z =ƒ（x; y）を2つの変数xとyの関数とし、それぞれが独立変数tの関数です：x = x（t）、y = y（t）。 この場合、関数z = f（x（t）; y（t））は、1つの独立変数tの複素関数です。 変数xとyは中間変数です。

定理44.4。 z \u003dƒ（x; y）が点M（x; y）єDで微分可能関数であり、x \ u003d x（t）およびy \ u003d y（t）が独立変数tの微分可能関数である場合、次に、複素関数z（t）= f（x（t）; y（t））の導関数は次の式で計算されます。

独立変数tに増分Δtを与えましょう。 次に、関数x = x（t）とy = y（t）は、それぞれ増分ΔxとΔyを受け取ります。 次に、関数zがAzをインクリメントします。

条件により、関数z--ƒ（x; y）は点M（x; y）で微分可能であるため、その合計増分は次のように表すことができます。

ここで、a→0、β→0はΔх→0、Δу→0です（項目44.3を参照）。 式ΔzをΔtで除算し、Δt→0として極限に渡します。 次に、関数x = x（t）とy = y（t）の連続性により、Δх→0とΔу→0になります（定理の条件に従って、これらは微分可能です）。 我々が得る：

特殊なケース：z =ƒ（x; y）、ここでy = y（x）、つまりz =ƒ（x; y（x））は1つの独立変数xの複素関数です。 このケースは前のケースに還元され、xが変数tの役割を果たします。 式（44.8）によると、次のようになります。

式（44.9）は全微分式と呼ばれます。

一般的なケース：z =ƒ（x; y）、ここでx = x（u; v）、y = y（u; v）。 その場合、z = f（x（u; v）; y（u; v））は、独立変数uとvの複素関数です。 その偏導関数は、次の式（44.8）を使用して見つけることができます。 vを修正したら、対応する偏導関数に置き換えます

同様に、次のようになります。

したがって、各独立変数（uおよびv）に関する複素関数（z）の導関数は、その中間変数（xおよびy）に関するこの関数（z）の偏導関数の積の合計に等しくなります。 ）および対応する独立変数（uおよびv）に関するそれらの導関数。

例44.5。 z = ln（x 2 + y 2）、x = u v、y = u/vであるかどうかを調べます。

解決策：式（44.10）を使用してdz / du（dz / dv-独立して）を見つけます。

結果の等式の右側を単純化します。

40. いくつかの変数の関数の偏導関数と全微分。

関数z=ƒ（x; y）が与えられるとします。 xとyは独立変数であるため、一方は変更できますが、もう一方は変更されません。 yの値を変更せずに、独立変数xに増分Δxを与えましょう。 次に、zは、xのzの部分増分と呼ばれる増分を受け取り、∆xzで表されます。 それで、

Δxz\u003dƒ（x+Δx;y）-ƒ（x; y）。

同様に、yに関してzの部分的な増分を取得します。

Δyz\u003dƒ（x; y +Δy）-ƒ（x; y）。

関数zの合計増分Δzは等式によって定義されます

Δz\u003dƒ（x+Δx;y +Δy）-ƒ（x; y）。

制限がある場合

次に、変数xに関する点M（x; y）での関数z \u003dƒ（x; y）の偏導関数と呼ばれ、記号の1つで示されます。

点M0（x 0; y 0）でのxに関する偏導関数は、通常、記号で表されます。

変数yに関するz\u003dƒ（x; y）の偏導関数は、同様の方法で定義および示されます。

したがって、いくつか（2、3、またはそれ以上）の変数の関数の偏導関数は、残りの独立変数の値が一定であることを条件として、これらの変数の1つの関数の導関数として定義されます。 したがって、関数ƒ（x; y）の偏導関数は、1つの変数の関数の導関数を計算するための式と規則に従って求められます（この場合、それぞれxまたはyは定数値と見なされます）。

例44.1。 関数z=2y + ex2-y+1の偏導関数を見つけます。 解決：

2つの変数の関数の偏導関数の幾何平均

関数z\u003dƒ（x; y）のグラフは、特定の表面です（12.1項を参照）。 関数z\u003dƒ（x; y 0）のグラフは、この表面と平面y \ u003dyoとの交線です。 1つの変数の関数の導関数の幾何学的意味に基づいて（20.2節を参照）、ƒ "x（xo; yo）\ u003d tg aと結論付けます。ここで、aはOx軸と点Mo（xo; yo;ƒ（xo; yo））での曲線z \u003dƒ（x; y 0）（図208を参照）。

同様に、f "y（x 0; y 0）\u003dtgβ。

関数Z=f（x、y）は、その合計増分ΔZがΔz= A∙Δx+B∙Δy+ω（Δx、Δy）として表すことができる場合、点P（x、y）で微分可能と呼ばれます。ここでΔxおよびΔy–点P、A、およびBの近傍での対応する引数xおよびyの増分は一定です（Δx、Δyに依存しない）。

ω（Δx、Δy）は、距離よりも微小な高次です。

関数がある点で微分可能である場合、その点でのその合計増分は2つの部分で構成されます。

1.関数A∙Δx+B∙Δyの増分の主要部分は、Δx、Δyに対して線形です。

2.そして非線形ω（Δx、Δy）-増分の主要部分よりも微小に高い次数。

Δx、Δyに関して線形である関数の増分の主要部分は、この関数の全微分と呼ばれ、次のように表されます。Δz=A∙Δx+B∙Δy、Δx=dxおよびΔy=dy または2つの変数の関数の全微分：

ディファレンシャルを表示します。 1つの変数の数値関数の微分と導関数。 微分テーブル。 差別化可能性。 ）は引数の関数であり、→0のように無限に小さい、つまり、

ここで、ある点での微分可能性と同じ点での導関数の存在との関係を明らかにしましょう。

定理. 機能のために f(バツ）与えられた時点で微分可能でした バツ 、この時点で有限導関数を持つことが必要十分です。

微分テーブル。

複雑な機能の差別化

関数をしましょう n-変数引数は変数の関数でもあります：

複合関数の微分に関する次の定理は有効です。

定理8。関数が点で微分可能であり、関数が対応する点で微分可能である場合、ここで、、。 次に、複素関数はその点で微分可能であり、偏導関数は次の式で決定されます。

ここで、偏導関数は点で計算され、点で計算されます。

ƒ2つの変数の関数についてこの定理を証明しましょう。 、、しましょう。

とを引数の任意の増分とし、点で。 それらは、関数の増分とポイントに対応します。 増分し、点での関数の増分に対応します。 点で微分可能であるため、その増分は次のように記述できます。

ここで、およびはポイント、at、およびで計算されます。 関数の差別化とその時点で、次のようになります。

ここで、はポイントで計算されます; 。

（14）を（13）に置き換え、用語を並べ替えます

、として、およびはゼロになる傾向があることに注意してください。 これは、とで微小であるという事実に由来します。 しかし、関数とは微分可能であるため、その時点で連続です。 したがって、および、の場合、。 その後、で。

偏導関数はその点で計算されるので、次のようになります。

示す

これは、変数と、、およびに関して微分可能であることを意味します。

結果。、、、の場合、つまり 、次に変数に関する導関数 t式によって計算されます

の場合、

最後の式は呼び出されます 全微分式多くの変数の関数のために。

例。 1）関数の全導関数を求めます。ここで、、。

解決.

2）、の場合、関数の全導関数を求めます。

解決.

複素関数の微分の法則を使用して、多くの変数の関数の微分の1つの重要なプロパティを取得します。

独立変数が関数の場合、微分は定義上次のようになります。

ここで、引数を変数に関して関数のある時点で微分可能関数とし、関数を変数に関して微分可能にします。 次に、それは変数の複素関数と見なすことができます。 前の定理により、それは微分可能であり、関係は成り立つ

ここで、式（12）によって決定されます。 （12）を（17）に代入し、で係数を収集すると、次のようになります。

導関数の係数は関数の微分に等しいので、複素関数の微分について式（16）が再び得られました。

したがって、最初の微分方程式は、その引数が関数であるかどうか、またはそれらが独立しているかどうかに依存しません。 このプロパティはと呼ばれます 最初の微分の形の不変性。

テイラー式（29）は、次のように書くこともできます。

ƒ証明は、2つの変数またはの関数に対して実行されます。

まず、1つの変数の関数について考えてみましょう。 ポイントの近傍で時間を微分可能にしましょう。 ラグランジュ式の剰余項を持つ1つの変数の関数のテイラー式は次のようになります。

は独立変数なので、。 1つの変数の関数の微分の定義による

を表すと、（31）は次のように書くことができます。

ある点とその中の任意の点の近傍を考えて、点と直線セグメントを接続します。 この線の座標と点がパラメータの線形関数であることは明らかです。

直線セグメントでは、関数はパラメータの複素関数です。 さらに、それはに関して微分可能であり、テイラー式（32）は次の場合に有効です。

式（32）の微分は、複素関数の微分です。ここで、、、、、、

（33）を（32）に代入し、それを考慮に入れると、

（34）の最後の項は、のテイラー式の剰余と呼ばれます。 ラグランジュフォーム

定理の仮定の下で、関数がある点で微分可能である場合、証明なしで注意します。 mの場合、剰余項は次のように書くことができます。 ピーノフォーム:

第7章

7.1。 スペース Rn。線形空間に設定します。

要素がすべてからの順序集合であるセット n表示され、呼び出される実数 n次元の算術空間、および数 nと呼ばれる 空間の次元。セットの要素はと呼ばれます 空間内の点、またはベクトル、と数字 座標この点。 ポイント=（0、0、…0）は呼び出されます ゼロまたは原点。

スペースは実数のセットです。 -数直線; およびは、それぞれ2次元座標の幾何学的平面と3次元座標の幾何学的空間です。 ベクトル、、、…はと呼ばれます 単一ベース。

セットの2つの要素について、要素の合計と実数による要素の積の概念が定義されています。

明らかに、この定義と実数の特性により、等式は真です。

これらの特性によると、空間はまた呼ばれます 線形（ベクトル）スペース。

線形空間で定義されます スカラー積要素と次のルールに従って計算された実数として：

番号は呼ばれます ベクトルの長さまた 規範。 ベクトルと呼ばれる 直交、 もしも 。 価値

, )= │ - │ =

と呼ばれる 要素間の間隔と .

およびがゼロ以外のベクトルの場合、 コーナーそれらの間は次のような角度と呼ばれます

任意の要素と実数に対して、スカラー積が実行されることを確認するのは簡単です。

式（1）で定義された内積を持つ線形空間は次のように呼ばれます。 ユークリッド空間。

ポイントと。 不等式が成立するすべての点のセット

と呼ばれる n -測定キューブエッジがあり、ポイントを中心にしています。 たとえば、2次元の立方体は、辺の中心が。である正方形です。

不等式を満たす点の集合はと呼ばれます nボールを中心とする半径。これは、とも呼ばれます。

- ポイントの近くで、を示します、

したがって、1次元のボールは長さの間隔です。 2Dボール

不等式の円があります

定義1。 セットは呼ばれます 限定、存在する場合
nこのセットを含むボールです。

定義2。 自然数のセットで定義され、に属する値をとる関数が呼び出されます 順序空間内にあり、で表されます。ここで、。

定義3。 ポイントは呼ばれます シーケンス制限、任意の正の数に対して、不等式が任意の数に当てはまるような自然数が存在する場合。

象徴的に、この定義は次のように書かれています。

指定：

定義3から、、については次のようになります。 このようなシーケンスはと呼ばれます 収束に 。

シーケンスがどのポイントにも収束しない場合、それは呼び出されます 発散.

定理1。シーケンスがポイントに収束するためには、任意の数、つまり、 シーケンスする 私-収束した点のx座標 私-点の-番目の座標。

□ 証明は不等式から続く

シーケンスは呼び出されます 限定、その値のセットが制限されている場合、つまり

数列のように、点の収束シーケンスは有界であり、単一の制限があります。

定義4。 シーケンスは呼び出されます 基本的(コーシー列), 任意の正の数の場合、任意の自然数に対して、、、よりも大きい自然数を指定できます。

定理2（コーシー基準）。 シーケンスが収束するためには、それが基本的であることが必要かつ十分です。

□必要性。点に収束しましょう。 次に、に収束するシーケンスを取得します。 。 。 、…、Xは呼ばれます 領域の 。 もしも バツ -エリア、そしてその閉鎖は呼ばれます 閉鎖区域.

セット バツと Yと呼ばれる 分離可能、それらのいずれにも他のタッチポイントが含まれていない場合。

沢山の バツと呼ばれる 関連している 2つの分離可能なセットの和集合として表すことができない場合。

沢山の バツと呼ばれる 凸 , そのポイントのいずれか2つが、このセットに完全に属するセグメントによって接続できる場合。

例. 上記の定義に基づいて、それは次のように主張することができます

–接続された、線形に接続された、開いた、非凸集合は、領域です。

–接続、線形接続、非オープン、非凸集合は、ドメインではありません。

–接続されていない、線形に接続されていない、開いている、凸でないセットは、領域ではありません。

–接続されていない、線形に接続されていない、オープンセット、ドメインではない。

–接続された、線形に接続された、オープンセットはドメインです。

例。 かどうか、どこで。

解決。 式（1）によると、次のようになります。

例。 次の場合、偏導関数と全導関数を見つけます .

解決。 。

式（2）に基づいて、次のようになります。 .

2°. いくつかの独立変数の場合。

なりましょう z = f（x; y）- 2つの変数の関数 バツと y、それぞれが関数です

独立変数 t：x = x（t）、y = y（t）。この場合、関数 z = f（x（t）; y（t））は

1つの独立変数の複素関数 t;変数 xとyは中間変数です。

定理。 もしも z == f（バツ; y）-ある時点で微分可能 M（x; y）D関数

と x = x（t）と で =y（t）-独立変数の微分可能関数 t、

次に、複素関数の導関数 z（t） == f（x（t）; y（t））式によって計算されます

(3)

特別な場合：z = f（x; y）、ここで、y = y（x）、それらの。 z = f（x; y（x））-の複雑な機能

独立変数 バツ。このケースは前のケースに還元され、変数の役割

t演劇 バツ。式（3）によると、次のようになります。

.

最後の式はと呼ばれます 全微分の公式。

一般的なケース：z = f（x; y）、どこ x = x（u; v）、y = y（u; v）。次にz= f（x（u; v）; y（u; v））-繁雑

独立変数の関数 とと v。その偏導関数は見つけることができます

式（3）を次のように使用します。 修正 v、その中で交換してください

対応する偏導関数

したがって、各独立変数に関する複合関​​数（z）の導関数 （とと v）

中間体に関するこの関数の偏導関数（z）の積の合計に等しい

変数 （xとy）対応する独立変数に関するそれらの導関数に （uおよびv）。

考慮されるすべての場合において、式

（全微分の不変性の特性）。

例。 z=を見つけて f（x、y）、ここでx = uv 、。

定理。なりましょう u = f（x、y）ドメインDで与えられ、 x = x（t）と y = y（t）エリアで定義 , そしていつ , 次に、xとyは領域Dに属します. 関数uを点Mで微分可能とします。 0 (バツ 0 ,y 0 ,z 0)、および関数x（t） とで（t） 対応する点tで微分可能 0 、次に複素関数u = f[バツ(t),y(t)]= F (t)tで微分可能 0 そして、次の等式が成り立ちます。

.

証拠。 uはその点で条件付き微分可能であるため（ バツ 0 , y 0）の場合、その合計増分は次のように表されます。

この比率をで割ると、次のようになります。

で限界に達し、式を取得しましょう

.

備考1。もしも u= u(x、y） と バツ= バツ, y= y(バツ）、次に関数の全導関数 u変数による バツ

また .

最後の等式は、形式で暗黙的に与えられた1つの変数の関数を区別するための規則を証明するために使用できます。 F(バツ, y）= 0、ここで y= y(バツ）（トピック番号3および例14を参照）。

我々は持っています： 。 ここから . (6.1)

トピック番号3の例14に戻りましょう。

;

.

ご覧のとおり、答えは同じです。

備考2。なりましょう u = f (x、y）、 どこ バツ= バツ(t 、v), で= で(t 、v）。 その場合、uは最終的に2つの変数の複素関数になります tと v。 今なら関数uはある点で微分可能です M 0 (バツ 0 , y 0）、および関数 バツと で対応する点で微分可能です（ t 0 , v 0）、それから私達はに関して偏導関数について話すことができます tと vある点での複素関数から（ t 0 , v 0）。 しかし、指定された点でのtに関する偏導関数について話している場合、2番目の変数vは定数であり、次のようになります。 v 0。 したがって、tに関する複素関数の導関数についてのみ話しているので、導関数を使用できます。 したがって、取得します。

関数z--f（x、y）をxOy平面上の定義域Dで定義します。 領域Dから内部点（x、y）を取り、点（x + Ax、y）6 Dとなるようにxに増分Axを与えましょう（図9）。 値をxに対する関数zの部分的な増分と呼びましょう。 比率を作成する特定のポイント（x、y）について、この比率は定義の関数です。 Ax-* 0の場合、関係^に有限の制限がある場合、この制限は、点（x、y）での独立変数xに関する関数z = /（x、y）の偏導関数と呼ばれます。記号jfc（または/ i（x、jj）、またはz "x（x、同じように、定義により、または、同じである場合、類似してn個の独立変数の関数である場合は注意Arzは変数yの値を変更せずに計算され、Atzは変数xの値を変更せずに計算されるため、偏導関数の定義は次のように定式化できます。偏導関数2つの変数の関数の偏導関数の幾何学的意味いくつかの変数の関数関数の微分可能性に必要な条件いくつかの変数の関数の微分可能性に十分な条件偏微分。）yが定数であると仮定して計算された、xに関するこの関数の偏微分と呼ばれます。関数z-/（xのyに関する偏導関数 、y）は、xが定数であるという仮定の下で計算された、yに関する導関数です。 したがって、偏導関数を計算するための規則は、1つの変数の関数に対して証明された規則と一致します。 例。 関数の偏導関数を見つける4置換*があります。 すべての引数に関する偏導関数の特定の点に関数y=/（x、y）が存在することは、この点での関数の連続性を意味するものではありません。 したがって、関数は点0（0,0）で連続ではありません。 ただし、この時点で、この関数はxとyに関して偏導関数を持っています。 これは、/（x、0）= 0および/（0、y）= 0であるため、2つの変数の関数の偏導関数の幾何学的意味に由来します。3次元空間の表面Sをここで、f（x、y）は関数であり、あるドメインDで連続であり、そこでxとyに関して偏導関数を持ちます。 点f（x0）yo）が表面z = f（x）y）に対応する点Mo（x0、y0）6Dでのこれらの導関数の幾何平均を調べてみましょう。 点M0で偏導関数を見つけるとき、zは引数xの関数のみであり、引数yは定数値y \ u003d yoを保持すると仮定します。つまり、関数fi（x）は曲線Lで幾何学的に表されます。 、それに沿って、表面Sは平面y\u003dと約で交差します。 1つの変数の関数の導関数の幾何平均により、f \（xo）= tg a、ここでaは、Ox軸を持つ点JV0での線Lの接線によって形成される角度です（図10）。 。 しかし、したがって、偏導関数（$ |）は、Ox軸間の角度aの接線と、表面z \ u003d /（x、y）のセクションで得られた曲線の点N0での接線に等しくなります。同様に、§6を取得します。 いくつかの変数の関数の微分可能性関数z=/（x、y）をxOy平面上の定義域Dで定義します。 点（x、y）€Dを取り、選択した値xとyにAxとDyの増分を与えますが、その点はそのようになります。 意味。 関数r=/（x、y）は、引数の増分Dx、Dyに対応するこの関数の合計増分がAとBのように表される場合、微分可能*点（x、y）€2Eと呼ばれます。 DxとDyに依存しません（ただし、一般にxとyに依存します）が、a（Ax、Dy）とf（Ax、Dy）は、AxとDyがゼロになる傾向があるため、ゼロになる傾向があります。 。 関数z=/（x、y）が点（x、y）で微分可能である場合、関数の増分の部分A Dx 4-VDyは、DxとDyに関して線形であり、全微分と呼ばれます。点（x、y）でのこの関数の、記号dzで示されます：タニムウェイ、例。 r = x2+y2とします。 任意の時点（r、y）で、任意のDxとDyに対してここにあります。 したがって、AxとDyがゼロになる傾向があるため、aと/3はゼロになる傾向があります。 定義上、この関数はxOy平面の任意の点で微分可能です。 ここで、私たちの推論では、増分Dx、Dyが別々に、または両方が同時にゼロに等しい場合を正式に除外しなかったことに注意してください。 式（1）を導入すると、よりコンパクトに記述できます（点間の距離（これを使用すると、式をeで囲んで表すと、cはJ、Duに依存し、次の場合はゼロになる傾向があります）。 J0とDy0、または簡単に言えば、p0の場合。関数z= f（xt y）が点（x、y）で微分可能であるための条件を表す式（1）は、次のように記述できます。したがって、上記の例6.1で。定理4.関数r = f（x、y）がある時点で微分可能である場合、その点で連続的です。4関数r = f（x、y）が微分可能である場合点（x、y）で、この点での関数iの増分の合計 "" eは、引数の増分jとdyに対応し、/（x、y）が連続であると表すことができます。 関数z=/（x、y）を点（x、y）で微分可能とします。 次に、引数の増分Dx、Ayに対応するこの関数の増分Dxは、（1）の形式で表すことができます。 等式（1）DxФ0、Dn \ u003d 0をとると、次のようになります。最後の等式の右側では、値Aは依存しないため、これは、点（x、y）にxに関する関数r\u003d /（x、y）の偏導関数、および同様の理由により、（x、関数zуの偏導関数があり、定理から次のようになります。 5は、点（x、y）でのみ偏導関数の存在を主張しますが、それらの連続性については何も述べていません。6.2いくつかの変数の関数の微分可能性の十分な条件よく知られているように、点xoでの1つの変数の関数y=f（x）は、点x0での有限の導関数/ "（x）の存在です。関数が複数の変数に依存する場合、状況ははるかに複雑になります。 ：2つの独立変数x、yの関数z = /（x、y）の微分可能性に必要かつ十分な条件はありません;lがあります 必要な条件を探します（cf. 上記）および個別に-十分です。 いくつかの変数の関数の微分可能性のためのこれらの十分条件は、次の定理によって表されます。 定理c。 関数が細い線（xo、y0）の近傍に偏導関数/£とf "vを持ち、これらの導関数が点（xo、y0）自体で連続している場合、関数z = f（x、y ）はその点で微分可能です（x-例関数を考えます偏導関数2つの変数の関数の偏導関数の幾何学的意味いくつかの変数の関数の微分可能性関数の微分可能性に必要な条件いくつかの変数の関数の微分可能性のための十分な条件合計微分偏微分複雑な関数の導関数それはどこでも定義されます偏導関数の定義に基づいて、私たちが見つけた点0（0、0）でこの関数の™があり、これの増分はシャープになります。0とDu0。 D0を入力します。次に、式（1）から次のようになります。したがって、関数/（x、y）\ u003dは、この時点でfaとf "rを生成しますが、点0（0、0）では微分できません。取得 結果は、導関数f"zとf"tが§7の時点で不連続であるという事実によって説明されます。 フルディファレンシャル。 偏微分関数r--f（z> y）が微分可能である場合、その最後の微分dzはそれらの増分です。その後、関数の全微分の式は例を取ります。 i-1l（x + y2）とします。 同様に、u =）がn個の独立変数の微分可能関数である場合、式は変数xに関する関数z = f（x、y）の微分微分と呼ばれます。 この式は、変数yの関数z = /（x、y）の偏微分と呼ばれます。 式（3）、（4）、および（5）から、関数の全微分はその偏微分の合計であることがわかります。一般的に言えば、関数z = /（x、y）の全増分Azに注意してください。 、は部分的な増分の合計と等しくありません。 ある点（x、y）で、関数z = /（x、y）が微分可能であり、この点で微分dzΦ0である場合、その合計増分は、最後の項aAx4の合計によってのみ線形部分と異なります。 -/？0およびAy-> Oは、線形部分の項よりも高次の微小です。 したがって、dzФ0の場合、微分可能関数の増分の線形部分は関数の増分の主要部分と呼ばれ、より正確になる近似式が使用され、の増分の絶対値は小さくなります。引数。 §8。 複素関数の導関数1.関数をxOy平面上のドメインDで定義し、変数x、yのそれぞれが引数tの関数であるとします。間隔（対応する点（x、y）はドメインDの外に出ません。値を関数z = /（x、y）に代入すると、1つの変数tの複素関数が得られます。対応する値について、関数/（x、y）は微分可能であり、点tでの複素関数は導関数を持ち、M tに増分Dtを与えます。次に、xとyはいくつかの増分AxとDyを受け取ります。その結果、（J）2 +（Dy）2 ∆ 0の場合、関数zは増分Dtも受け取ります。これは、関数z = /（x、y）の点（x、 y）は次のように表すことができます。a）AxとDuはゼロになる傾向があるため、a）はゼロになる傾向があります。 aを設定することにより、Ax = Ay =0のaと/3の定義を拡張します。次にa（J = Dy = 0の場合、a（は連続になります。導関数^および点£では、関数x = y（t）およびy =はこの点で連続であるため、0ではJとDyの両方がゼロになる傾向があり、これによりa（Ax、Dy）が必要になります。 P（Ax、Ay）はゼロになる傾向があります。したがって、0での等式（2）の右辺の限界は次のようになります。したがって、（2）の左辺の限界はAt0に存在します。 、 e。等式（2）を-»0として限界まで渡すと、必要な式が得られます。特定の場合、結果としてzがxの複素関数である場合、xに対して、y）が得られます。引数yが式/（x、y）の定数と見なされる計算。 そして、独立変数xに関する関数zの全導関数があり、その計算では、式/（x、y）のyは定数とは見なされなくなりますが、xの関数と見なされます。 ：y = tp（x）tであるため、zの依存性が完全に考慮されます。 例。 2の場合は検索してjgします。ここで、いくつかの変数の複素関数の微分について考えてみましょう。 次に、点（（）に連続偏導関数u、3？があり、対応する点（x、y）に関数f（x、y）が微分可能であると仮定します。これらの条件下で、点t7）での複素関数z = z（（）y）は導関数とuを持ち、これらの導関数の式を見つけます。 このケースは、すでに調査したケースと大きく異ならないことに注意してください。 実際、zが£に関して微分されるとき、2番目の独立変数rjは定数と見なされ、その結果、xとyはこの操作で同じ変数x "= c）、y = c）の関数になります。導関数Φの問題は、式（3）の導出における導関数の問題とまったく同じ方法で解かれます。式（3）を使用し、その中の導関数gと^をそれぞれ導関数uとに置き換えます。複雑な関数が「式によって指定され、適切な条件が満たされる場合、次のようになります。特定の場合、And=where偏導関数2つの変数の関数の偏導関数の幾何学的意味複数の変数の関数の微分可能性関数の微分可能性に必要な条件複数の変数の関数の微分可能性に必要な条件完全な微分部分的な微分複雑な関数の導関数がありますここで、mは関数の偏導関数の合計です。 独立変数xに関しては、z = z（x、y）を含む、xへの完全な依存性を考慮に入れて、