Мінором будь-якого елемента визначника називається, визначник другого

порядку, отриманий викресленням з даного визначника рядка та стовпця, що містять цей елемент.Так мінор для елемента

для елемента:

Додатком алгебри будь-якого елемента визначника називають мінор цього елемента взятий з множником , де i - номер рядка елемента, j - номер стовпця. Таким чином, алгебраїчне доповнення елемента:

приклад. Знайти додатки алгебри для елементів визначника.

Теорема. Визначник дорівнює сумі творів елементів будь-якого його стовпця чи рядка з їхньої алгебраїчні доповнення.

Інакше кажучи, мають місце такі рівності для визначника .

Доказ цих рівностей складається із заміни алгебраїчних доповнень їх виразами через елементи визначника, при цьому отримаємо вираз (3). Пропонується це виконати самостійно. Заміна визначника по одній із шести формул називається розкладанням визначника за елементами відповідного стовпця або рядка. Ці розкладання застосовують обчислення визначників.

приклад.Обчислити визначник, розклавши його елементами другого стовпця.

Використовуючи теорему про розкладання визначника третього порядку елементами рядка чи стовпця, можна довести справедливість властивостей 1-8 для визначників третього порядку. Передбачається перевірити справедливість цього твердження. Властивості визначників та теорема про розкладання визначника за елементами стовпця чи рядка дозволяють спростити обчислення визначників.

приклад. Обчислити визначник.

Обчислимо загальний множник елементів другого рядка «2», а потім такий же загальний множник елементів третього стовпця.

Додамо елементи першого рядка до відповідних елементів другого рядка, потім третього рядка.

Розкладемо визначник за елементами першого стовпця.

МіноромM ijелемента a ij визначника n -го порядку називається визначник порядку ( n-1 ), отриманий з даного визначника викресленням рядка та стовпця, в яких знаходиться цей елемент ( i -ого рядка та j -го стовпця).

Алгебраїчне доповненняелемента a ij задається виразом:

Визначники порядку n>3 обчислюються за допомогою теореми про розкладання визначника за елементами рядка або стовпця:

Теорема.Визначник дорівнює сумі творів елементів будь-якого рядка чи стовпця на відповідні цим елементам алгебраїчні доповнення, тобто.

приклад.

Обчислити визначник, розклавши його за елементами рядка чи стовпця:

Рішення

1. Якщо в якомусь одному рядку або одному стовпці є лише один елемент, відмінний від нуля, то перетворювати визначник немає необхідності. В іншому випадку, перш ніж застосовувати теорему про розкладання визначника, перетворимо його, використовуючи таку властивість: якщо до елементів рядка (стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на довільний множник, значення визначника не зміниться.

З елементів рядка 3 віднімаємо відповідні елементи рядка 2 .

З елементів стовпця 4 віднімаємо відповідні елементи стовпця 3 помножені на 2.

Розкладаємо визначник за елементами третього рядка

2. Отриманий визначник 3-го порядку можна визначити за правилом трикутників або за правилом Саррюса (див вище). Однак елементи визначника є числами досить великими, тому розкладемо визначник, попередньо перетворивши його:

З елементів другого рядка віднімаємо відповідні елементи першого рядка, помножені на 3.

З елементів першого рядка віднімаємо відповідні елементи третього рядка.

До елементів рядка 1 додаємо відповідні елементи рядка 2

Визначник із нульовим рядком дорівнює 0.

Отже, визначники порядку n>3 обчислюються:

· Перетворенням визначника до трикутного вигляду за допомогою властивостей визначників;

· Розкладанням визначника по елементах терміни або стовпця, тим самим знижуючи його порядок.

Ранг матриці.

Ранг матриці є важливою числову характеристику. Найбільш характерним завданням, що вимагає знаходження рангу матриці, є перевірка сумісності системи лінійних рівнянь алгебри.

Візьмемо матрицю А порядку p x n . Нехай k - Деяке натуральне число, що не перевищує найменшого з чисел p і n , тобто,

Мінором k-ого порядкуматриці А називається визначник квадратної матриці порядку k x k , складеною з елементів матриці А , які знаходяться в заздалегідь обраних k рядках та k стовпцях, причому розташування елементів матриці А зберігається.

Розглянемо матрицю:

Запишемо кілька мінорів першого порядку цієї матриці. Наприклад, якщо ми виберемо третій рядок і другий стовпець матриці А , То нашому вибору відповідає мінор першого порядку det(-4)=-4. Іншими словами, для отримання цього мінору ми викреслили перший і другий рядки, а також перший, третій та четвертий стовпці з матриці. А , а з елемента, що залишився, склали визначник.

Таким чином, мінорами першого порядку матриці є елементи матриці.

Покажемо кілька мінорів другого порядку. Вибираємо два рядки та два стовпці. Наприклад, візьмемо перший і другий рядки, і третій і четвертий стовпець. За такого вибору маємо мінор другого порядку
.

Іншим мінором другого порядку матриці Ає мінор

Аналогічно можуть бути знайдені мінори третього порядку матриці А . Так як у матриці Авсього три рядки, то вибираємо їх усі. Якщо до цих рядків вибрати три перші стовпці, то отримаємо мінор третього порядку:

Іншим мінором третього порядку є:

Для даної матриці А мінорів порядку вище третього немає, оскільки

Скільки ж існує мінорів k -огопорядку матриці Апорядку p x n ? Чимало!

Число мінорів порядку kможе бути обчислено за формулою:

Рангом матриціназивається найвищий порядок мінору матриці, відмінного від нуля.

Ранг матриці А позначають як rang(A). З визначень рангу матриці і мінору матриці можна зробити висновок, що ранг нульової матриці дорівнює нулю, а ранг ненульової матриці не менше одиниці.

Отже, першим методом знаходження рангу матриці є метод перебору мінорів . Цей спосіб ґрунтується на визначенні рангу матриці.

Нехай нам потрібно знайти ранг матриці А порядку p x n .

Якщо є хоча б один елемент матриці, відмінний від нуля, то ранг матриці як мінімум дорівнює одиниці (оскільки є мінор першого порядку, не рівний нулю).

Далі перебираємо мінори другого порядку. Якщо всі мінори другого порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює одиниці. Якщо існує хоча б один ненульовий мінор другого порядку, переходимо до перебору мінорів третього порядку, а ранг матриці як мінімум дорівнює двом.

Аналогічно, якщо всі мінори третього порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює двом. Якщо існує хоча б один мінор третього порядку, відмінний від нуля, то ранг матриці як мінімум дорівнює трьом, а ми переступаємо до перебору мінорів четвертого порядку.

Зазначимо, що ранг матриці не може перевищувати найменшого чисел p і n .

приклад.

Знайдіть ранг матриці
.

Рішення.

1. Так як матриця ненульова, її ранг не менше одиниці.

2. Один із мінорів другого порядку
відмінний від нуля, отже, ранг матриці А не менше двох.

3. Мінорів третього порядку

Усі мінори третього порядку дорівнюють нулю. Тому ранг матриці дорівнює двом.

rang(A) = 2.

Існують інші методи знаходження рангу матриці, які дозволяють отримати результат за меншої обчислювальної роботи.

Одним із таких методів є метод облямівних мінорів . При використанні цього методу обчислення дещо скорочуються, і все ж таки вони досить громіздкі.

Існують ще один спосіб знаходження рангу матриці – за допомогою елементарних перетворень (метод Гаусса).

Наступні перетворення матриці називають елементарними :

· Перестановка місцями рядків (або стовпців) матриці;

· множення всіх елементів будь-якого рядка (стовпця) матриці на довільне число k, відмінне від нуля;

· Додаток до елементів будь-якого рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця) матриці, помножених на довільне число k.

Матриця називається еквівалентної матриці А, якщо Уотримана з Аза допомогою кінцевого числа елементарних перетворень. Еквівалентність матриць позначається символом « ~ » тобто записується A ~ B.

Знаходження рангу матриці за допомогою елементарних перетворень матриці ґрунтується на затвердженні: якщо матриця У отримана з матриці А допомогою кінцевого числа елементарних перетворень, то r ang(A) = rang(B) , тобто. ранги еквівалентних матриць рівні .

Суть методу елементарних перетворень полягає у приведенні матриці, ранг якої нам потрібно знайти, до трапецієподібної (в окремому випадку до верхньої трикутної) за допомогою елементарних перетворень.

Ранг матриць такого виду легко знайти. Він дорівнює кількості рядків, що містять хоча б один ненульовий елемент. Оскільки ранг матриці під час проведення елементарних перетворень не змінюється, то отримане значення буде рангом вихідної матриці.

приклад.

Методом елементарних перетворень знайдіть ранг матриці

.

Рішення.

1. Поміняємо місцями перший і другий рядки матриці А , так як елемент a 11 = 0, а елемент a 21відмінний від нуля:

~

В отриманій матриці елемент дорівнює одиниці. В іншому випадку потрібно було помножити елементи першого рядка на . Зробимо всі елементи першого стовпця, крім першого, нульовими. У другому рядку нуль вже є, до третього рядка додамо перший, помножений на 2:

Елемент отриманої матриці відмінний від нуля. Помножимо елементи другого рядка на

Другий стовпець отриманої матриці має необхідний вигляд, оскільки елемент вже дорівнює нулю.

Так як , а , то поміняємо місцями третій і четвертий стовпці і помножимо третій рядок отриманої матриці на :

Вихідна матриця наведена до трапецієподібної, її ранг дорівнює кількості рядків, що містять хоча б один ненульовий елемент. Таких рядків три, отже ранг вихідної матриці дорівнює трьом. r ang(A)=3.

Зворотна матриця.

Нехай маємо матрицю А .

Матрицею, зворотною матрицею А , називається матриця A -1 така, що A -1 A = A A -1 = E .

Зворотна матриця може існувати лише для квадратної матриці. Причому сама є тією самою розмірності, як і вихідна матриця.

Для того щоб квадратна матриця мала зворотну, вона повинна бути невиродженою (тобто. Δ ≠0 ). Ця умова є і достатньою для існування A -1 до матриці А . Отже, будь-яка невироджена матриця має зворотну, і єдину.

Алгоритм знаходження зворотної матриці на прикладі матриці А :

1. Знаходимо визначник матриці. Якщо Δ ≠0 , то матриця A -1 Існує.

2. Складемо матрицю В додатків алгебри елементів вихідної матриці А . Тобто. у матриці У елементом i - ого рядка та j - го стовпця буде алгебраїчне доповнення A ij елемента a ij вихідної матриці.

3. Транспонуємо матрицю У і отримаємо B t .

4. Знайдемо зворотну матрицю, помноживши отриману матрицю B t на число .

приклад.

Для даної матриці знайти зворотну та виконати перевірку:

Рішення

Скористаємося описаним алгоритмом знаходження зворотної матриці.

1. Для з'ясування існування зворотної матриці необхідно обчислити визначник даної матриці. Скористаємося правилом трикутників:

Матриця є невиродженою, отже, вона оборотна.

Знайдемо додатки алгебри всіх елементів матриці:

Зі знайдених алгебраїчних доповнень складається матриця:

та транспонується

Розділивши кожен елемент отриманої матриці на визначник, отримаємо матрицю, зворотну до вихідної:

Перевірка здійснюється множенням одержаної матриці на вихідну. Якщо зворотну матрицю знайдено правильно, в результаті множення вийде одинична матриця.

Для знаходження зворотної матриці для даної можна скористатися методом Гауса (звичайно, попередньо необхідно переконатися, що матриця оборотна), розгляд якого залишаю для самостійної роботи.

Алгебраїчне доповнення- Поняття матричної алгебри; стосовно елемента aij квадратної матриці А утворюється шляхом множення мінору елемента aij на (1)i+j; позначається Аij: Aij=(1)i+jMij, де Mij мінор елемента aij матриці A=, тобто. визначник… … Економіко-математичний словник

алгебраїчне доповнення- поняття матричної алгебри; стосовно елемента aij квадратної матриці А утворюється шляхом множення мінору елемента aij на (1)i+j; позначається Аij: Aij=(1)i+jMij, де Mij мінор елемента aij матриці A=, тобто. визначник матриці, … … Довідник технічного перекладача

Див у ст. Визначник … Велика Радянська Енциклопедія

Для мінора М число, що дорівнює де М мінор порядку k, розташований у рядках з номерами і стовпцях з номерами деякої квадратної матриці Апорядку п; визначник матриці порядку n k, отриманої з матриці Авикреслюванням рядків та стовпців мінора М; Математична енциклопедія

У Вікисловарі є стаття «доповнення» Додаток може означати … Вікіпедія

Операція, до раю ставить у відповідність підмножині Мданої множини X інше підмножина так, що якщо відомі Мі N, то тим чи іншим способом може бути відновлено безліч X. Залежно від того, якою структурою наділено безліч X, … Математична енциклопедія

Або детермінант, у математиці запис чисел як квадратної таблиці, у відповідність якої ставиться інше число (значення визначника). Дуже часто під поняттям визначник мають на увазі як значення визначника, так і форму його запису. Енциклопедія Кольєра

Про теорему з теорії ймовірностей див. статтю Локальна теорема Муавра Лапласа. Теорема Лапласа одна з теорем лінійної алгебри. Названа на честь французького математика П'єра Симона Лапласа (1749–1827), якому приписують формулювання… … Вікіпедія

- (Laplacian matrix) одне з уявлень графа за допомогою матриці. Матриця Кірхгофа використовується для підрахунку кістяків даного графа (матрична теорема про дерева), а також використовується в спектральній теорії графів. Зміст 1… … Вікіпедія

Рівнянням називається математичне співвідношення, що виражає рівність двох виразів алгебри. Якщо рівність справедлива для будь-яких допустимих значень невідомих, що входять до нього, то вона називається тотожністю; наприклад, співвідношення виду ... Енциклопедія Кольєра

Книги

• Дискретна математика, А. В. Чашкін. 352 стор. Підручник складається з 17 розділів з основних розділів дискретної математики: комбінаторного аналізу, теорії графів, булевих функцій, складності обчислення та теорії кодування. Містить...

Мінори матриці

Нехай дана квадратна матрицяА, n - ого порядку. Міноромдеякого елемента а ij, визначника матриці n - ого порядку називається визначник(n - 1) - ого порядку, отриманий з вихідного шляхом викреслення рядка та стовпця, на перетині яких знаходиться обраний елемент ij. Позначається М ij .

Розглянемо з прикладу визначника матриці 3 - його порядку:

Тоді згідно з визначенням мінору, міноромМ 12 , що відповідає елементу а 12 , буде визначник:

При цьому, за допомогою мінорівможна полегшувати завдання обчислення визначника матриці. Потрібно розкласти визначник матриціпо деякому рядку і тоді визначникдорівнюватиме сумі всіх елементів цього рядка на їх мінори. Розкладання визначника матриці 3 - його порядок виглядатиме так:

Знак перед твором дорівнює (-1) n де n = i + j.

Алгебраїчні доповнення:

Алгебраїчним доповненнямелемента а ij називається його мінор, взятий зі знаком "+", якщо сума (i + j) парне число, і зі знаком "-", якщо ця сума непарне число. Позначається А ij. А ij = (-1) i + j × М ij .

Тоді можна переформулювати викладене вище властивість. Визначник матрицідорівнює сумі добуток елементів некторого ряду (рядки або стовпця) матриціна відповідні їм алгебраїчні доповнення. Приклад:

4. Зворотна матриця та її обчислення.

Нехай А – квадратна матриця n - ого порядку.

Квадратна матрицяА називається невиродженою, якщо визначник матриці(Δ = det A) не дорівнює нулю (Δ = det A ≠ 0). В іншому випадку (Δ = 0) матрицяА називається виродженою.

Матрицею, союзною до матриціА, називається матриця

Де А ij - алгебраїчне доповненняелемента а ij даної матриці(воно визначається так само, як і алгебраїчне доповненняелемента визначника матриці).

МатрицяА -1 називається зворотної матриціА, якщо виконується умова: А А - 1 = А -1 А = Е, де Е - одинична матрицятого ж порядку, що і матрицяА. МатрицяА -1 має самі розміри, як і матрицяА.

зворотна матриця

Якщо існують квадратні матриціХ і А, що задовольняють умові: X A = A X X = E , де Е - одинична матрицятого ж порядку, то матрицяХ називається зворотною матрицеюдо матриці А і позначається А-1. Будь-яка невироджена матрицямає зворотну матрицюі до того ж тільки одну, тобто для того, щоб квадратна матриця A мала зворотну матрицю, необхідно і достатньо, щоб її визначникбув відмінний від нуля.

Для отримання зворотної матрицівикористовують формулу:

Де М ji додатковий мінорелемента а ji матриціА.

5. Ранг матриці. Обчислення рангу з допомогою елементарних перетворень.

Розглянемо прямокутну матрицю mхn. Виділимо в цій матриці якісь k рядків і k стовпців, 1 £ k £ min (m, n) . З елементів, що стоять на перетині виділених рядків та стовпців, складемо визначник k-го порядку. Усі такі визначники називаються мінорами матриці. Наприклад, для матриці можна скласти мінори другого порядку та мінори першого порядку 1, 0, -1, 2, 4, 3.

Визначення.Рангом матриці називається найвищий порядок відмінного від нуля мінора цієї матриці. Позначають ранг матриці r(A).

У наведеному прикладі ранг матриці дорівнює двом, оскільки, наприклад, мінор

Ранг матриці зручно обчислювати методом елементарних перетворень. До елементарних перетворень відносять такі:

1) перестановки рядків (стовпців);

2) множення рядка (стовпця) на число, відмінне від нуля;

3) додавання до елементів рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), попередньо помножених на деяке число.

Ці перетворення не змінюють рангу матриці, тому що відомо, що 1) при перестановці рядків визначник змінює знак і, якщо він не дорівнював нулю, то вже і не стане; 2) при множенні рядка визначника на число, що не дорівнює нулю, визначник множиться на це число; 3) третє елементарне перетворення взагалі змінює визначник. Таким чином, виробляючи над матрицею елементарні перетворення, можна отримати матрицю, для якої легко обчислити її ранг і, отже, вихідної матриці.

Визначення.Матриця, отримана з матриці за допомогою елементарних перетворень, називається еквівалентною і позначається А У.

Теорема.Ранг матриці не змінюється при елементарних перетвореннях матриці.

За допомогою елементарних перетворень можна привести матрицю до так званого ступінчастого вигляду, коли обчислення її рангу не важко.

Матриця називається ступінчастою якщо вона має вигляд:

Очевидно, що ранг ступінчастої матриці дорівнює числу ненульових рядків , т.к. є мінор-го порядку, не рівний нулю:

.

приклад.Визначити ранг матриці за допомогою елементарних перетворень.

Ранг матриці дорівнює кількості ненульових рядків, тобто. .

Визначення.Якщо в визначнику n-го порядку вибрати довільно k рядків і стовпців k, то елементи, що стоять на перетині зазначених рядків і стовпців, утворюють квадратну матрицю порядку k. Визначник такої квадратної матриці називають мінором k-го порядку .

Позначається Mk. Якщо k=1 то мінор першого порядку - це елемент визначника.

Елементи, що стоять на перетині рядків, що залишилися (n-k) і (n-k) стовпців, складають квадратну матрицю порядку (n-k). Визначник такої матриці називається мінором, додатковимдо мінору Mk. Позначається M n-k.

Алгебраїчним доповненням мінору M kназиватимемо його додатковий мінор, взятий зі знаком “+” або “-” залежно від того, парна чи непарна сума номерів усіх рядків та стовпців, у яких розташований мінор M k .

Якщо k=1, то додаток алгебри до елемента a ikобчислюється за формулою

A ik =(-1) i+k M ik ,де M ik- мінор (n-1) порядку.

Теорема. Твір мінору k-го порядку на його додаток алгебри дорівнює сумі деякого числа членів визначника D n .

Доведення

1. Розглянемо окремий випадок. Нехай мінор M k займає верхній лівий кут визначника, тобто розташовується в рядках з номерами 1, 2, ..., k, тоді мінор M n-k займатиме рядки k+1, k+2, ..., n.

Обчислимо додаток алгебри до мінору M k . За визначенням,

A n-k = (-1) s M n-kде s=(1+2+...+k) +(1+2+...+k)= 2(1+2+...+k), тоді

(-1) s=1 та A n-k = M n-k. Отримаємо

M k A n-k = M k M n-k. (*)

Беремо довільний член мінору M k

де s - число інверсій у підстановці

та довільний член мінору M n-k

де s * - число інверсій у підстановці

Перемножуючи (1) та (3), отримаємо

Твір складається з n елементів, розташованих у різних рядках і стовпцях визначника D. Отже, цей твір є членом визначника D. Знак твору (5) визначається сумою інверсій у підстановках (2) та (4), а знак аналогічного твору у визначнику D визначається числом інверсій s k у підстановці

Вочевидь, що s k =s+s * .

Таким чином, повертаючись до рівності (*), отримаємо, що твір M k A n-kскладається лише з членів визначника.

2. Нехай мінор M kрозташований у рядках із номерами i 1 , i 2 , ..., i kта у стовпцях з номерами j 1 , j 2 , ..., j k ,причому i 1< i 2 < ...< i k і j 1< j 2 < ...< j k .

Використовуючи властивості визначників, за допомогою транспозицій змістимо мінор у верхній лівий кут. Отримаємо визначник D¢, в якому мінор M kзаймає лівий верхній кут, а додатковий до нього мінор M¢ n-k- правий нижній кут, тоді, за доведеним пунктом 1, отримаємо, що добуток M k M¢ n-kє сумою деякої кількості елементів визначника D¢ взятих зі своїм знаком. Але D ¢ отримано з D за допомогою ( i 1 -1)+(i 2 -2)+ ...+(i k -k)=(i 1 + i 2 + ...+ i k)-(1+2+...+k)транспозицій рядків та ( j 1 -1)+(j 2 -2)+ ...+(j k -k)=(j 1 + j 2 + ...+ j k)- (1+2+...+k)транспозиції стовпців. Тобто, всього було виконано

(i 1 + i 2 + ...+ i k)-(1+2+...+k)+ (j 1 + j 2 + ...+ j k)- (1+2+...+k )= (i 1 + i 2 + ...+ i k)+ (j 1 + j 2 + ...+ j k)- 2(1+2+...+k)=s-2(1+2 +...+k).Тому члени визначників D і D ¢ відрізняються знаком (-1) s-2(1+2+...+k) =(-1) s , отже, твір (-1) s M k M¢ n-kскладатиметься з деякої кількості членів визначника D, взятих з тими самими знаками, які вони мають у цьому визначнику.

Теорема Лапласа. Якщо в визначнику n-го порядку вибрати довільно k рядків (або k стовпців) 1?k?

Доведення

Виберемо довільно рядки i 1 , i 2 , ..., i kі доведемо, що

Раніше було доведено, що всі елементи в лівій частині рівності містяться як доданок у визначнику D. Покажемо, що кожен член визначника D потрапляє тільки в один із доданків . Справді, всяке t sмає вигляд t s =. якщо у цьому творі відзначити співмножники, у яких перші індекси i 1 , i 2 , ..., i k, і скласти їх твір , можна побачити, що отриманий твір належить мінору k-го порядку. Отже, члени, що залишилися, взяті з n-k рядків, що залишилися, і n-k стовпців, утворюють елемент, що належить додатковому мінору, а з урахуванням знака - алгебраїчному доповненню, отже, будь-яке t sпотрапляє лише до одного з творів, що доводить теорему.

Слідство(теорема про розкладання визначника по рядку) . Сума творів елементів деякого рядка визначника на відповідні додатки алгебри дорівнює визначнику.

(Доказ як вправи.)

Теорема. Сума творів елементів i-го рядка визначника на відповідні додатки алгебри до елементів j-ого рядка (i¹j) дорівнює 0.

Зауваження. Зручно застосовувати слідство з теореми Лапласа до визначника, перетвореного за допомогою властивостей таким чином, що в одному з рядків (або в одному зі стовпців) усі елементи, крім одного, дорівнюють 0.

приклад.Обчислити визначник

12 -14 +35 -147 -20 -2= -160.