่งในรูปแบบดิจิทัลของการบันทึกตัวเลขได้อย่างเต็มที่

คำถามและงาน

1. บอกข้อดีและข้อเสียของระบบเลขฐานสองเทียบกับระบบเลขฐานสิบ
2. เลขฐานสองใดที่ตรงกับเลขทศนิยมต่อไปนี้
128; 256; 512; 1024?
3. เลขฐานสองต่อไปนี้มีค่าเท่ากับเท่าใดในระบบทศนิยม:
1000001; 10000001; 100000001; 1000000001?
4. แปลงเลขฐานสองต่อไปนี้เป็นทศนิยม:
101; 11101; 101010; 100011; 10110111011.
5. แปลงเลขทศนิยมต่อไปนี้เป็นระบบเลขฐานสอง:
2; 7; 17; 68; 315; 765; 2047.
6. ทำการบวกในระบบเลขฐานสอง:
11 + 1; 111 + 1; 1111 + 1; 11111 + 1.
7. ทำการคูณในระบบเลขฐานสอง:
111 10; 111 11; 1101 101; 1101 · 1000.

I. Semakin, L. Zalogova, S. Rusakov, L. Shestakova, วิทยาการคอมพิวเตอร์, ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9
ส่งโดยผู้อ่านจากเว็บไซต์อินเทอร์เน็ต

คำแนะนำ

หากต้องการใช้ระบบเลขฐานสอง แต่ละหลักจะต้องแสดงเป็นเลขเตตราดของเลขฐานสอง ตัวอย่างเช่น เลขฐานสิบหก 967 จะถูกแบ่งออกเป็นเตตราดดังนี้ 9 = 1001, 6 = 0110, 7 = 0111 ผลลัพธ์เลขฐานสองคือ 100101100111

หากต้องการแปลงเลขฐานสิบเป็นระบบเลขฐานสอง คุณต้องหารด้วยสองตามลำดับ แต่ละครั้งเขียนผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็มและเศษ การแบ่งจะต้องดำเนินต่อไปจนกว่าจะเหลือจำนวนเท่ากับหนึ่ง หมายเลขสุดท้ายได้มาจากการบันทึกผลลัพธ์ของดิวิชั่นสุดท้ายและผลที่เหลือของดิวิชั่นทั้งหมดตามลำดับ ลำดับย้อนกลับ- ดังตัวอย่าง รูปนี้แสดงขั้นตอนการแปลงเลขฐานสิบ 25 เป็นระบบเลขฐานสอง การหารติดต่อกันด้วยสองจะได้ลำดับเศษที่เหลือ: 10011 เมื่อหมุนกลับ เราก็ได้จำนวนที่ต้องการ

โปรดทราบ

ดังนั้นหลังจากได้รับชุดของการคูณด้วย 2 เพียงศูนย์ทางด้านขวาของแนวตั้งเราจึงเสร็จสิ้นกระบวนการแปลงเศษส่วนทศนิยมที่น้อยกว่าหนึ่งเป็นระบบเลขฐานสองและเขียนคำตอบ: มันคือ ชัดเจนว่าบ่อยครั้งเราจะพบเศษส่วนทศนิยมเริ่มต้นเมื่อคูณด้วยตัวเลข 2 ตัว การยืนทางด้านขวาของแนวตั้งจะไม่ทำให้ปรากฏเพียงศูนย์เท่านั้น

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

เรารู้วิธีแปลงตัวเลขเป็นแล้ว ระบบต่างๆการคำนวณ เรามาดูกันว่าสิ่งนี้เกิดขึ้นได้อย่างไรกับระบบเลขฐานสอง ลองแปลงตัวเลขจากระบบเลขฐานสองเป็นระบบเลขฐานสิบ ดังนั้นจึงมีการประดิษฐ์ระบบเลขฐานแปดและเลขฐานสิบหกขึ้น สะดวกเหมือนเลขทศนิยมตรงที่ต้องใช้ตัวเลขน้อยกว่าเพื่อแสดงตัวเลข และเมื่อเทียบกับเลขทศนิยมแล้ว การแปลงเป็นเลขฐานสองนั้นง่ายมาก

แหล่งที่มา:

• การแปลระบบเลขฐานสอง

ส่วนประกอบของเครื่องจักรอิเล็กทรอนิกส์ ซึ่งรวมถึงคอมพิวเตอร์ มีเพียงสองสถานะที่สามารถแยกแยะได้ คือ มีกระแส และไม่มีกระแส ถูกกำหนดให้เป็น "1" และ "0" ตามลำดับ เนื่องจากมีเพียงสองสถานะดังกล่าว กระบวนการและการดำเนินการต่างๆ ในอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์จึงสามารถอธิบายได้โดยใช้เลขฐานสอง

คำแนะนำ

หารเลขทศนิยมด้วยสองจนกว่าคุณจะได้เศษที่หารด้วยสองไม่ลงตัว ในขั้นตอนนี้ เราจะได้เศษ 1 (หากจำนวนเงินปันผลเป็นเลขคี่) หรือ 0 (หากเงินปันผลหารด้วย 2 ลงตัวโดยไม่มีเศษ) ยอดคงเหลือทั้งหมดนี้จะต้องนำมาพิจารณาด้วย ผลหารสุดท้ายที่ได้รับจากการหารแบบทีละขั้นตอนจะเป็นหนึ่งเสมอ
เราเขียนหน่วยสุดท้ายด้วยตัวเลขที่สำคัญที่สุดของเลขฐานสองที่ต้องการ และเขียนส่วนที่เหลือที่ได้รับในกระบวนการหลังจากหน่วยนี้ในลำดับย้อนกลับ ที่นี่คุณต้องระวังและไม่ข้ามเลขศูนย์
ดังนั้นตัวเลข 235 ในรหัสไบนารี่จะตรงกับหมายเลข 11101011

ทีนี้มาแปลงเศษส่วนของเลขฐานสิบให้เป็นระบบเลขฐานสองกัน ในการทำเช่นนี้ เราจะคูณเศษส่วนของตัวเลขตามลำดับด้วย 2 และแก้ไขส่วนจำนวนเต็มของตัวเลขผลลัพธ์ เราเพิ่มส่วนจำนวนเต็มเหล่านี้เข้ากับตัวเลขที่ได้รับในขั้นตอนก่อนหน้าหลังจุดไบนารี่ตามลำดับโดยตรง
จากนั้นเศษส่วนทศนิยม 235.62 จะสอดคล้องกับเศษส่วนไบนารี่ 11101011.100111

วิดีโอในหัวข้อ

โปรดทราบ

เศษส่วนไบนารี่ของตัวเลขจะถูกจำกัดก็ต่อเมื่อเศษส่วนของตัวเลขเดิมมีจำนวนจำกัดและลงท้ายด้วย 5 กรณีที่ง่ายที่สุด: 0.5 x 2 = 1 ดังนั้น 0.5 ในระบบทศนิยมคือ 0.1 ในระบบไบนารี่

แหล่งที่มา:

• การแปลงเลขฐานสิบเป็นระบบเลขฐานสอง

มีระบบตัวเลขหลายระบบ ดังนั้นจึงสามารถแสดงเลขทศนิยมที่คุ้นเคยได้เช่นเป็นการแจงนับอักขระไบนารี่ซึ่งจะเป็นการเข้ารหัสไบนารีของตัวเลข ในระบบเลขฐานแปดที่มีฐาน 8 ตัวเลขจะถูกเขียนเป็นชุดตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 7 แต่ระบบเลขฐานสิบหกหรือระบบที่มีฐาน 16 นั้นแพร่หลายมากที่สุด ในการเขียนตัวเลข ตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 9 และ ที่นี่ใช้ตัวอักษรละตินจาก A ถึง F แปลงเลขฐานสิบให้เป็นเลขฐานสิบหกโดยใช้ตารางค้นหา และจำนวนที่มากกว่า 15 ก็แปลได้ด้วยการขยายกำลังอย่างง่าย โดยทำซ้ำการดำเนินการหารด้วยฐาน 16

คำแนะนำ

เขียนเลขทศนิยมเดิมลงไป หากตัวเลขน้อยกว่าหรือเท่ากับ 15 ให้ใช้ตารางการแปลงเพื่อเขียนเป็นเลขฐานสิบหก ตัวเลขที่มากกว่า 9 จะถูกแทนที่ด้วยการกำหนดตัวอักษร ดังนั้น 10 จะถูกแทนที่ด้วยตัวอักษร A ที่มีฐานเป็น 16 และ 15 จะถูกแทนที่ด้วยตัวอักษร F

ตรวจสอบผลหารผลลัพธ์เพื่อดูว่าน้อยกว่า 16 หรือไม่ หากผลหารมากกว่าหรือเท่ากับ 16 ให้หารผลหารด้วย 16 เช่นกัน เลือกส่วนที่เหลือของการหาร หารผลลัพธ์ที่ได้ด้วย 16 เท่าที่จำเป็นสำหรับผลหารที่น้อยกว่า 16 หากผลหารน้อยกว่า 16 ให้เลือกเป็นเศษด้วย

บันทึกยอดคงเหลือผลลัพธ์โดยเริ่มจากหมายเลขสุดท้าย แทนที่เศษด้วยตัวเลขที่มากกว่า 9 โดยใช้ตารางการติดต่อกับตัวอักษรของระบบเลขฐานสิบหก สัญกรณ์ผลลัพธ์ที่ได้คือการแสดงเลขฐานสิบหกของเลขทศนิยมเดิม

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

ในทำนองเดียวกัน เมื่อใช้การหารด้วยฐาน 8 หรือ 2 คุณสามารถเขียนตัวเลขใดๆ ในรูปแบบทศนิยมในรูปแบบฐานแปดและไบนารีได้

ระบบเลขฐานสองถูกประดิษฐ์ขึ้นก่อนยุคของเรา อย่างไรก็ตาม ในปัจจุบัน ต้องขอบคุณคอมพิวเตอร์และซอฟต์แวร์รหัสไบนารี่ที่แพร่หลาย ทำให้ระบบนี้ได้รับการฟื้นฟูครั้งที่สอง เด็กนักเรียนศึกษาการแสดงตัวเลขไบนารีโดยใช้ตัวเลข 0 และ 1 เพียงสองหลักในชั้นเรียนวิทยาการคอมพิวเตอร์ มันเป็นการแสดงเลขฐานสองของตัวเลขที่คอมพิวเตอร์ทุกเครื่อง "เข้าใจ" การแปลงเป็นระบบไบนารี่จากที่อื่นมีการอธิบายโดยละเอียดโดยใช้ วิธีการที่แตกต่างกัน- วิธีที่ง่ายที่สุดคือการขยายกำลังให้เป็นฐาน 2

คำแนะนำ

หากแสดงตัวเลขเดิมด้วย ให้ใช้วิธีหารด้วยฐาน 2 ในการแปลงตัวเลข โดยหารตัวเลขด้วย 2 แล้วจดเศษที่เหลือไว้ หากการหารผลลัพธ์ออกมามากกว่าสอง ให้หารอีกครั้งด้วย 2 และเก็บเศษผลลัพธ์ไว้ด้วย

ทำซ้ำการหารต่อไปจนกว่าผลหารจะน้อยกว่า 2 หลังจากนั้น ให้จดชุดตัวเลขที่ได้รับในเศษที่เหลือและผลหารสุดท้าย โดยเริ่มจากการวนซ้ำครั้งล่าสุด รายการนี้จาก 0 และ 1 และจะเป็น การเป็นตัวแทนไบนารีหมายเลขเดิม

หากตัวเลขที่ระบุแสดงเป็นเลขฐานสิบหก ให้ใช้ตารางการแปลงเพื่อแปลงเป็นเลขฐานสอง ในนั้นตัวเลขแต่ละตัวตั้งแต่ 0 ถึง F ในระบบเลขฐานสิบหกจะตรงกันข้ามกับชุดตัวเลขสี่หลักในรหัสไบนารี่

ดังนั้นหากคุณมีบันทึกของแบบฟอร์ม: 4BE2 หากต้องการแปลคุณควรแทนที่อักขระแต่ละตัวด้วยชุดตัวเลขที่เกี่ยวข้องจากตารางการเปลี่ยน ลำดับการเขียนตัวเลขจะถูกรักษาไว้อย่างเคร่งครัด ดังนั้นหมายเลข 4 จากระบบเลขฐานสิบหกจะถูกแทนที่ด้วย 0100, B - 1011, E - 1110 และ 2 - 0010 และหมายเลขเดิม 4BE2 ในรูปแบบไบนารี่จะมีลักษณะดังนี้: 0100101111100010

วิดีโอในหัวข้อ

แหล่งที่มา:

• วิธีแปลงตัวเลข 1,000 ในระบบไตรภาคเป็นไบนารี่

การแปลงตัวเลขจากทศนิยมเป็นไบนารีด้วยตนเองต้องใช้ทักษะการหารยาว การแปลงกลับจากระบบไบนารีไปเป็นระบบทศนิยม ต้องใช้การคูณและการบวกเท่านั้น จากนั้นจึงใช้เครื่องคิดเลข

คำแนะนำ

ถัดจากหลักที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุดของเลขฐานสอง ให้เขียนเลขฐานสิบ 1 และถัดจากตำแหน่งที่สำคัญที่สุดถัดไป ให้เขียนเลขฐานสิบ 2

กดปุ่มเครื่องหมายเท่ากับบนเครื่องคิดเลขอีกครั้ง - คุณจะได้ 4 เขียนตัวเลขนี้ถัดจากหลักที่สำคัญที่สุดอันดับสาม กดปุ่มเครื่องหมายเท่ากับอีกครั้งเพื่อให้ได้ 8 เขียนเลขแปดถัดจากหลักที่สำคัญที่สุดอันดับสี่ของเลขฐานสอง ทำซ้ำการดำเนินการจนกว่าเลขฐานสองทั้งหมดจะเขียนติดกัน

พยายามจำตัวเลขเหล่านี้อย่างน้อยก็มากถึง 131072 เชื่อฉันเถอะว่าการจำเลขยกกำลัง 2 ในเล่มนี้ง่ายกว่าตารางสูตรคูณมาก ในกรณีนี้ เมื่อแปลระบบตัวเลขขนาดเล็ก คุณสามารถทำได้โดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลขในขั้นตอนนี้

แต่ในขั้นต่อไปคุณจะต้องมีเครื่องคิดเลข อย่างไรก็ตาม หากต้องการ (หรือหากครูสอนวิทยาการคอมพิวเตอร์ต้องการ) การคำนวณนี้สามารถดำเนินการในคอลัมน์ได้ รวมเฉพาะตัวเลขทศนิยมที่เขียนถัดจากตัวเลขของเลขฐานสองที่มีค่าเป็น ผลลัพธ์ของการบวกนี้จะเป็นเลขทศนิยมที่ต้องการ

เพื่อเสริมสร้างทักษะในการแปลงตัวเลขจากเลขฐานสองเป็นทศนิยมด้วยตนเอง ให้เล่นเกมการสอนที่นำเสนอ สำหรับสิ่งนี้ คุณจะต้องมีเครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์ที่สามารถเปลี่ยนเป็นไบนารี่ได้ เครื่องคิดเลขเสมือนซึ่งมีทั้ง Linux และ Windows ก็เหมาะเช่นกันหากคุณเปลี่ยนไปใช้ โหมดวิศวกรรม- ให้ผู้เล่นคนหนึ่งเดาและพิมพ์เลขทศนิยมลงบนเครื่องคิดเลข จดลงไป จากนั้นจึงเปลี่ยนเครื่องคิดเลขเป็นโหมดไบนารี่ ผู้เล่นคนที่สองซึ่งใช้เพียงเครื่องคิดเลขธรรมดา (ไม่ใช่วิศวกรรม) หรือโดยทั่วไปจะนับเฉพาะคอลัมน์เท่านั้น จะต้องแปลงตัวเลขนี้ให้เป็นระบบทศนิยม หากเขาแปลถูกต้อง ผู้เล่นจะเปลี่ยนบทบาท ถ้าเขาทำผิดก็ให้เขาลองอีกครั้ง

วิดีโอในหัวข้อ

ในระบบการนับที่เราใช้ทุกวันจะมีเลขสิบหลักตั้งแต่ศูนย์ถึงเก้า จึงเรียกว่าทศนิยม. อย่างไรก็ตาม ในการคำนวณทางเทคนิค โดยเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับคอมพิวเตอร์ ระบบอื่นๆ ก็ถูกนำมาใช้เช่นกัน โดยเฉพาะเลขฐานสองและเลขฐานสิบหก ดังนั้น คุณจะต้องสามารถแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขหนึ่งเป็นอีกระบบหนึ่งได้

คุณจะต้อง

• - กระดาษแผ่นหนึ่ง
• - ดินสอหรือปากกา
• - เครื่องคิดเลข

คำแนะนำ

ระบบไบนารี่เป็นระบบที่ง่ายที่สุด มีเพียงสองหลัก - ศูนย์และหนึ่ง แต่ละหลักของเลขฐานสองซึ่งเริ่มต้นจากจุดสิ้นสุด แทนค่ากำลังสอง สองในเท่ากับหนึ่ง ในครั้งแรก - สอง ในครั้งที่สอง - สี่ ในสาม - แปด และอื่น ๆ

สมมติว่าคุณได้รับเลขฐานสอง 1010110 หน่วยในนั้นอยู่ในอันดับที่สอง สาม ห้า และเจ็ด ดังนั้น ในระบบทศนิยม ตัวเลขนี้คือ 2^1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86

ปัญหาผกผัน - ระบบเลขทศนิยม สมมติว่าคุณมีเลข 57 หากต้องการให้ได้ คุณต้องหารตัวเลขด้วย 2 ตามลำดับแล้วเขียนเศษที่เหลือ เลขฐานสองจะถูกสร้างขึ้นตั้งแต่ต้นจนจบ
ขั้นตอนแรกจะให้เลขหลักสุดท้าย: 57/2 = 28 (เหลือ 1)
จากนั้นคุณจะได้อันที่สองจากจุดสิ้นสุด: 28/2 = 14 (เหลือ 0)
ขั้นตอนเพิ่มเติม: 14/2 = 7 (ส่วนที่เหลือ 0);
7/2 = 3 (ส่วนที่เหลือ 1);
3/2 = 1 (ส่วนที่เหลือ 1);
1/2 = 0 (ส่วนที่เหลือ 1)
นี่เป็นขั้นตอนสุดท้ายเพราะผลการหารเป็นศูนย์ ผลลัพธ์ที่ได้คือเลขฐานสอง 111001
ตรวจสอบคำตอบของคุณ: 111001 = 2^0 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 1 + 8 + 16 + 32 = 57

ประการที่สองที่ใช้ในเรื่องคอมพิวเตอร์คือเลขฐานสิบหก ไม่ใช่สิบแต่มีสิบหกหลัก เพื่อไม่ให้สร้างแบบแผนใหม่ ตัวเลขสิบตัวแรกของระบบเลขฐานสิบหกจะถูกระบุด้วยตัวเลขธรรมดาและอีกหกหลักที่เหลือ - ด้วยตัวอักษรละติน: A, B, C, D, E, F. ในรูปแบบทศนิยมจะสอดคล้องกับ ตัวเลขตั้งแต่ 10 ถึง 15 เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนก่อนตัวเลข เขียนเป็นเลขฐานสิบหก ให้ใช้เครื่องหมาย # หรือสัญลักษณ์ 0x

เราพบระบบเลขฐานสองเมื่อศึกษาสาขาวิชาคอมพิวเตอร์ ท้ายที่สุดแล้วมันก็อยู่บนพื้นฐานของระบบนี้ที่ตัวประมวลผลและการเข้ารหัสบางประเภทถูกสร้างขึ้น มีอัลกอริธึมพิเศษสำหรับการเขียนเลขทศนิยมในระบบไบนารี่และในทางกลับกัน ถ้ารู้หลักการสร้างระบบแล้วจะดำเนินการได้ไม่ยาก

หลักการสร้างระบบศูนย์และศูนย์

ระบบเลขฐานสองถูกสร้างขึ้นโดยใช้ตัวเลขสองหลัก: ศูนย์และหนึ่ง ทำไมต้องเป็นตัวเลขเฉพาะเหล่านี้? นี่เป็นเพราะหลักการสร้างสัญญาณที่ใช้ในโปรเซสเซอร์ ที่ระดับต่ำสุด สัญญาณจะใช้เพียงสองค่าเท่านั้น: เท็จและจริง ดังนั้นจึงเป็นเรื่องปกติที่จะระบุว่าไม่มีสัญญาณ "เท็จ" เป็นศูนย์ และการมีอยู่ของสัญญาณ "จริง" โดยหนึ่งสัญญาณ ชุดค่าผสมนี้ง่ายต่อการนำไปใช้ในทางเทคนิค ตัวเลขในระบบไบนารี่มีรูปแบบเดียวกับในระบบทศนิยม เมื่อตัวเลขถึงขีดจำกัดบน ตัวเลขนั้นจะถูกรีเซ็ตเป็นศูนย์และเพิ่มตัวเลขใหม่ หลักการนี้ใช้เพื่อเลื่อนผ่านเลขสิบในระบบทศนิยม ดังนั้น ตัวเลขจึงประกอบด้วยเลขศูนย์และเลขผสมกัน และการรวมกันนี้เรียกว่า "ระบบเลขฐานสอง"

การบันทึกตัวเลขในระบบ
เป็นทศนิยม	ในไบนารี่	เป็นทศนิยม	ในไบนารี่

จะเขียนเลขฐานสองเป็นเลขทศนิยมได้อย่างไร?

มีบริการออนไลน์ที่แปลงตัวเลขเป็นไบนารี่และในทางกลับกัน แต่จะดีกว่าถ้าคุณทำได้ด้วยตัวเอง เมื่อแปลแล้ว ระบบไบนารีจะแสดงด้วยตัวห้อย 2 เช่น 101 2 แต่ละตัวเลขในระบบใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของตัวเลขได้ เช่น 1428 = 1,000 + 400 + 20 + 8 - ในระบบทศนิยม ตัวเลขยังแสดงเป็นเลขฐานสองด้วย ลองใช้หมายเลข 101 ตามใจชอบแล้วพิจารณาดู มีตัวเลข 3 หลัก ดังนั้นเราจึงจัดเรียงตัวเลขตามลำดับดังนี้ 101 2 =1×2 2 +0×2 1 +1×2 0 =4+1=5 10 โดยที่ดัชนี 10 แสดงถึงระบบทศนิยม

จะเขียนจำนวนเฉพาะในรูปแบบไบนารี่ได้อย่างไร?

การแปลงเป็นระบบเลขฐานสองทำได้ง่ายมากโดยการหารตัวเลขด้วยสอง จำเป็นต้องแบ่งจนทำให้สมบูรณ์ได้ ตัวอย่างเช่น เอาเลข 871 มาเริ่มหาร โดยจดส่วนที่เหลือไว้:

871:2=435 (เหลือ 1)

435:2=217 (เหลือ 1)

217:2=108 (เหลือ 1)

คำตอบถูกเขียนตามผลลัพธ์ที่เหลือในทิศทางตั้งแต่ต้นจนจบ: 871 10 =101100111 2. คุณสามารถตรวจสอบความถูกต้องของการคำนวณได้โดยใช้ โอนย้อนกลับดังที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้

ทำไมคุณต้องรู้กฎการแปล?

ระบบเลขฐานสองถูกใช้ในสาขาวิชาส่วนใหญ่ที่เกี่ยวข้องกับอิเล็กทรอนิกส์ของไมโครโปรเซสเซอร์ การเข้ารหัส การส่งข้อมูลและการเข้ารหัส และในด้านต่างๆ ของการเขียนโปรแกรม ความรู้พื้นฐานของการแปลจากระบบใด ๆ ไปเป็นไบนารี่จะช่วยให้โปรแกรมเมอร์พัฒนาวงจรไมโครต่างๆและควบคุมการทำงานของโปรเซสเซอร์และระบบอื่นที่คล้ายคลึงกัน โดยทางโปรแกรม- ระบบเลขฐานสองยังจำเป็นสำหรับการใช้วิธีการส่งแพ็กเก็ตข้อมูลผ่านช่องทางที่เข้ารหัส และสร้างโครงการซอฟต์แวร์ไคลเอนต์-เซิร์ฟเวอร์ตามแพ็กเก็ตเหล่านั้น ในหลักสูตรวิทยาการคอมพิวเตอร์ของโรงเรียน พื้นฐานของการแปลงเป็นระบบไบนารีและในทางกลับกันเป็นเนื้อหาพื้นฐานสำหรับการศึกษาการเขียนโปรแกรมในอนาคตและการสร้างโปรแกรมง่ายๆ

บุบโนวา เอลิซาเวต้า

บทคัดย่อในหัวข้อ “การประยุกต์ใช้ระบบเลขฐานสอง” (หนังสือแห่งการเปลี่ยนแปลง รหัสมอร์ส บาร์โค้ด และเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์)

ดาวน์โหลด:

ดูตัวอย่าง:

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์

การใช้ระบบเลขฐานสองแบบใหม่

สมบูรณ์:

นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 8

โรงเรียนหมายเลข 111

บุบโนวา เอลิซาเวต้า

หัวหน้างาน:

Ivanova Yu.N.

ครูคณิตศาสตร์

บาร์นาอูล - 2013

1. บทนำ…………………………………………………………………….3
2. แนวคิดของระบบจำนวน………………………………………………...4
3. ระบบเลขฐานสอง…………………………………..….7
4. การประยุกต์ระบบเลขฐานสอง……………………………..…..8
5. สรุป…………………………………………………………………………………..12
6. การอ้างอิง……………………………………………………….13

การแนะนำ

หัวข้อ “ระบบจำนวน” เกี่ยวข้องโดยตรงกับทฤษฎีจำนวนทางคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม ตามกฎแล้วจะไม่ได้รับการศึกษาในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน ความจำเป็นในการศึกษาหัวข้อนี้ในหลักสูตรวิทยาการคอมพิวเตอร์เกี่ยวข้องกับความจริงที่ว่าตัวเลขในหน่วยความจำคอมพิวเตอร์ถูกแสดงในระบบเลขฐานสองและสำหรับการเป็นตัวแทนภายนอกของเนื้อหาหน่วยความจำและที่อยู่หน่วยความจำจะใช้ระบบเลขฐานสิบหกหรือฐานแปด เนื่องจากอยู่ติดกับคณิตศาสตร์ หัวข้อนี้มีส่วนช่วยในการศึกษาขั้นพื้นฐานของโรงเรียนคณิตศาสตร์ระบบตัวเลขต่างๆ ถูกนำมาใช้เมื่อใดก็ตามที่จำเป็นต้องคำนวณตัวเลข ตั้งแต่การคำนวณด้วยดินสอบนกระดาษของนักเรียนชั้นประถมศึกษาไปจนถึงการคำนวณที่ดำเนินการบนซูเปอร์คอมพิวเตอร์ โครงร่างของงานและอธิบายอย่างสนุกสนานอย่างหนึ่ง ระบบยอดนิยมตัวเลข - ไบนารี่และแอปพลิเคชันทั้งเก่าและใหม่ ทั้งตลกและจริงจังวัตถุประสงค์ของการศึกษา– ระบบตัวเลข ชข้อได้เปรียบหลักของระบบไบนารี่คือความเรียบง่ายของอัลกอริทึมสำหรับการบวก การลบ การคูณ และการหารการศึกษาระบบเลขฐานสองที่ใช้ในคอมพิวเตอร์ เป็นสิ่งสำคัญสำหรับการทำความเข้าใจวิธีการประมวลผลข้อมูลตัวเลขในคอมพิวเตอร์ ดังนั้นหัวข้อนี้จึงมีความเกี่ยวข้อง

หัวข้อการวิจัยเป็น ระบบเลขฐานสอง

วัตถุประสงค์ของการศึกษาคือ - การพิจารณาการประยุกต์ใช้ระบบเลขฐานสองในชีวิต

วัตถุประสงค์การวิจัย:

1. พิจารณาแนวคิดของระบบจำนวนและประเภทของระบบตัวเลข
2. ศึกษาระบบเลขฐานสองเน้นข้อดีของมัน
3. พิจารณาการใช้ระบบเลขฐานสองในชีวิตมนุษย์และในเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์

วิธีการวิจัย:

1. การวิเคราะห์และการสังเคราะห์
2. การเปรียบเทียบ.

แนวคิดของระบบจำนวน

แนวคิดเรื่อง "ตัวเลข" เป็นกุญแจสำคัญสำหรับทั้งคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ ผู้คนนับและจดตัวเลขมาโดยตลอด แม้กระทั่งเมื่อ 5 พันปีก่อนด้วยซ้ำ แต่เขียนตามกฎที่แตกต่างกัน แม้ว่าในกรณีใด ๆ ตัวเลขจะปรากฎโดยใช้สัญลักษณ์ใด ๆ หรือหลายตัวซึ่งเรียกว่าตัวเลข

ภาษาของตัวเลขก็มีตัวอักษรของตัวเองเหมือนกัน ในภาษาของตัวเลขที่เรามักใช้ ตัวอักษรประกอบด้วยตัวเลข 10 หลัก ตั้งแต่ 0 ถึง 9 นี่คือระบบเลขทศนิยม

ระบบตัวเลขเราจะเรียกวิธีการแสดงตัวเลขด้วยสัญลักษณ์ของตัวอักษรบางตัวที่เรียกว่าตัวเลข

ระบบตัวเลขแบ่งออกเป็นกลุ่มต่างๆ:

ต้นกำเนิดทางกายวิภาค: งทศนิยม, quinary, เลขฐานสอง, ทศนิยม.

ตามตัวอักษร: d Revne-Armenian, จอร์เจียโบราณ, กรีกโบราณ, อิออน, สลาฟ

เครื่อง:d ทหาร, ฐานแปด, เลขฐานสิบหก

อื่นๆ : ป Imsky, Babylonian, เลขอียิปต์, เลขจีนและอื่น ๆ

นอกจากนี้ยังมีระบบเลขตำแหน่งและไม่ใช่ตำแหน่งด้วย.

ระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่งในระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่ง ค่าของตัวเลขถูกกำหนดเป็นผลรวมหรือผลต่างของตัวเลขในตัวเลข เป็นการยากที่จะนับในระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่ง ชาวกรีกโบราณสร้างเรขาคณิตที่เราเรียนในโรงเรียนในปัจจุบันและพิสูจน์ทฤษฎีบทที่สำคัญของทฤษฎีจำนวน แต่พวกเขาไม่รู้ว่าจะนับอย่างไร

ตัวอย่าง ระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่ง:

1. ผู้คนจำนวนมากใช้ระบบที่ตัวอักษรประกอบด้วยสัญลักษณ์เดียว - แท่งไม้ ในการแทนตัวเลขในระบบนี้ คุณต้องเขียนแท่งไม้ชุดหนึ่งให้เท่ากับจำนวนที่กำหนด: ||||| - หมายเลขห้า

2. ชาวอียิปต์ใช้อักษรอียิปต์โบราณในการเขียนตัวเลข หน่วยนี้แสดงด้วยแถบแนวตั้งหนึ่งแถบ และเพื่อแสดงถึงตัวเลขที่เล็กกว่า 10 จำเป็นต้องใส่จังหวะแนวตั้งตามจำนวนที่เหมาะสม หากจำเป็นต้องแสดงหลายจังหวะ ให้รวมเป็นกลุ่มละสามหรือสี่จังหวะและวาดเป็นหลายแถว และส่วนล่างควรมีจำนวนจังหวะเท่ากันกับจังหวะบนหรือมากกว่าหนึ่งเส้น

เพื่อระบุตัวเลข 10 ซึ่งเป็นรากฐานของระบบ ชาวอียิปต์แทนที่จะใช้เส้นแนวตั้งสิบเส้นได้แนะนำสัญลักษณ์รวมใหม่ ซึ่งชวนให้นึกถึงโครงร่างของเกือกม้าหรือธนูโครเก้

หากคุณต้องการพรรณนาหลายสิบภาพอักษรอียิปต์โบราณจะถูกทำซ้ำตามจำนวนที่ต้องการ เช่นเดียวกับอักษรอียิปต์โบราณอื่น ๆ

ชุดสัญลักษณ์เกือกม้าสิบอัน ได้แก่ ตัวเลข 100 พวกเขาแทนที่ด้วยสัญลักษณ์ใหม่อีกอันที่ดูเหมือนบ่วง บ่วงสิบอันเช่น ตัวเลข 1 000 ชาวอียิปต์กำหนดไว้ด้วยรูปดอกบัวเก๋ๆ ต่อไปในแนวทางเดียวกัน ชาวอียิปต์กำหนดดอกบัวสิบดอกด้วยนิ้วงอ นิ้วงอสิบนิ้วเป็นเส้นหยัก และเส้นหยักสิบเส้นมีรูปคนประหลาดใจ ผลก็คือ ชาวอียิปต์โบราณสามารถเป็นตัวแทนของตัวเลขได้มากถึงหนึ่งล้านคน

		1 000	10 000	100 000	1 000 000	10 000 000

รูปที่ 3 ระบบตัวเลขอียิปต์

ตัวอย่างที่พบบ่อยที่สุดของระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่งคือระบบเลขโรมัน

รูปที่ 4 ระบบเลขโรมัน

ระบบตัวเลขตำแหน่งระบบตัวเลขตำแหน่งคือระบบตัวเลขซึ่งค่าที่แสดงด้วยตัวเลขในรูปแบบตัวเลขจะขึ้นอยู่กับตำแหน่ง

นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสปิแอร์ ไซมอน ลาปลาซ(พ.ศ. 2292-2370) ประเมิน “การค้นพบ” ของระบบตัวเลขตำแหน่งด้วยคำเหล่านี้: “แนวคิดในการแสดงตัวเลขทั้งหมดด้วยเครื่องหมายไม่กี่ตัว ให้นอกเหนือจากความหมายในรูปแบบแล้วยังมีความหมายในสถานที่ด้วย เรียบง่ายที่แท้จริงแล้วเพราะความเรียบง่ายนี้ จึงเป็นการยากที่จะประเมินว่าเธอน่าทึ่งเพียงใด”

ระบบแรกที่เรารู้จักตามหลักการตำแหน่งคือระบบ sexagesimal ของชาวบาบิโลน เอ็นเช่น หมายเลข 59 ในระบบนี้เขียนไว้ดังนี้:

เหล่านั้น. 59 = 5 10 + 9.

ตัวเลขเขียนในระบบเลขตำแหน่งดังนี้ ชุดตัวเลขที่ใช้เขียนตัวเลขในรูปแบบระบบเลขตำแหน่งตัวอักษร เรียกว่าจำนวนหลักที่ใช้พื้นฐาน ระบบตัวเลข ตำแหน่งของแต่ละหลักในตัวเลข- ตำแหน่ง. สาระสำคัญของการแสดงตำแหน่งของตัวเลขนั้นสะท้อนให้เห็นในรูปแบบการขยายของการเขียนตัวเลข

ฐาน(n)	ชื่อ	ตัวอักษร
	ไบนารี่	0, 1
	ประกอบไปด้วย	0, 1, 2
	ห้าเท่า	0, 1, 2, 3, 4
	ฐานแปด	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
n=10	ทศนิยม	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
n=16	เลขฐานสิบหก	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ก, บี, ซี, ดี, อี, เอฟ

ข้อได้เปรียบหลักของข้อใดข้อหนึ่ง ระบบหมายเลขตำแหน่ง– ความง่ายในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และสัญลักษณ์จำนวนจำกัดที่จำเป็นสำหรับการเขียนตัวเลขใดๆ

ระบบเลขฐานสอง

ระบบเลขฐานสอง- ระบบตัวเลขที่สร้างขึ้นบนหลักการวางตำแหน่งของการเขียนตัวเลขโดยใช้อักขระเพียงสองตัวคือตัวเลข 0 และ 1 ข้อได้เปรียบหลักของระบบไบนารี่คือความเรียบง่ายของอัลกอริทึมสำหรับการบวก ลบ คูณหาร ตารางสูตรคูณในนั้นไม่จำเป็นต้องจำอะไรเลย: ท้ายที่สุดแล้วตัวเลขใด ๆ ที่คูณด้วยศูนย์จะเท่ากับศูนย์และการคูณด้วยหนึ่งจะเท่ากับตัวมันเอง และในขณะเดียวกัน ก็ไม่มีการโอนไปยังหลักถัดไป และยังมีอยู่แม้ในระบบที่ประกอบด้วยสามส่วน ตารางการหารจะลดลงเหลือ 2 เท่าคือ 0/1 = 0, 1/1 = 1 ทำให้การหารด้วยคอลัมน์ของเลขฐานสองหลายหลักง่ายกว่าในระบบทศนิยมมาก และจะลดค่าลงเป็นการลบซ้ำ

น่าแปลกที่ตารางบวกนั้นซับซ้อนกว่าเล็กน้อย เนื่องจาก 1+1 = 10 และมีการยกยอดไปยังหลักถัดไป โดยทั่วไป การดำเนินการบวกตัวเลขหนึ่งบิตสามารถเขียนได้เป็น x+y = 2w+v โดยที่ w, v คือบิตของผลลัพธ์ เมื่อดูตารางบวกอย่างใกล้ชิด คุณจะสังเกตเห็นว่าบิตพกพา w เป็นเพียงผลคูณของ xy เพราะมันเท่ากับ 1 ก็ต่อเมื่อ x และ y เท่ากับ 1 เท่านั้น แต่บิต v เท่ากับ x + y ยกเว้นกรณี x = y = 1 เมื่อมันไม่เท่ากับ 2 แต่เป็น 0 การดำเนินการที่บิต v คำนวณจากบิต x y เรียกว่าแตกต่างออกไป เราจะใช้ชื่อ “ส่วนเพิ่มเติมโมดูโล 2” และสัญลักษณ์ของมัน ดังนั้นการเพิ่มบิตจึงไม่ได้ดำเนินการในการดำเนินการเดียว แต่เป็นการดำเนินการสองครั้ง

หากเราเพิกเฉยรายละเอียดทางเทคนิคแสดงว่าการดำเนินการทั้งหมดในคอมพิวเตอร์ดำเนินการด้วยความช่วยเหลือของการดำเนินการเหล่านี้

ในการเพิ่มตัวเลขหนึ่งบิต พวกเขามักจะสร้างองค์ประกอบลอจิคัลพิเศษด้วยสองอินพุต x, y และเอาต์พุตสองตัว w, v ราวกับว่าประกอบด้วยองค์ประกอบการคูณ (มักเรียกว่าการร่วมเพื่อไม่ให้ สับสนกับการคูณตัวเลขหลายหลัก) และการบวกองค์ประกอบโมดูโล 2 องค์ประกอบนี้มักเรียกว่าบวกครึ่ง

การประยุกต์ระบบเลขฐานสอง

1. “หนังสือแห่งการเปลี่ยนแปลง”

ระบบไบนารี่เป็นที่รู้จักในจีนโบราณ หนังสือคลาสสิก "I Ching" ("หนังสือแห่งการเปลี่ยนแปลง") มีสิ่งที่เรียกว่า "Fu-hsi hexagrams" ซึ่งเล่มแรกมีลักษณะดังนี้และอันสุดท้าย (ที่ 64) คือ วิวและพวกมันจะอยู่ในวงกลมและมีหมายเลขตามระบบไบนารี่ทุกประการ (เส้นทึบและเส้นประสอดคล้องกับศูนย์และเส้น) ชาวจีนไม่ขี้เกียจเกินไปที่จะสร้างอักษรอียิปต์โบราณและชื่อพิเศษสำหรับไดอะแกรมเหล่านี้ (ตัวอย่างเช่นอันแรกเรียกว่า "คุน" และอันสุดท้ายคือ "เฉียน" เส้นทึบสอดคล้องกับหลักการของหยางของผู้ชาย และเส้นขาด - ตามหลักการหยินของผู้หญิง)

รูปหกเหลี่ยมแต่ละอันประกอบด้วยสองไตรแกรม (บนและล่าง) ซึ่งยังสอดคล้องกับอักษรอียิปต์โบราณและชื่อบางอย่างด้วย ตัวอย่างเช่น ตรีแกรมของเส้นทึบสามเส้นสัมพันธ์กับรูปภาพแอตทริบิวต์ “ท้องฟ้า ความคิดสร้างสรรค์” และไตรแกรมของเส้นทึบสามเส้นสัมพันธ์กับรูปภาพแอตทริบิวต์ “โลก ความยืดหยุ่น การเปิดกว้าง”

2. รหัสมอร์ส

ซามูเอล มอร์สเป็นผู้ประดิษฐ์ตัวอักษร แต่ความสำเร็จที่สำคัญที่สุดของเขาคือการประดิษฐ์โทรเลข (และเขาต้องใช้รหัสมอร์สเพื่อใช้โทรเลข) จุดและเส้นประกลายเป็นสัญลักษณ์พื้นฐานที่สุดที่โทรเลขของเขาสามารถส่งได้ สอดคล้องกับพัลส์สั้นและยาว กระแสไฟฟ้าถูกส่งผ่านสายโทรเลข ความยาวพัลส์ถูกกำหนดโดยการกดมือของผู้ดำเนินการโทรเลขบนปุ่มโทรเลข รับสัญญาณโดยรีเลย์ซึ่งหลังจากชีพจรปัจจุบันปรากฏขึ้นให้เปิดแม่เหล็กไฟฟ้าซึ่งบังคับให้ค้อนกระแทกหรือกดวงล้อด้วยริบบิ้นหมึกเข้ากับเทปกระดาษซึ่งมีจุดหรือ มีการพิมพ์เส้นประ ขึ้นอยู่กับความยาวของพัลส์

รหัสมอร์สกำหนดลำดับจุดและขีดกลางให้กับตัวอักษรแต่ละตัว เป็นเรื่องปกติมากที่สุดที่จะใช้ลำดับความยาว 6 ดังกล่าวมีเพียง 64 รายการและเพียงพอสำหรับตัวอักษรรัสเซีย แต่มอร์สเข้าใจว่าควรลดความยาวของข้อความให้มากที่สุดจึงตัดสินใจใช้ลำดับความยาวไม่เกิน 4 มีเพียง 2 + 4 + 8 + 16 = 30 ในตัวอักษรรัสเซียเขา จะต้องไม่ใช้ตัวอักษร “e” และ “e” และระบุสัญญาณอ่อนและแข็ง นอกจากนี้ เขายังแนะนำว่าควรให้รหัสที่สั้นที่สุดแก่ตัวอักษรที่ใช้บ่อยที่สุดเพื่อลดความยาวเฉลี่ยของข้อความที่ส่ง

3. บาร์โค้ด

ตัวอย่างของการใช้การเข้ารหัสแบบไบนารีในเทคโนโลยีสมัยใหม่คือบาร์โค้ด ในซูเปอร์มาร์เก็ต คุณสามารถดูบาร์โค้ดบนบรรจุภัณฑ์ของผลิตภัณฑ์ได้ มีไว้เพื่ออะไรและจะอ่านได้อย่างไร?

จำเป็นสำหรับการป้อนข้อมูลโดยอัตโนมัติเท่านั้น เครื่องบันทึกเงินสด- บาร์โค้ดประกอบด้วยแถบสีดำสามสิบแถบที่มีความหนาต่างกัน โดยคั่นด้วยช่วงและความหนาต่างกันด้วย ความหนาของแถบสามารถรับค่าได้สี่ค่าตั้งแต่บางที่สุดไปจนถึงหนาที่สุด ช่องว่างอาจมีความหนาเท่ากัน เมื่อรูดบาร์โค้ดผ่านเครื่องสแกน บาร์โค้ดจะรับรู้แถบสีดำแต่ละแถบเป็นลำดับหน่วยความยาวตั้งแต่ 1 ถึง 4 และยังรับรู้ช่องว่างระหว่างแถบนั้นด้วย แต่เครื่องสแกนจะมองเห็นช่องว่างแทนแถบเหล่านั้น เครื่องสแกนรับรู้บาร์โค้ดทั้งหมดเป็นลำดับ 95 หลัก 0 หรือ 1 (เรียกกันมานานแล้วว่าบิต) รหัสนี้มีอะไรบ้าง? มันเข้ารหัสตัวเลขทศนิยม 13 บิต ซึ่งเขียนไว้อย่างเปิดเผยใต้บาร์โค้ด หากเครื่องสแกนไม่สามารถจดจำบาร์โค้ดได้ แคชเชียร์จะป้อนหมายเลขนี้ลงในเครื่องด้วยตนเอง จำเป็นต้องใช้บาร์โค้ดเพื่ออำนวยความสะดวกในการจดจำรูปภาพโดยเครื่องสแกนเท่านั้น เฉพาะโปรแกรมการจดจำที่ซับซ้อนบนคอมพิวเตอร์สากลเท่านั้นที่สามารถจดจำตัวเลขซึ่งถูกพลิกไปด้านข้างและถึงแม้จะไม่น่าเชื่อถือมากนักและไม่ใช่เครื่องบันทึกเงินสด

รูปที่ 5. การถอดรหัสบาร์โค้ด

ตัวเลข 13 หลักนี้มีข้อมูลอะไรบ้าง? คำถามนี้ไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ ตัวเลขสองตัวแรกระบุประเทศต้นกำเนิดของผลิตภัณฑ์ ตัวเลขห้าหลักถัดไปคือรหัสของผู้ผลิต และห้าหลักถัดไปคือรหัสของผลิตภัณฑ์ในการเข้ารหัสที่ผู้ผลิตรายนี้นำมาใช้ ตัวเลขสุดท้ายคือรหัสยืนยัน โดยคำนวณจากตัวเลข 12 หลักก่อนหน้าไม่ซ้ำกัน ดังนี้ คุณต้องบวกตัวเลขทั้งหมดที่มีเลขคี่ เพิ่มผลรวมสามเท่า เพิ่มผลรวมของตัวเลขที่เหลือ และลบผลลัพธ์ที่ได้ออกจากผลคูณที่ใกล้ที่สุดของ 10

4. เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์และเทคโนโลยีสารสนเทศ

ระบบทศนิยมที่เราคุ้นเคยกลับกลายเป็นว่าไม่สะดวกสำหรับคอมพิวเตอร์ หากในอุปกรณ์คอมพิวเตอร์เชิงกลที่ใช้ระบบทศนิยมก็เพียงพอที่จะใช้องค์ประกอบที่มีหลายสถานะ (ล้อที่มีเก้าฟัน) ดังนั้นในเครื่องอิเล็กทรอนิกส์ก็จำเป็นต้องมีศักยภาพที่แตกต่างกัน 10 แบบในวงจร วิธีที่ง่ายที่สุดในการปรับใช้องค์ประกอบคือการใช้สองสถานะ - ทริกเกอร์ ดังนั้นการเปลี่ยนไปใช้ระบบไบนารี่จึงเป็นไปตามธรรมชาติ ในระบบนี้มีเพียงสองหลัก - 0 และ 1 แต่ละหลักเรียกว่าเลขฐานสอง (จากเลขฐานสองภาษาอังกฤษ - เลขฐานสอง) คำย่อจากนิพจน์นี้ทำให้เกิดคำว่า bit ซึ่งกลายเป็นชื่อของเลขฐานสอง

บิตคือหน่วยข้อมูลขั้นต่ำ (0 มินิ) บิตตามด้วยไบต์ ประกอบด้วยแปดบิต จากนั้นหนึ่งกิโลไบต์ (kbyte) - 1024 ไบต์ เมกะไบต์ (MB) - 1024 kbytes กิกะไบต์ (GB) - 1024 MB

คอมพิวเตอร์ใช้การเข้ารหัสแบบไบนารีเพื่อแสดงข้อมูล เนื่องจากสามารถสร้างการทำงานที่เชื่อถือได้ได้ อุปกรณ์ทางเทคนิคซึ่งสามารถจัดเก็บและจดจำสถานะ (ตัวเลข) ที่แตกต่างกันได้ไม่เกินสองสถานะด้วยความน่าเชื่อถืออย่างแท้จริง ข้อมูลทุกประเภทในคอมพิวเตอร์ได้รับการเข้ารหัสในภาษาเครื่อง ในรูปแบบของลำดับตรรกะของศูนย์และลำดับ

จำนวนเต็มในคอมพิวเตอร์จะถูกจัดเก็บไว้ในเซลล์หน่วยความจำ ในกรณีนี้ แต่ละหลักของเซลล์หน่วยความจำจะตรงกับตัวเลขหลักเดียวกันเสมอ

ในการจัดเก็บจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ลบ จะมีการจัดสรรเซลล์หน่วยความจำหนึ่งเซลล์ที่ประกอบด้วยแปดบิต

ตั้งแต่ช่วงปลายทศวรรษที่ 60 คอมพิวเตอร์ถูกนำมาใช้ในการประมวลผลมากขึ้น ข้อมูลข้อความและปัจจุบันคอมพิวเตอร์ส่วนใหญ่ในโลกมีส่วนร่วมในการประมวลผลข้อมูลข้อความ

ตามเนื้อผ้า ในการเข้ารหัสอักขระหนึ่งตัว จะใช้ข้อมูลจำนวนเท่ากับ 1 ไบต์ ซึ่งก็คือ 8 บิต หากเราพิจารณาสัญลักษณ์เป็นเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ เราจะพบว่าจำนวนสัญลักษณ์ต่างๆ ที่สามารถเข้ารหัสได้จะเท่ากับ 256 สัญลักษณ์จำนวนนี้ค่อนข้างเพียงพอที่จะแสดงข้อมูลข้อความ รวมถึงตัวอักษรตัวพิมพ์ใหญ่และตัวพิมพ์เล็กของตัวอักษรรัสเซียและละติน เช่นเดียวกับตัวเลขและเครื่องหมายวรรคตอนและการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ สัญลักษณ์กราฟิก และอื่นๆ แต่มีหลายวิธีในการสร้างโค้ดดังกล่าว ลองพิจารณาวิธีใดวิธีหนึ่ง:

การเข้ารหัสไบนารีที่ไม่สม่ำเสมอตามตัวอักษร

ด้วยวิธีการเข้ารหัสแบบตัวอักษร อักขระของตัวอักษรหลักบางตัว (เช่น ภาษารัสเซีย) จะถูกเข้ารหัสโดยการรวมกันของอักขระของตัวอักษรไบนารี (เช่น 0 และ 1) และความยาวของรหัส และตามระยะเวลาของการส่ง ของรหัสแยกต่างหากอาจแตกต่างกันไป การเข้ารหัสสามารถปรับให้เหมาะสมโดยใช้ระยะเวลาข้อความทั้งหมด ระยะเวลารวมของข้อความจะน้อยลงหากเราใช้วิธีการต่อไปนี้: ตัวอักษรของตัวอักษรหลักที่เกิดขึ้นบ่อยกว่า จากนั้นเราจะกำหนดรหัสให้มีความยาวสั้นกว่า ดังนั้น รหัสตัวอักษรที่มีความน่าจะเป็นที่จะปรากฏในข้อความสูงกว่าจึงควรสร้างจากสัญญาณพื้นฐานจำนวนน้อยที่สุดที่เป็นไปได้

มีตัวเลือกการเข้ารหัสไบนารี่ที่หลากหลาย แต่สิ่งสำคัญคือข้อความที่เข้ารหัสสามารถถอดรหัสได้อย่างชัดเจน, เหล่านั้น. ดังนั้นตามลำดับ 0 และ 1 ซึ่งเป็นข้อความที่เข้ารหัสหลายตัวอักษร การกำหนดตัวอักษรแต่ละตัวสามารถแยกแยะได้เสมอ

ลองดูตัวอย่างการสร้างรหัสไบนารี่สำหรับอักขระตัวอักษรรัสเซีย:

บทสรุป

ในงานนี้พวกเรา

1. พิจารณาแนวคิดของระบบจำนวน ระบุประเภทของระบบ
2. ตรวจสอบระบบเลขฐานสอง
3. เน้นการประยุกต์ใช้ระบบเลขฐานสองในชีวิตมนุษย์

ระบบเลขฐานสองใช้งานง่าย เห็นได้จากการใช้งานที่หลากหลาย งานนี้ไม่ครอบคลุมถึงการประยุกต์ใช้ระบบเลขฐานสองทุกด้านและสามารถทำงานต่อในด้านนี้ได้

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้แล้ว

1. สื่อบันเทิงเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ เกรด 7 – 8 / เรียบเรียงโดย Galaeva E.A. – โวลโกกราด: สำนักพิมพ์และการค้าขาย “Corypheus”, 2549 – 80 น.

2. ระบบจำนวนและการประยุกต์ (ซีรี่ส์: "ห้องสมุด "การศึกษาคณิตศาสตร์") / Gashkov S.B. – มอสโก: สำนักพิมพ์ของศูนย์มอสโกเพื่อการศึกษาคณิตศาสตร์ต่อเนื่อง, 2547 – 52 หน้า, ป่วย

3. สาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์ พ.ศ. 2544 – 2550 โรงเรียนทางไกล โรงเรียนอินเทอร์เน็ต "Prosveshcheniye.ru"

4. พจนานุกรมชีวประวัติของตัวเลขในสาขาคณิตศาสตร์ / Borodin A.I., Bugai A.S. – เคียฟ: “โรงเรียน Radyanska”, 1979

5. ระบบตัวเลข – ฉบับที่ 5. / โฟมิน เอส.วี. - มอสโก: "วิทยาศาสตร์" กองบรรณาธิการหลักของวรรณกรรมเชิงฟิสิกส์และคณิตศาสตร์, 1987. – 48 น. – (การบรรยายยอดนิยมเกี่ยวกับคณิตศาสตร์)