El menor de cualquier elemento del determinante se llama determinante del segundo

orden obtenido al eliminar de un determinante dado la fila y la columna que contiene este elemento. Tan menor para el elemento

para elemento:

El complemento algebraico de cualquier elemento del determinante es el menor de este elemento tomado con el factor, donde i es el número de fila del elemento, j es el número de columna. Así, el complemento algebraico del elemento es:

Ejemplo. Encuentra complementos algebraicos para elementos del determinante.

Teorema. El determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de cualquiera de sus columnas o filas y sus complementos algebraicos.

En otras palabras, las siguientes igualdades son válidas para el determinante.

La prueba de estas igualdades consiste en sustituir las sumas algebraicas por sus expresiones mediante los elementos del determinante, y obtenemos la expresión (3). Se sugiere que lo haga usted mismo. Reemplazar el determinante usando una de las seis fórmulas se llama descomponer el determinante en los elementos de la columna o fila correspondiente. Estas expansiones se utilizan para calcular los determinantes.

Ejemplo. Calcula el determinante expandiéndolo a los elementos de la segunda columna.

Utilizando el teorema sobre la expansión de un determinante de tercer orden en elementos de una fila o columna, es posible demostrar la validez de las propiedades 1 a 8 para determinantes de tercer orden. Se pretende verificar la validez de esta declaración. Las propiedades de los determinantes y el teorema sobre la descomposición de un determinante en elementos de una columna o fila permiten simplificar los cálculos de los determinantes.

Ejemplo. Calcula el determinante.

Calculemos el factor común "2" de los elementos de la segunda fila, y luego el mismo factor común de los elementos de la tercera columna.

Agreguemos los elementos de la primera línea a los elementos correspondientes de la segunda línea, luego a la tercera línea.

Expandamos el determinante a los elementos de la primera columna.

MenorM ij elemento un ij determinante norte -ésimo orden se llama determinante de orden ( n-1 ), obtenido a partir de un determinante dado tachando la fila y columna en la que se ubica este elemento ( i -ésima línea y j ª columna).

Complemento algebraico elemento un ij viene dada por la expresión:

Determinantes del orden norte>3 se calculan utilizando el teorema sobre la expansión del determinante en los elementos de una fila o columna:

Teorema. El determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de cualquier fila o de cualquier columna por los complementos algebraicos correspondientes a estos elementos, es decir

Ejemplo.

Calcula el determinante descomponiéndolo en elementos de una fila o columna:

Solución

1. Si en una fila o columna solo hay un elemento distinto de cero, entonces no es necesario transformar el determinante. En caso contrario, antes de aplicar el teorema sobre la descomposición del determinante, lo transformamos utilizando la siguiente propiedad: si sumamos a los elementos de una fila (columna) los elementos correspondientes de otra fila (columna), multiplicados por un factor arbitrario, entonces el valor del determinante no cambiará.

De los elementos de la línea 3 restamos los elementos correspondientes de la línea 2.

De los elementos de la columna 4, resta los elementos correspondientes de la columna 3, multiplicados por 2.

Ampliamos el determinante a los elementos de la tercera fila.

2. El determinante de tercer orden resultante se puede calcular usando la regla del triángulo o la regla de Sarrus (ver arriba). Sin embargo, los elementos del determinante son números bastante grandes, así que expandamos el determinante transformándolo primero:

De los elementos de la segunda línea, resta los elementos correspondientes de la primera línea, multiplicados por 3.

De los elementos de la primera línea restamos los elementos correspondientes de la tercera línea.

A los elementos de la línea 1 le sumamos los elementos correspondientes de la línea 2

El determinante de la fila cero es 0.

Entonces, los determinantes del orden norte>3 se calculan:

· transformar el determinante a forma triangular utilizando las propiedades de los determinantes;

· descomposición del determinante en términos o elementos de columna, bajando así su orden.

Rango de matriz.

El rango de una matriz es una característica numérica importante. El problema más típico que requiere encontrar el rango de una matriz es comprobar la consistencia de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales.

Tomemos la matriz A orden pag X norte . Dejar k – algún número natural que no exceda el número más pequeño pag Y norte , eso es,

orden k-ésima menor matrices A se llama determinante de una matriz cuadrada de orden k X k , compuesto por elementos matriciales A , que están en preseleccionados k líneas y k columnas y la disposición de los elementos de la matriz. A se salva.

Considere la matriz:

Anotemos varios menores de primer orden de esta matriz. Por ejemplo, si seleccionamos la tercera fila y la segunda columna de la matriz A , entonces nuestra elección corresponde al menor de primer orden det(-4)=-4. En otras palabras, para obtener este menor eliminamos la primera y segunda filas, así como la primera, tercera y cuarta columnas de la matriz. A , y del elemento restante formaron un determinante.

Por tanto, los menores de primer orden de una matriz son los propios elementos de la matriz.

Mostremos varios menores de segundo orden. Seleccione dos filas y dos columnas. Por ejemplo, tome la primera y segunda filas y la tercera y cuarta columnas. Con esta elección tenemos un menor de segundo orden.
.

Otro menor de segundo orden de la matriz. A es menor

De manera similar, se pueden encontrar menores de tercer orden de la matriz. A . Ya que en la matriz A Solo hay tres líneas, luego selecciónalas todas. Si seleccionamos las primeras tres columnas de estas filas, obtenemos un menor de tercer orden:

Otro menor de tercer orden es:

Para una matriz dada A no existen menores de orden superior al tercero, ya que

¿Cuantos menores hay? k -Guau orden de la matriz A orden pag X norte ? ¡Bastante!

Número de menores de orden k se puede calcular usando la fórmula:

rango de matriz se llama el orden más alto del menor distinto de cero de una matriz.

rango de matriz A denotado como rango (A). De las definiciones de rango de matriz y matriz menor, podemos concluir que el rango de una matriz cero es igual a cero y el rango de una matriz distinta de cero no es menor que uno.

Entonces, el primer método para encontrar el rango de una matriz es método de enumeración de menores . Este método se basa en determinar el rango de la matriz.

Necesitamos encontrar el rango de la matriz. A orden pag X norte .

Si hay al menos un elemento de la matriz que es diferente de cero, entonces el rango de la matriz es al menos igual a uno (ya que hay un menor de primer orden que no es igual a cero).

A continuación nos fijamos en los menores de segundo orden. Si todos los menores de segundo orden son iguales a cero, entonces el rango de la matriz es igual a uno. Si hay al menos un menor de segundo orden distinto de cero, entonces se procede a enumerar los menores de tercer orden, y el rango de la matriz es al menos igual a dos.

De manera similar, si todos los menores de tercer orden son cero, entonces el rango de la matriz es dos. Si hay al menos un menor de tercer orden distinto de cero, entonces el rango de la matriz es al menos tres y pasamos a enumerar menores de cuarto orden.

Tenga en cuenta que el rango de la matriz no puede exceder el número más pequeño pag Y norte .

Ejemplo.

Encuentra el rango de la matriz.
.

Solución.

1. Dado que la matriz es distinta de cero, su rango no es menor que uno.

2. Uno de los menores de segundo orden.
es diferente de cero, de ahí el rango de la matriz A al menos dos.

3. Menores de tercer orden

Todos los menores de tercer orden son iguales a cero. Por tanto, el rango de la matriz es dos.

rango(A) = 2.

Existen otros métodos para encontrar el rango de una matriz que permiten obtener el resultado con menos trabajo computacional.

Uno de esos métodos es método de borde menor . Con este método, los cálculos se reducen un poco, pero siguen siendo bastante engorrosos.

Hay otra forma de encontrar el rango de una matriz: mediante transformaciones elementales (método gaussiano).

Las siguientes transformaciones matriciales se denominan elemental :

· reordenamiento de filas (o columnas) de la matriz;

· multiplicar todos los elementos de cualquier fila (columna) de una matriz por un número arbitrario k, diferente de cero;

· sumar a los elementos de cualquier fila (columna) los elementos correspondientes de otra fila (columna) de la matriz, multiplicados por un número arbitrario k.

La matriz B se llama equivalente a la matriz A., Si EN derivado de A utilizando un número finito de transformaciones elementales. La equivalencia matricial se indica con el símbolo « ~ » , es decir, está escrito A~B.

Encontrar el rango de una matriz mediante transformaciones matriciales elementales se basa en la afirmación: si la matriz EN obtenido de la matriz A usando un número finito de transformaciones elementales, entonces r ang(A) = sonó(B) , es decir. los rangos de matrices equivalentes son iguales .

La esencia del método de transformaciones elementales es reducir la matriz, cuyo rango necesitamos encontrar, a una trapezoidal (en un caso particular, a una triangular superior) mediante transformaciones elementales.

El rango de matrices de este tipo es muy fácil de encontrar. Es igual al número de líneas que contienen al menos un elemento distinto de cero. Y dado que el rango de la matriz no cambia al realizar transformaciones elementales, el valor resultante será el rango de la matriz original.

Ejemplo.

Usando el método de transformaciones elementales, encuentre el rango de la matriz.

.

Solución.

1. Intercambie la primera y segunda filas de la matriz. A , ya que el elemento un 11 =0, y el elemento un 21 distinto de cero:

~

En la matriz resultante, el elemento es igual a uno. En caso contrario, había que multiplicar los elementos de la primera fila por . Hagamos que todos los elementos de la primera columna, excepto el primero, sean cero. En la segunda línea ya hay un cero, a la tercera línea le sumamos el primero, multiplicado por 2:

El elemento de la matriz resultante es distinto de cero. Multiplica los elementos de la segunda fila por

La segunda columna de la matriz resultante tiene la forma deseada, ya que el elemento ya es igual a cero.

Porque , A , luego intercambie la tercera y cuarta columnas y multiplique la tercera fila de la matriz resultante por:

La matriz original se reduce a trapezoidal, su rango es igual al número de filas que contienen al menos un elemento distinto de cero. Hay tres filas de este tipo, por lo que el rango de la matriz original es tres. r ang(A)=3.

Matriz inversa.

Tengamos una matriz A .

Matriz inversa a la matriz A , se llama matriz A-1 tal que A -1 A = A A -1 = E .

Una matriz inversa sólo puede existir para una matriz cuadrada. Además, él mismo tiene la misma dimensión que la matriz original.

Para que una matriz cuadrada tenga inversa, debe ser no singular (es decir, Δ ≠0 ). Esta condición también es suficiente para la existencia A-1 a la matriz A . Entonces, toda matriz no singular tiene una inversa y, además, única.

Algoritmo para encontrar la matriz inversa usando el ejemplo de una matriz A :

1. Encuentra el determinante de la matriz. Si Δ ≠0 , entonces la matriz A-1 existe.

2. Creemos una matriz B de sumas algebraicas de elementos de la matriz original. A . Aquellos. en la matriz EN elemento i - oh líneas y j - la columna número 1 será el complemento algebraico A ij elemento un ij matriz original.

3. Transponer la matriz EN y obtenemos B t .

4. Encuentre la matriz inversa multiplicando la matriz resultante. B t por numero .

Ejemplo.

Para una matriz dada, encuentre la inversa y verifique:

Solución

Usemos el algoritmo descrito anteriormente para encontrar la matriz inversa.

1. Para conocer la existencia de una matriz inversa es necesario calcular el determinante de esta matriz. Usemos la regla del triángulo:

La matriz no es singular, por tanto, es invertible.

Encontremos los complementos algebraicos de todos los elementos de la matriz:

A partir de las sumas algebraicas encontradas se compila la matriz:

y se transpone

Dividiendo cada elemento de la matriz resultante por su determinante, obtenemos una matriz inversa a la original:

La verificación se realiza multiplicando la matriz resultante por la original. Si la matriz inversa se encuentra correctamente, el resultado de la multiplicación es la matriz identidad.

Para encontrar la matriz inversa de una determinada, puedes utilizar el método gaussiano (por supuesto, primero debes asegurarte de que la matriz sea invertible), que dejo para un trabajo independiente.

Complemento algebraico- concepto de álgebra matricial; con relación al elemento aij de la matriz cuadrada A se forma multiplicando el menor del elemento aij por (1)i+j; se denota por Аij: Aij=(1)i+jMij, donde Mij es el menor del elemento aij de la matriz A=, es decir determinante... ... Diccionario económico y matemático.

complemento algebraico- El concepto de álgebra matricial; con relación al elemento aij de la matriz cuadrada A se forma multiplicando el menor del elemento aij por (1)i+j; se denota por Аij: Aij=(1)i+jMij, donde Mij es el menor del elemento aij de la matriz A=, es decir determinante matricial,... ... Guía del traductor técnico

Ver art. Determinante... Gran enciclopedia soviética

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Libros

• Matemáticas discretas, A. V. Chashkin. 352 págs. El libro de texto consta de 17 capítulos sobre las secciones principales de las matemáticas discretas: análisis combinatorio, teoría de grafos, funciones booleanas, complejidad computacional y teoría de codificación. Contiene...

menores de matriz

Sea dado un cuadrado matriz A, enésimo orden. Menor algún elemento a ij, determinante de la matriz el enésimo orden se llama determinante(n - 1)ésimo orden, obtenido del original tachando la fila y la columna en cuya intersección se encuentra el elemento seleccionado a ij. Denotado por Mij.

Veamos un ejemplo determinante de la matriz 3 - su orden:

Entonces según la definición menor, menor M 12, correspondiente al elemento a 12, será determinante:

Al mismo tiempo, con la ayuda menores puede facilitar la tarea de cálculo determinante de la matriz. Necesitamos difundirlo determinante de la matriz a lo largo de alguna línea y luego determinante será igual a la suma de todos los elementos de esta línea por sus menores. Descomposición determinante de la matriz 3 - su orden se verá así:

El signo delante del producto es (-1) n, donde n = i + j.

Sumas algebraicas:

Complemento algebraico elemento a ij se llama su menor, tomado con un signo "+" si la suma (i + j) es un número par, y con un signo "-" si esta suma es un número impar. Denotado por A ij. A ij = (-1) i+j × M ij.

Entonces podemos reformular la propiedad mencionada anteriormente. Determinante de matriz igual a la suma del producto de los elementos de una determinada fila (fila o columna) matrices a su correspondiente sumas algebraicas. Ejemplo:

4. Matriz inversa y su cálculo.

Sea A cuadrado matriz enésimo orden.

Cuadrado matriz A se llama no degenerado si determinante de la matriz(Δ = det A) no es cero (Δ = det A ≠ 0). En caso contrario (Δ = 0) matriz A se llama degenerado.

Matriz, aliado a matriz Ah se llama matriz

Donde A ij - complemento algebraico elemento a ij dado matrices(se define de la misma manera que complemento algebraico elemento determinante de la matriz).

Matriz Se llama -1 matriz inversa A, si se cumple la condición: A × A -1 = A -1 × A = E, donde E es la unidad matriz mismo orden que matriz A. Matriz A -1 tiene las mismas dimensiones que matriz A.

matriz inversa

si hay cuadrados matrices X y A, satisfaciendo la condición: X × A = A × X = E, donde E es la unidad matriz del mismo orden, entonces matriz x se llama matriz inversa a la matriz A y se denota por A -1. Cualquier no degenerado matriz Tiene matriz inversa y, además, solo uno, es decir, para tener un cuadrado matriz un tenido matriz inversa, es necesario y suficiente que determinante era diferente de cero.

por conseguir matriz inversa usa la fórmula:

Donde M ji es adicional menor elemento a ji matrices A.

5. Rango de matriz. Calcular el rango mediante transformaciones elementales.

Considere una matriz rectangular mхn. Seleccionemos algunas k filas y k columnas en esta matriz, 1 £ k £ min (m, n). A partir de los elementos ubicados en la intersección de las filas y columnas seleccionadas, componemos un determinante de k-ésimo orden. Todos estos determinantes se denominan matrices menores. Por ejemplo, para una matriz puedes componer menores de segundo orden. y menores de primer orden 1, 0, -1, 2, 4, 3.

Definición. El rango de una matriz es el orden más alto del menor distinto de cero de esta matriz. Denota el rango de la matriz r(A).

En el ejemplo dado, el rango de la matriz es dos, ya que, por ejemplo, menor

Es conveniente calcular el rango de una matriz mediante el método de transformaciones elementales. Las transformaciones elementales incluyen las siguientes:

1) reordenamiento de filas (columnas);

2) multiplicar una fila (columna) por un número distinto de cero;

3) sumar a los elementos de una fila (columna) los elementos correspondientes de otra fila (columna), previamente multiplicados por un número determinado.

Estas transformaciones no cambian el rango de la matriz, ya que se sabe que 1) cuando se reordenan las filas, el determinante cambia de signo y, si no era igual a cero, entonces ya no lo será; 2) al multiplicar una cadena de un determinante por un número distinto de cero, el determinante se multiplica por este número; 3) la tercera transformación elemental no cambia el determinante en absoluto. Así, realizando transformaciones elementales sobre una matriz, se puede obtener una matriz para la cual es fácil calcular su rango y, en consecuencia, el de la matriz original.

Definición. Una matriz obtenida a partir de una matriz mediante transformaciones elementales se llama equivalente y se denota A EN.

Teorema. El rango de la matriz no cambia durante las transformaciones de matrices elementales.

Utilizando transformaciones elementales, es posible reducir la matriz a la llamada forma escalonada, cuando no es difícil calcular su rango.

Matriz se llama paso a paso si tiene la forma:

Obviamente, el rango de la matriz escalonada es igual al número de filas distintas de cero. , porque hay un menor de orden distinto de cero:

.

Ejemplo. Determinar el rango de una matriz mediante transformaciones elementales.

El rango de la matriz es igual al número de filas distintas de cero, es decir .

Definición. Si en el determinante de orden n elegimos arbitrariamente k filas y k columnas, entonces los elementos en la intersección de estas filas y columnas forman una matriz cuadrada de orden k. El determinante de dicha matriz cuadrada se llama menor de orden k .

Denotado por Mk. Si k=1, entonces el menor de primer orden es un elemento del determinante.

Los elementos en la intersección de las (n-k) filas y (n-k) columnas restantes forman una matriz cuadrada de orden (n-k). El determinante de dicha matriz se llama menor, adicional a menor M k . Denotado por Mn-k.

Complemento algebraico del menor M k Lo llamaremos menor adicional, tomado con un signo “+” o “-”, dependiendo de si la suma de los números de todas las filas y columnas en las que se encuentra el menor M k es par o impar.

Si k=1, entonces el complemento algebraico del elemento un ik calculado por la fórmula

A ik =(-1) i+k METRO Bueno, donde m yo- orden menor (n-1).

Teorema. El producto de un menor de k-ésimo orden y su complemento algebraico es igual a la suma de un cierto número de términos del determinante D n.

Prueba

1. Consideremos un caso especial. Deje que el menor M k ocupe la esquina superior izquierda del determinante, es decir, ubicado en las líneas numeradas 1, 2, ..., k, entonces el menor M n-k ocupará las líneas k+1, k+2, ... , n.

Calculemos el complemento algebraico del menor M k . Priorato,

A n-k =(-1) s METRO n-k, donde s=(1+2+...+k) +(1+2+...+k)= 2(1+2+...+k), entonces

(-1)s=1 y A nk = METRO n-k. Obtenemos

METRO k A nk = METRO k METRO n-k. (*)

Tomamos un término arbitrario del menor M k

donde s es el número de inversiones en la sustitución

y un término menor arbitrario M n-k

donde s * es el número de inversiones en la sustitución

Multiplicando (1) y (3), obtenemos

El producto consta de n elementos ubicados en diferentes filas y columnas del determinante D. En consecuencia, este producto es miembro del determinante D. El signo del producto (5) está determinado por la suma de las inversiones en las sustituciones (2) y (4), y se determina el signo de un producto similar en el determinante D número de inversiones s k en la sustitución

Es obvio que s k =s+s * .

Así, volviendo a la igualdad (*), obtenemos que el producto M k A n-k consta únicamente de los términos del determinante.

2. Sea M menor k ubicado en filas con números yo 1 , yo 2 , ..., yo k y en columnas con números j 1, j 2, ..., j k, y yo 1< i 2 < ...< i k Y j 1< j 2 < ...< j k .

Usando las propiedades de los determinantes, usando transposiciones moveremos el menor a la esquina superior izquierda. Obtenemos el determinante D ¢, en el cual el menor M k ocupa la esquina superior izquierda, y el menor adicional M¢ n-k es la esquina inferior derecha, entonces, según lo comprobado en el punto 1, obtenemos que el producto M k M¢ n-k es la suma de un cierto número de elementos del determinante D ¢, tomados con su propio signo. Pero D¢ se obtiene de D usando ( i 1 -1)+(i 2 -2)+ ...+(i k -k)=(i 1 + i 2 + ...+ i k)-(1+2+...+k) transposiciones de cuerdas y ( j 1 -1)+(j 2 -2)+ ...+(j k -k)=(j 1 + j 2 + ...+ j k)- (1+2+...+k) transposiciones de columnas. Es decir, todo estaba hecho.

(i 1 + i 2 + ...+ i k)-(1+2+...+k)+ (j 1 + j 2 + ...+ j k)- (1+2+...+k )= (i 1 + i 2 + ...+ i k)+ (j 1 + j 2 + ...+ j k)- 2(1+2+...+k)=s-2(1+2 +...+k). Por lo tanto, los términos de los determinantes D y D ¢ difieren en signo (-1) s-2(1+2+...+k) =(-1) s, por lo tanto, el producto (-1) s M k M¢ n-k estará formado por un cierto número de términos del determinante D, tomados con los mismos signos que tienen en este determinante.

teorema de laplace. Si en el determinante de n-ésimo orden elegimos arbitrariamente k filas (o k columnas) 1£k£n-1, entonces la suma de los productos de todos los menores de k-ésimo orden contenidos en las filas seleccionadas y sus complementos algebraicos es igual al determinante D .

Prueba

Elijamos líneas aleatorias yo 1 , yo 2 , ..., yo k y lo demostraremos

Anteriormente se demostró que todos los elementos en el lado izquierdo de la igualdad están contenidos como términos en el determinante D. Demostremos que cada término en el determinante D cae en solo uno de los términos. De hecho, todo ts parece t s =. si en este producto anotamos los factores cuyos primeros índices yo 1 , yo 2 , ..., yo k y componer su producto, entonces puede notar que el producto resultante pertenece al k-ésimo orden menor. En consecuencia, los términos restantes, tomados de las n-k filas y n-k columnas restantes, forman un elemento perteneciente al menor complementario y, teniendo en cuenta el signo, al complemento algebraico, por tanto, cualquier ts cae en solo uno de los productos, lo que prueba el teorema.

Consecuencia(teorema sobre la expansión del determinante en una fila) . La suma de los productos de los elementos de una determinada fila del determinante y los complementos algebraicos correspondientes es igual al determinante.

(Prueba como ejercicio.)

Teorema. La suma de los productos de los elementos de la i-ésima fila del determinante por los complementos algebraicos correspondientes a los elementos de la j-ésima fila (i¹j) es igual a 0.

Comentario. Es conveniente aplicar un corolario del teorema de Laplace a un determinante transformado usando propiedades de tal manera que en una de las filas (o en una de las columnas) todos los elementos excepto uno sean iguales a 0.

Ejemplo. Calcular determinante

12 -14 +35 -147 -20 -2= -160.