วิธีแก้นิพจน์เชิงตรรกะมักจะเขียนอยู่ในรูปแบบ ตารางความจริง – ตารางที่การกระทำแสดงค่าที่นิพจน์เชิงตรรกะใช้สำหรับชุดตัวแปรที่เป็นไปได้ทั้งหมด

เมื่อสร้างตารางความจริงสำหรับนิพจน์เชิงตรรกะ จำเป็นต้องคำนึงถึงด้วย ลำดับการดำเนินการของการดำเนินการเชิงตรรกะ กล่าวคือ:

1. การกระทำในวงเล็บ
2. การผกผัน (ปฏิเสธ)
3. & (คำสันธาน),
4. วี(การแยกทาง)
5. => (ความหมาย),
6. <=> (ความเท่าเทียมกัน ).

อัลกอริทึมสำหรับการสร้างตารางความจริง :

1. ค้นหาจำนวนแถวในตาราง (คำนวณเป็น 2 n โดยที่ n – จำนวนตัวแปร + แถวของส่วนหัวคอลัมน์)

2. ค้นหาจำนวนคอลัมน์ (คำนวณเป็นจำนวนตัวแปร + จำนวนการดำเนินการเชิงตรรกะ)

3. สร้างลำดับของการดำเนินการเชิงตรรกะ

4. สร้างตารางโดยระบุชื่อของคอลัมน์และชุดค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรลอจิคัลดั้งเดิม

5. กรอกตารางความจริงทีละคอลัมน์

6. เขียนคำตอบ

ตัวอย่างที่ 6 มาสร้างตารางความจริงสำหรับนิพจน์กันF =(จาก B )&( ¬ ก โวลต์¬ บี) . 1. จำนวนแถว=2 2 (2 ตัวแปร+แถวส่วนหัวคอลัมน์)=5 2. จำนวนคอลัมน์ = ตัวแปรเชิงตรรกะ 2 ตัว (A, B) + การดำเนินการเชิงตรรกะ 5 ตัว (โวลต์,&, ¬ , โวลต์, ¬ ) = 7. 3. มาจัดลำดับการดำเนินการกัน: 1 5 2 43 (ก โวลต์ข ) & ( ¬ ก โวลต์¬ ข) 4-5. มาสร้างตารางและเติมลงในคอลัมน์: ก โวลต์ใน ¬ ก ¬ ใน ¬ ก โวลต์¬ ใน (ก โวลต์ข )&( ¬ ก โวลต์¬ ข) 0 0 0 1 1 0 6. คำตอบ: F =0 โดยที่ A= B=0 และ ก= ข=1 ตัวอย่างที่ 7 มาสร้างตารางความจริงสำหรับนิพจน์เชิงตรรกะกัน ฟ=เอ็กซ์ โวลต์ใช่& ¬ ซี. 1. จำนวนแถว=2 3 +1=(3 ตัวแปร+แถวส่วนหัวของคอลัมน์)=9 2. จำนวนคอลัมน์ = 3 ตัวแปรเชิงตรรกะ + 3 การดำเนินการเชิงตรรกะ = 6 3. ให้เราระบุลำดับของการกระทำ: 3 2 1 เอ็กซ์ โวลต์ใช่& ¬ ซี 4-5.สร้างm ตารางแล้วกรอกลงในคอลัมน์: ¬ ซี ใช่& ¬ ซี เอ็กซ์ โวลต์ใช่& ¬ ซี 0 0 0 0 0 0 1 0 6. คำตอบ: F =0, ณ X= Y= Z= 0; ที่ X= Y=0 และ ซี= 1.

แบบฝึกหัดที่ 8

สร้างตารางความจริงสำหรับนิพจน์เชิงตรรกะต่อไปนี้

1. F =(จาก B )&( ¬ เอ& ¬ ข)

2. F = X& ¬ ย โวลต์ซี.

ทดสอบตัวเอง (คำตอบมาตรฐาน)

ใส่ใจ!

เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด ขอแนะนำให้แสดงรายการชุดตัวแปรอินพุตดังต่อไปนี้:

A) แบ่งคอลัมน์ของค่าของตัวแปรแรกออกเป็นครึ่งหนึ่งแล้วเติมส่วนบนของคอลัมน์ด้วยศูนย์และส่วนล่างด้วยค่า

B) แบ่งคอลัมน์ของค่าของตัวแปรที่สองออกเป็นสี่ส่วนและเติมแต่ละไตรมาสด้วยกลุ่มศูนย์และกลุ่มสลับกันโดยเริ่มจากกลุ่มศูนย์

C) แบ่งคอลัมน์ของค่าของตัวแปรที่ตามมาต่อไปด้วย 8, 16 เป็นต้น และเติมกลุ่มของศูนย์หรือกลุ่มจนกระทั่งกลุ่มของศูนย์และกลุ่มประกอบด้วยอักขระตัวเดียว

การพูดซ้ำซาก - สูตรจริงเหมือนกัน จริง " ("1

ความขัดแย้ง - สูตรเท็จเหมือนกัน หรือสูตรรับค่า " โกหก " ("0 ") สำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้น

สูตรที่เทียบเท่า - สองสูตร กและ ในเจ้าภาพ ค่าเดียวกันโดยมีชุดค่าที่เหมือนกันของตัวแปรรวมอยู่ในนั้นความเท่าเทียมกันของสูตรพีชคณิตเชิงตรรกะสองสูตรจะแสดงด้วยสัญลักษณ์

คำจำกัดความ 1

ฟังก์ชันลอจิก– ฟังก์ชันที่ตัวแปรรับค่าใดค่าหนึ่งจากสองค่า: $1$ หรือ $0$

สามารถระบุฟังก์ชันลอจิคัลใด ๆ ได้โดยใช้ตารางความจริง: ชุดของอาร์กิวเมนต์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะถูกเขียนที่ด้านซ้ายของตารางและค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันลอจิคัลจะถูกเขียนทางด้านขวา

คำจำกัดความ 2

ตารางความจริง– ตารางที่แสดงค่าที่นิพจน์ผสมจะใช้สำหรับชุดค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของนิพจน์แบบง่ายที่รวมอยู่ในนั้น

คำจำกัดความ 3

เทียบเท่าเรียกว่านิพจน์เชิงตรรกะซึ่งมีคอลัมน์สุดท้ายของตารางความจริงตรงกัน ความเท่าเทียมกันจะแสดงโดยใช้เครื่องหมาย $«=»$

เมื่อรวบรวมตารางความจริง สิ่งสำคัญคือต้องพิจารณาลำดับการดำเนินการเชิงตรรกะดังต่อไปนี้:

รูปที่ 1.

วงเล็บมีความสำคัญเหนือกว่าในการดำเนินการตามลำดับการดำเนินการ

อัลกอริทึมสำหรับการสร้างตารางความจริงของฟังก์ชันลอจิคัล

กำหนดจำนวนบรรทัด: จำนวนบรรทัด= $2^n + 1$ (สำหรับบรรทัดชื่อเรื่อง), $n$ – จำนวนนิพจน์อย่างง่าย ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว จะมีชุดค่าตัวแปร $2^2 = 4$ รวมกัน สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรทั้งสามจะมี $2^3 = 8$ เป็นต้น

กำหนดจำนวนคอลัมน์: จำนวนคอลัมน์ = จำนวนตัวแปร + จำนวนการดำเนินการเชิงตรรกะเมื่อพิจารณาจำนวนการดำเนินการเชิงตรรกะ ลำดับของการดำเนินการจะถูกนำมาพิจารณาด้วย

เติมคอลัมน์ด้วยผลลัพธ์ของการดำเนินการเชิงตรรกะในลำดับที่แน่นอน โดยคำนึงถึงตารางความจริงของการดำเนินการเชิงตรรกะขั้นพื้นฐาน

รูปที่ 2.

ตัวอย่างที่ 1

สร้างตารางความจริงสำหรับนิพจน์เชิงตรรกะ $D=\bar(A) \vee (B \vee C)$

สารละลาย:

กำหนดจำนวนบรรทัด:

จำนวนบรรทัด = $2^3 + 1=9$

จำนวนตัวแปร – $3$

1. ผกผัน ($\bar(A)$);
2. การแยกทางเพราะว่า อยู่ในวงเล็บ ($B \vee C$);

3. disjunction ($\overline(A)\vee \left(B\vee C\right)$) คือนิพจน์เชิงตรรกะที่ต้องการ

   จำนวนคอลัมน์ = $3 + 3=6$.

มากรอกตารางโดยคำนึงถึงตารางความจริงของการดำเนินการเชิงตรรกะ

รูปที่ 3.

ตัวอย่างที่ 2

ใช้นิพจน์เชิงตรรกะนี้สร้างตารางความจริง:

สารละลาย:

กำหนดจำนวนบรรทัด:

จำนวนนิพจน์อย่างง่ายคือ $n=3$ ซึ่งหมายถึง

จำนวนบรรทัด = $2^3 + 1=9$.

กำหนดจำนวนคอลัมน์:

จำนวนตัวแปร – $3$

จำนวนการดำเนินการเชิงตรรกะและลำดับ:

1. การปฏิเสธ ($\bar(C)$);
2. การแยกทางเพราะว่า มันอยู่ในวงเล็บ ($A \vee B$);
3. ร่วม ($(A\vee B)\bigwedge \overline(C)$);
4. การปฏิเสธ ซึ่งเราแสดงด้วย $F_1$ ($\overline((A\vee B)\bigwedge \overline(C))$);
5. การแยกทาง ($A \vee C$);
6. ร่วม ($(A\vee C)\bigwedge B$);
7. การปฏิเสธ ซึ่งเราแสดงด้วย $F_2$ ($\overline((A\vee C)\bigwedge B)$);

8. การแยกออกจากกันเป็นฟังก์ชันลอจิคัลที่ต้องการ ($\overline((A\vee B)\bigwedge \overline(C))\vee \overline((A\vee C)\bigwedge B)$)

เราเรียนรู้ที่จะเขียนนิพจน์เชิงตรรกะจากข้อความ กำหนดแนวคิดของ "ตารางความจริง" ศึกษาลำดับการดำเนินการในการสร้างตารางความจริง เรียนรู้ที่จะค้นหาความหมายของนิพจน์เชิงตรรกะโดยการสร้างตารางความจริง

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

1. ทางการศึกษา:
   1. เรียนรู้การสร้างนิพจน์เชิงตรรกะจากข้อความสั่ง
   2. แนะนำแนวคิด “ตารางความจริง”
   3. ศึกษาลำดับการดำเนินการเพื่อสร้างตารางความจริง
   4. เรียนรู้การค้นหาความหมายของสำนวนเชิงตรรกะโดยการสร้างตารางความจริง
   5. แนะนำแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันของนิพจน์เชิงตรรกะ
   6. เรียนรู้การพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของนิพจน์เชิงตรรกะโดยใช้ตารางความจริง
   7. เสริมสร้างทักษะในการค้นหาค่าของนิพจน์เชิงตรรกะโดยการสร้างตารางความจริง
2. ทางการศึกษา:
   1. พัฒนาความคิดเชิงตรรกะ
   2. พัฒนาความสนใจ
   3. พัฒนาความจำ
   4. พัฒนาคำพูดของนักเรียน
3. ทางการศึกษา:
   1. พัฒนาความสามารถในการฟังครูและเพื่อนร่วมชั้น
   2. ปลูกฝังความแม่นยำในการจดบันทึก
   3. ปลูกฝังวินัย

ความคืบหน้าของบทเรียน

ช่วงเวลาขององค์กร

สวัสดีทุกคน. เรายังคงศึกษาพื้นฐานของตรรกะต่อไป และหัวข้อของบทเรียนของเราในวันนี้คือ "การเขียนนิพจน์เชิงตรรกะ ตารางความจริง” มีการศึกษา หัวข้อนี้คุณจะได้เรียนรู้ว่ารูปแบบเชิงตรรกะถูกสร้างขึ้นจากข้อความอย่างไร และวิธีระบุความจริงโดยการสร้างตารางความจริง

ตรวจการบ้าน

เขียนวิธีแก้ไขปัญหาการบ้านไว้บนกระดาน
คนอื่นๆ เปิดสมุดบันทึกของคุณ ฉันจะเข้าไปดูว่าคุณทำการบ้านเป็นอย่างไรบ้าง
ลองทำการดำเนินการเชิงตรรกะอีกครั้ง
ในกรณีใดข้อความประสมจะเป็นจริงอันเป็นผลมาจากการดำเนินการคูณเชิงตรรกะ?
คำสั่งผสมที่เกิดขึ้นจากการดำเนินการคูณเชิงตรรกะจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อข้อความธรรมดาทั้งหมดที่รวมอยู่ในนั้นเป็นจริง
ในกรณีใดคำสั่งผสมจะเป็นเท็จอันเป็นผลมาจากการดำเนินการบวกเชิงตรรกะ?
คำสั่งผสมที่เกิดขึ้นจากการดำเนินการของการบวกเชิงตรรกะจะเป็นเท็จ หากข้อความธรรมดาทั้งหมดที่รวมอยู่ในนั้นเป็นเท็จ
การผกผันส่งผลต่อคำสั่งอย่างไร?
การผกผันทำให้ข้อความจริงเป็นเท็จ และในทางกลับกัน ข้อความที่เป็นเท็จจะเป็นจริง
คุณจะพูดอะไรเกี่ยวกับความหมายโดยนัย?
ผลลัพธ์เชิงตรรกะ (นัย) เกิดขึ้นจากการรวมสองประโยคให้เป็นหนึ่งเดียวโดยใช้อุปมาอุปไมย "ถ้า..., แล้ว..."
กำหนด ก-> ใน
ข้อความประสมที่เกิดขึ้นโดยใช้การดำเนินการของผลลัพธ์เชิงตรรกะ (โดยนัย) จะเป็นเท็จ ถ้าหากข้อสรุปที่เป็นเท็จ (ข้อความที่สอง) ตามมาจากหลักฐานที่แท้จริง (ข้อความแรก)
คุณจะพูดอะไรเกี่ยวกับการดำเนินการสมมูลเชิงตรรกะได้บ้าง?
ความเสมอภาคเชิงตรรกะ (ความเท่าเทียมกัน) เกิดขึ้นจากการรวมสองประโยคให้เป็นหนึ่งเดียวโดยใช้อุปมาอุปไมย "... ถ้าและถ้าเท่านั้น...", "... ในนั้นและในกรณีนั้นเท่านั้น..."
ข้อความประสมที่เกิดจากการดำเนินการเชิงตรรกะของการเทียบเท่าจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อข้อความทั้งสองเป็นเท็จหรือจริงพร้อมกัน

คำอธิบายของวัสดุใหม่

เอาล่ะ เราได้ตรวจสอบเนื้อหาที่ครอบคลุมแล้ว มาดูหัวข้อใหม่กันดีกว่า

ในบทที่แล้ว เราพบค่าของคำสั่งผสมโดยการแทนที่ค่าเดิมของตัวแปรลอจิคัลที่เข้ามา และวันนี้เราจะเรียนรู้ว่ามันเป็นไปได้ที่จะสร้างตารางความจริงที่กำหนดความจริงหรือความเท็จของการแสดงออกเชิงตรรกะสำหรับการรวมกันของค่าเริ่มต้นของคำสั่งง่ายๆ (ตัวแปรเชิงตรรกะ) ที่เป็นไปได้ทั้งหมดและเราสามารถกำหนดค่าได้ ​​ของตัวแปรลอจิคัลดั้งเดิม โดยรู้ว่าเราต้องการผลลัพธ์อะไร

ลองดูตัวอย่างของเราจากบทเรียนที่แล้วอีกครั้ง

และสร้างตารางความจริงสำหรับข้อความประสมนี้

เมื่อสร้างตารางความจริง จะมีลำดับของการกระทำที่แน่นอน มาเขียนมันลงไปกันดีกว่า

1. จำเป็นต้องกำหนดจำนวนแถวในตารางความจริง

• จำนวนบรรทัด = 2 n โดยที่ n คือจำนวนตัวแปรลอจิคัล

จำเป็นต้องกำหนดจำนวนคอลัมน์ในตารางความจริง ซึ่งเท่ากับจำนวนตัวแปรเชิงตรรกะบวกจำนวนการดำเนินการเชิงตรรกะ

จำเป็นต้องสร้างตารางความจริงโดยมีจำนวนแถวและคอลัมน์ที่ระบุป้อนชื่อของคอลัมน์ในตารางตามลำดับของการดำเนินการเชิงตรรกะโดยคำนึงถึงวงเล็บและลำดับความสำคัญ

เติมคอลัมน์ตัวแปรอินพุตด้วยชุดค่า

กรอกตารางความจริงทีละคอลัมน์ ดำเนินการเชิงตรรกะตามลำดับที่กำหนดไว้

บันทึกแล้ว การสร้างตารางความจริง
เราจะทำอย่างไรก่อน?
กำหนดจำนวนคอลัมน์ในตาราง
เราจะทำเช่นนี้ได้อย่างไร?
เรานับจำนวนตัวแปร ในกรณีของเรา ฟังก์ชันลอจิคัล ประกอบด้วย 2 ตัวแปร
ที่?
เอ และ บี
แล้วตารางจะมีกี่แถว?
จำนวนแถวในตารางความจริงต้องเป็น 4
เกิดอะไรขึ้นถ้ามี 3 ตัวแปร?
จำนวนบรรทัด = 2³ = 8
ขวา. เราจะทำอย่างไรต่อไป?
เรากำหนดจำนวนคอลัมน์ = จำนวนตัวแปรเชิงตรรกะบวกจำนวนการดำเนินการเชิงตรรกะ
ในกรณีเราจะได้เท่าไหร่?
ในกรณีของเรา จำนวนตัวแปรคือ 2 และจำนวนการดำเนินการเชิงตรรกะคือ 5 นั่นคือจำนวนคอลัมน์ในตารางความจริงคือ 7
ดี. ไกลออกไป?
เราสร้างตารางโดยมีจำนวนแถวและคอลัมน์ที่ระบุ กำหนดคอลัมน์และป้อนชุดค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรลอจิคัลดั้งเดิมลงในตาราง และกรอกตารางความจริงทีละคอลัมน์
เราจะดำเนินการใดก่อน? เพียงคำนึงถึงวงเล็บและลำดับความสำคัญ
คุณสามารถทำการปฏิเสธเชิงตรรกะก่อน หรือหาค่าในวงเล็บแรกก่อน จากนั้นจึงหาค่าผกผันและค่าในวงเล็บที่สอง จากนั้นจึงหาค่าระหว่างวงเล็บเหล่านั้น

					┐Аv┐В	(AvB)&(┐Av┐B)

ตอนนี้เราสามารถกำหนดค่าของฟังก์ชันลอจิคัลสำหรับชุดของค่าตัวแปรลอจิคัลใดๆ ได้แล้ว
ตอนนี้เขียนรายการ "นิพจน์เชิงตรรกะที่เทียบเท่า"
นิพจน์เชิงตรรกะที่มีการเรียกคอลัมน์สุดท้ายของตารางความจริงตรงกัน เทียบเท่า.เพื่อแสดงถึงนิพจน์เชิงตรรกะที่เทียบเท่า ให้ใช้เครื่องหมาย "="
ให้เราพิสูจน์ว่านิพจน์เชิงตรรกะ ┐ A& ┐ B และ AvB เทียบเท่ากัน ขั้นแรกเรามาสร้างตารางความจริงสำหรับนิพจน์เชิงตรรกะกันก่อน

ตารางจะมีกี่คอลัมน์? 5
เราจะดำเนินการใดก่อน? การผกผัน A, การผกผัน B

				┐เอ&┐บี

ตอนนี้เรามาสร้างตารางความจริงสำหรับนิพจน์เชิงตรรกะ AvB กันดีกว่า
ตารางจะมีกี่แถว? 4
ตารางจะมีกี่คอลัมน์? 4

เราทุกคนเข้าใจว่าถ้าเราจำเป็นต้องค้นหาการปฏิเสธสำหรับนิพจน์ทั้งหมด ในกรณีของเรา ลำดับความสำคัญจะเป็นของการแยกจากกัน ดังนั้นเราจึงดำเนินการแยกส่วนก่อนแล้วจึงกลับด้าน นอกจากนี้ เราสามารถเขียนนิพจน์บูลีน AvB ของเราใหม่ได้ เพราะ เราจำเป็นต้องค้นหาการปฏิเสธของนิพจน์ทั้งหมด ไม่ใช่ตัวแปรแต่ละตัว จากนั้นจึงสามารถนำการผกผันออกจากวงเล็บ ┐(AvB) ได้ และเรารู้ว่าก่อนอื่นเราจะหาค่าในวงเล็บ

			┐(เอวีบี)

เราสร้างตาราง ทีนี้ลองเปรียบเทียบค่าในคอลัมน์สุดท้ายของตารางความจริงเพราะว่า มันคือคอลัมน์สุดท้ายที่เป็นผลลัพธ์ พวกมันตรงกัน ดังนั้น นิพจน์เชิงตรรกะจึงเทียบเท่ากัน และเราสามารถใส่เครื่องหมาย "=" ไว้ระหว่างพวกมันได้

การแก้ปัญหา

1.

สูตรนี้มีตัวแปรกี่ตัว? 3
ตารางจะมีกี่แถวและคอลัมน์? 8 และ 8
ลำดับการดำเนินการในตัวอย่างของเราจะเป็นเช่นไร? (การผกผัน การดำเนินการในวงเล็บ การดำเนินการนอกวงเล็บ)

					บีวี┐บี (1)	(1) =>┐ค	Av(Bv┐B=>┐C)

2. ใช้ตารางความจริงพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของนิพจน์เชิงตรรกะต่อไปนี้:

(A → B) และ (Av┐B)

เราจะได้ข้อสรุปอะไร? นิพจน์เชิงตรรกะเหล่านี้ไม่เท่ากัน

การบ้าน

พิสูจน์โดยใช้ตารางความจริงที่เป็นนิพจน์เชิงตรรกะ

┐A v ┐B และ A&B เทียบเท่ากัน

คำอธิบายเนื้อหาใหม่ (ต่อ)

เราใช้แนวคิดเรื่อง "ตารางความจริง" มาหลายบทเรียนติดต่อกัน และ ตารางความจริงคืออะไร,คุณคิดอย่างไร?
ตารางความจริงคือตารางที่สร้างความสัมพันธ์ระหว่างชุดค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรลอจิคัลและค่าฟังก์ชัน
คุณทำการบ้านอย่างไร ข้อสรุปของคุณเป็นอย่างไร?
การแสดงออกจะเทียบเท่ากัน
โปรดจำไว้ว่า ในบทเรียนที่แล้ว เราได้สร้างสูตรจากคำสั่งผสม โดยแทนที่คำสั่งง่ายๆ 2*2=4 และ 2*2=5 ด้วยตัวแปร A และ B
ตอนนี้เรามาเรียนรู้วิธีสร้างนิพจน์เชิงตรรกะจากคำสั่งต่างๆ กัน

เขียนงาน

เขียนข้อความต่อไปนี้ในรูปแบบของสูตรตรรกะ:

1) ถ้า Ivanov แข็งแรงและร่ำรวยแสดงว่าเขาแข็งแรง

มาวิเคราะห์คำกล่าวกัน การระบุข้อความง่ายๆ

เอ – อีวานอฟมีสุขภาพดี
B – Ivanov รวย

โอเค แล้วสูตรจะออกมาเป็นอย่างไร? อย่าลืมใส่วงเล็บไว้ในสูตรเพื่อไม่ให้ความหมายของข้อความหายไป

2) จำนวนนับจะเป็นจำนวนเฉพาะหากหารด้วย 1 และตัวมันเองเท่านั้น

A - ตัวเลขหารด้วย 1 เท่านั้น
B - จำนวนที่หารด้วยตัวมันเองเท่านั้น
C - จำนวนเป็นจำนวนเฉพาะ

3) ถ้าตัวเลขหารด้วย 4 ลงตัว ก็จะหารด้วย 2 ลงตัว

เอ - หารด้วย 4 ลงตัว
B - หารด้วย 2 ลงตัว

4) จำนวนใดๆ จะหารด้วย 2 ลงตัวหรือหารด้วย 3 ลงตัวก็ได้

เอ - หารด้วย 2 ลงตัว
B - หารด้วย 3 ลงตัว

5) นักกีฬาจะถูกตัดสิทธิ์หากประพฤติตัวไม่ถูกต้องต่อคู่ต่อสู้หรือผู้ตัดสิน และหากเขาใช้ "สารต้องห้าม"

A - นักกีฬาอาจถูกตัดสิทธิ์
B - ประพฤติตนไม่ถูกต้องต่อคู่ต่อสู้
C - ประพฤติตนไม่ถูกต้องต่อผู้พิพากษา
D - ใช้ยาสลบ

การแก้ปัญหา

1. สร้างตารางความจริงสำหรับสูตร

((p&q)→ (p→ r)) v p

ลองอธิบายว่าจะมีกี่แถวและคอลัมน์ในตาราง? (8 และ 7) ลำดับการดำเนินการจะเป็นอย่างไร และเพราะเหตุใด?

					(พี&คิว)→ (พี→ ร)	((p&q)→ (p→ r)) v p

เราดูที่คอลัมน์สุดท้ายและสรุปว่าสำหรับชุดพารามิเตอร์อินพุตใดๆ สูตรจะใช้ค่าที่แท้จริง มาเขียนคำจำกัดความ:

สูตรเรียกว่ากฎแห่งตรรกะหรือซ้ำซากหากใช้ค่า "จริง" ที่เหมือนกันสำหรับชุดค่าใด ๆ ของตัวแปรที่รวมอยู่ในสูตรนี้
และถ้าค่าทั้งหมดเป็นเท็จ คุณคิดว่าจะพูดอะไรเกี่ยวกับสูตรดังกล่าวได้?
เราบอกได้เลยว่าสูตรนี้เป็นไปไม่ได้

2. เขียนข้อความต่อไปนี้ในรูปของสูตรตรรกะ:

ฝ่ายบริหารท่าเรือออกคำสั่งดังต่อไปนี้:

1. หากกัปตันเรือได้รับคำสั่งพิเศษ เขาจะต้องออกจากท่าเรือบนเรือของเขา
2. หากนายเรือไม่ได้รับคำสั่งเป็นพิเศษ ห้ามมิให้ออกจากท่าเรือ มิฉะนั้น จะเสียสิทธิ์เข้าเมืองท่านั้นต่อไป
3. กัปตันไม่สามารถเข้าถึงท่าเรือนี้ได้หรือไม่ได้รับคำแนะนำพิเศษ

เราระบุข้อความที่เรียบง่ายและสร้างสูตร

• เอ - กัปตันได้รับคำแนะนำพิเศษ
• B - ออกจากท่าเรือ
• C - กีดกันการเข้าถึงพอร์ต

1. ┐A→(┐B กับ C)
2. C v ┐A

3. เขียนประโยคประสม “(2*2=4 และ 3*3 = 9) หรือ (2*2≠4 และ 3*3≠9)” ในรูปแบบของนิพจน์เชิงตรรกะ สร้างตารางความจริง

ก=(2*2=4) ข=(3*3 = 9)

(เอแอนด์บี) กับ (┐A&┐B)

					┐เอ&┐บี	(เอแอนด์บี) กับ (┐A&┐B)

การบ้าน

เลือกข้อความประสมที่มีตารางความจริงเหมือนกันกับไม่ใช่ (ไม่ใช่ A และไม่ใช่ (B และ C))

1. เอแอนด์บี หรือ ซีแอนด์เอ;
2. (A หรือ B) และ (A หรือ C);
3. เอ และ (B หรือ C);
4. A หรือ (ไม่ใช่ B หรือ C)

ฟังก์ชันลอจิกเป็นฟังก์ชันที่ตัวแปรรับค่าเพียงสองค่าเท่านั้น คือ ค่าตรรกะหนึ่งหรือค่าศูนย์เชิงตรรกะ ความจริงหรือเท็จของข้อเสนอที่ซับซ้อนเป็นหน้าที่ของความจริงหรือเท็จของข้อเสนอที่เรียบง่าย ฟังก์ชันนี้เรียกว่าฟังก์ชันการตัดสินแบบบูลีน f (a, b)

ฟังก์ชั่นลอจิคัลใด ๆ สามารถระบุได้โดยใช้ตารางความจริงทางด้านซ้ายซึ่งมีการเขียนชุดอาร์กิวเมนต์และทางด้านขวา - ค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันลอจิคัล

เมื่อสร้างตารางความจริง จำเป็นต้องคำนึงถึงลำดับการดำเนินการเชิงตรรกะด้วย การดำเนินการในนิพจน์เชิงตรรกะจะดำเนินการจากซ้ายไปขวาโดยคำนึงถึงวงเล็บตามลำดับต่อไปนี้:

• 1. การผกผัน;
• 2. ร่วม;
• 3. การแยกทาง;
• 4. นัยและความเท่าเทียมกัน

หากต้องการเปลี่ยนลำดับการดำเนินการทางลอจิคัลที่ระบุ ให้ใช้วงเล็บ

ขอเสนอดังนี้ อัลกอริธึมการสร้างตารางความจริง.

• 1. กำหนด จำนวนชุดตัวแปรอินพุต- การรวมค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรที่รวมอยู่ในนิพจน์ตามสูตร: ถาม=2 nโดยที่ n คือจำนวนตัวแปรอินพุต เป็นตัวกำหนดจำนวนแถวในตาราง
• 2. ป้อนตัวแปรอินพุตทุกชุดลงในตาราง
• 3. กำหนดจำนวนการดำเนินการเชิงตรรกะและลำดับการดำเนินการ
• 4. กรอกคอลัมน์ด้วยผลลัพธ์ของการดำเนินการเชิงตรรกะตามลำดับที่ระบุ

เพื่อไม่ให้เกิดซ้ำหรือพลาดค่าผสมที่เป็นไปได้ของตัวแปรอินพุต คุณควรใช้วิธีใดวิธีหนึ่งที่แนะนำด้านล่างนี้ในการกรอกตาราง

วิธีที่ 1 แต่ละชุดของค่าของตัวแปรเดิมจะมีรหัสตัวเลขอยู่ ระบบไบนารี่สัญกรณ์และจำนวนหลักของตัวเลขจะเท่ากับจำนวนตัวแปรอินพุต ชุดแรกคือเลข 0 เมื่อบวก 1 เข้ากับตัวเลขปัจจุบันในแต่ละครั้ง เราก็จะได้ชุดถัดไป ชุดสุดท้าย - ค่าสูงสุด เลขฐานสองสำหรับความยาวโค้ดที่กำหนด

ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชันของตัวแปร 3 ตัว ลำดับของเซตจะประกอบด้วยตัวเลข:

วิธีที่ 2 สำหรับฟังก์ชันที่มีตัวแปร 3 ตัว ลำดับข้อมูลสามารถรับได้ดังนี้

• ก) แบ่งคอลัมน์ของค่าของตัวแปรแรกออกเป็นครึ่งหนึ่งแล้วเติมครึ่งบนด้วยศูนย์ ครึ่งล่างด้วยค่า
• b) ในคอลัมน์ถัดไปสำหรับตัวแปรที่สอง ให้แบ่งครึ่งอีกครั้งแล้วเติมกลุ่มของศูนย์และกลุ่ม เติมอีกครึ่งหนึ่งด้วยวิธีเดียวกัน
• c) ทำสิ่งนี้จนกระทั่งกลุ่มของศูนย์และกลุ่มประกอบด้วยอักขระตัวเดียว

วิธีที่ 3 ใช้ตารางความจริงที่ทราบสำหรับข้อโต้แย้งทั้งสองข้อ เมื่อเพิ่มอาร์กิวเมนต์ที่สาม ขั้นแรกให้เขียน 4 แถวแรกของตาราง รวมกับค่าของอาร์กิวเมนต์ที่สามเท่ากับ 0 แล้วจึงเขียน 4 แถวเดียวกันอีกครั้ง แต่ตอนนี้มีค่าของอาร์กิวเมนต์ที่สามเท่ากับ 1 ดังนั้นตารางสำหรับอาร์กิวเมนต์สามรายการจะมี 8 บรรทัด:

ตัวอย่างเช่น เรามาสร้างตารางความจริงสำหรับฟังก์ชันลอจิคัลกันดีกว่า:

จำนวนตัวแปรอินพุตในนิพจน์ที่กำหนดคือสาม (ก,ข,ค)- ซึ่งหมายความว่าจำนวนชุดอินพุต ถาม=2 3 =8 .

คอลัมน์ของตารางความจริงสอดคล้องกับค่าของนิพจน์ดั้งเดิม เอ บี ซี, ผลลัพธ์ระดับกลาง และ ( บีวี ค) รวมถึงค่าสุดท้ายที่ต้องการของนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน:

• 0 0 0 1 0 0
• 0 0 1 1 1 1
• 0 1 0 1 1 1
• 0 1 1 1 1 1
• 1 0 0 0 0 0
• 1 0 1 0 1 0
• 1 1 0 0 1 0
• 1 1 1 0 1 0
• 7.4. ฟังก์ชันลอจิกและการแปลง กฎแห่งตรรกะ

สำหรับการดำเนินการร่วม การแตกแยก และการผกผัน กฎของพีชคณิตแบบบูลถูกกำหนดไว้ อนุญาต การแปลงนิพจน์เชิงตรรกะที่เหมือนกัน (เทียบเท่า).

กฎแห่งตรรกะ

• 1. ฌ.เอ
• 2. เอแอนด์บี
• 3.เอวีบี
• 4. เอแอนด์(บีแอนด์ซี)
• 5.AV(บีวีซี)
• 6. เอ&(บีวีซี)
• 7.AV(บีแอนด์ซี)
• 8. เอแอนด์เอ
• 9.เอวา
• 10. เอวาซ่า
• 11. เอ&เอ
• 12. เอแอนด์ไอ
• 13. เอวีไอ
• 14. เอแอนด์แอล
• 15. เอวีแอล
• 16.€(เอแอนด์บี)
• 17.€(เอวีบี)
• 18. ก => บี

ตามกฎหมาย เป็นไปได้ที่จะลดความซับซ้อนของนิพจน์เชิงตรรกะที่ซับซ้อน กระบวนการแทนที่ฟังก์ชันลอจิคัลที่ซับซ้อนด้วยฟังก์ชันที่ง่ายกว่าแต่เทียบเท่ากันนี้เรียกว่าฟังก์ชันย่อเล็กสุด

ตัวอย่างที่ 1 ลดความซับซ้อนของนิพจน์เพื่อให้สูตรผลลัพธ์ไม่มีการปฏิเสธของคำสั่งที่ซับซ้อน

สารละลาย

ตัวอย่างที่ 2 ลดขนาดฟังก์ชัน

เพื่อให้การแสดงออกง่ายขึ้น จึงใช้สูตรการดูดซับและการยึดเกาะ

ตัวอย่างที่ 3 ค้นหาคำปฏิเสธของข้อความต่อไปนี้: “ หากบทเรียนน่าสนใจ ไม่มีนักเรียนคนใด (Misha, Vika, Sveta) จะมองออกไปนอกหน้าต่าง”

สารละลาย

ให้เราแสดงข้อความ:

ย- “ บทเรียนนี้น่าสนใจ”;

ม- “ มิชามองออกไปนอกหน้าต่าง”;

บี- “ วิก้ามองออกไปนอกหน้าต่าง”;

ค- “Sveta มองออกไปนอกหน้าต่าง”

เมื่อทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น จะใช้สูตรสำหรับการแทนที่การดำเนินการและกฎของ De Morgan

ตัวอย่างที่ 4 ระบุผู้มีส่วนร่วมในอาชญากรรมตามสถานที่สองแห่ง: โต๊ะคอมพิวเตอร์แบบลอจิคัล

• 1) “ หาก Ivanov ไม่ได้เข้าร่วมหรือ Petrov เข้าร่วม Sidorov ก็เข้าร่วม”;
• 2) “ ถ้า Ivanov ไม่เข้าร่วม Sidorov ก็ไม่เข้าร่วม”

สารละลาย

มาสร้างนิพจน์กันดีกว่า:

ฉัน- “ Ivanov มีส่วนร่วมในการก่ออาชญากรรม”;

ป- "เปตรอฟมีส่วนร่วมในการก่ออาชญากรรม";

ส- "Sidorov มีส่วนร่วมในการก่ออาชญากรรม"

มาเขียนสถานที่ในรูปแบบของสูตร:

ลองตรวจสอบผลลัพธ์โดยใช้ตารางความจริง:

คำตอบ: Ivanov มีส่วนร่วมในการก่ออาชญากรรม

การสร้างฟังก์ชันลอจิคัลจากตารางความจริง

เราเรียนรู้วิธีสร้างตารางความจริงสำหรับฟังก์ชันลอจิคัล ลองแก้ปัญหาผกผันกัน

พิจารณาแถวที่ค่าความจริงของฟังก์ชัน Z เป็นจริง (Z=1) ฟังก์ชันสำหรับตารางความจริงนี้สามารถเขียนได้ดังนี้: Z(X,Y) = (ฌ X& ฌY)V(X& ฌY)

แต่ละบรรทัดที่ฟังก์ชันเป็นจริง (เท่ากับ 1) สอดคล้องกับวงเล็บที่แสดงถึงการรวมอาร์กิวเมนต์ และหากค่าของอาร์กิวเมนต์เป็น O เราก็จะถือว่ามันเป็นการปฏิเสธ วงเล็บทั้งหมดเชื่อมต่อถึงกันโดยการดำเนินการแยกส่วน สูตรผลลัพธ์สามารถทำให้ง่ายขึ้นโดยใช้กฎแห่งตรรกะ:

ซี(X,วาย)<=>(('X& 'Y) VX)&(('X&Y)V 'Y)<=>(XV(‚X& ¢Y)) &(‚YV(‚X&¢Y))<=>((XVฌX)&(XV ฌY))&((YฌV ฌX)&(ฌYV ฌY))<=>(1&(XV ฌY))&((ฌYV ฌX)& ฌY)<=>(XV ñY)&((‚YV ‚X)& ‚Y)

ตรวจสอบสูตรผลลัพธ์: สร้างตารางความจริงสำหรับฟังก์ชัน Z(X,Y)

เขียนกฎสำหรับการสร้างฟังก์ชันลอจิคัลโดยใช้ตารางความจริง:

• 1. เลือกแถวเหล่านั้นในตารางความจริงซึ่งค่าฟังก์ชันเท่ากับ 1
• 2. เขียนสูตรที่ต้องการในรูปแบบของการแยกองค์ประกอบทางตรรกะหลายอย่าง จำนวนองค์ประกอบเหล่านี้เท่ากับจำนวนบรรทัดที่เลือก
• 3. เขียนแต่ละองค์ประกอบเชิงตรรกะในการแยกส่วนนี้โดยการเชื่อมอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน
• 4. หากค่าของอาร์กิวเมนต์ฟังก์ชันใด ๆ ในแถวที่สอดคล้องกันของตารางคือ 0 เราจะถือว่าอาร์กิวเมนต์นี้มีการปฏิเสธ

การสร้างตารางความจริงสำหรับข้อความที่ซับซ้อน

ลำดับความสำคัญของการดำเนินการเชิงตรรกะ

1) การผกผัน 2) การรวม 3) การแตกแยก 4) ความหมายและความเท่าเทียมกัน

จะสร้างตารางความจริงได้อย่างไร?

ตามคำจำกัดความตารางความจริงของสูตรลอจิคัลเป็นการแสดงออกถึงความสอดคล้องระหว่างชุดค่าตัวแปรที่เป็นไปได้ทั้งหมดกับค่าของสูตร

สำหรับสูตรที่มีตัวแปรสองตัว จะมีชุดค่าตัวแปรดังกล่าวเพียงสี่ชุดเท่านั้น:

(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).

หากสูตรมีตัวแปรสามตัว ก็จะมีชุดค่าตัวแปรที่เป็นไปได้แปดชุด (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1) (1, 0, 0 ), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)

จำนวนชุดของสูตรที่มีตัวแปร 4 ตัวคือ 16 ชุด เป็นต้น

รูปแบบการบันทึกที่สะดวกในการค้นหาค่าของสูตรคือตารางที่นอกเหนือจากค่าของตัวแปรและค่าของสูตรแล้วยังรวมถึงค่าของสูตรระดับกลางด้วย

ตัวอย่าง.

1. มาสร้างตารางความจริงสำหรับสูตร 96%" style="width:96.0%"> กันดีกว่า

จากตารางก็ชัดเจนว่า สำหรับชุดค่าทั้งหมดของตัวแปร x และ y สูตรจะใช้ค่า 1นั่นคือคือ เหมือนกับความจริง.

2. ตารางความจริงสำหรับสูตร 96%" style="width:96.0%">

จากตารางก็ชัดเจนว่า สำหรับชุดค่าทั้งหมดของตัวแปร x และ y สูตร รับค่า 0นั่นคือคือ เท็จเหมือนกัน .

3. ตารางความจริงสำหรับสูตร 96%" style="width:96.0%">

จากตารางก็ชัดเจนว่า สูตร 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

สรุป: เรามีทั้งหมดอยู่ในคอลัมน์สุดท้าย ซึ่งหมายความว่าความหมายของประโยคที่ซับซ้อนนั้นเป็นจริงสำหรับความหมายใดๆ ของประโยคง่ายๆ K และ S ดังนั้น ครูจึงให้เหตุผลอย่างถูกต้องตามหลักตรรกะ