Нехай z=ƒ(х;у) - функція двох змінних х та у, кожна з яких є функцією незалежної змінної t: х = x(t), у = y(t). У цьому випадку функція z = f(x(t); y(t)) є складною функцією однієї незалежної змінної t; змінні х та у - проміжні змінні.

Теорема 44.4. Якщо z = ƒ(х;у) - диференційована в точці М(х;у) є D функція і х = x(t) та у = y(t) - диференційовані функції незалежної змінної t, то похідна складної функції z(t ) = f(x(t); y(t)) обчислюється за формулою

Дамо незалежній змінній t приріст Δt. Тоді функції х = = x(t) і у = y(t) отримають збільшення Δх і Δу відповідно. Вони, своєю чергою, викличуть збільшення Az функції z.

Оскільки за умовою функція z - ƒ(х;у) диференційована у точці М(х; у), її повне прирощення можна у вигляді

де а→0, β→0 при Δх→0, Δу→0 (див. п. 44.3). Розділимо вираз Δz на Δt і перейдемо до межі при Δt→0. Тоді Δх→0 і Δу→0 через безперервність функцій х = x(t) і у = y(t) (за умовою теореми - вони диференційовані). Отримуємо:

Частковий випадок: z = f (х; у), де у = у (х), тобто z = f (х; у (х)) - складна функція однієї незалежної змінної х. Цей випадок зводиться до попереднього, причому роль змінної t грає х. Відповідно до формули (44.8) маємо:

Формула (44.9) зветься формули повної похідної.

Загальний випадок: z=ƒ(х;у), де x=x(u;v), у=у(u;v). Тоді z = f (x (u; v); y (u; v)) - складна функція незалежних змінних u і v. Її приватні похідні можна знайти, використовуючи формулу (44.8) в такий спосіб. Зафіксувавши v, замінюємо у ній відповідними приватними похідними

Аналогічно отримуємо:

Таким чином, похідна складної функції (z) по кожній незалежній змінній (u і v) дорівнює сумі творів приватних похідних цієї функції (z) за її проміжними змінними (х та у) на їх похідні за відповідною незалежною змінною (u та v).

Приклад 44.5. Знайти якщо z = ln (x 2 + 2), х = u v, у = u / v.

Рішення: Знайдемо dz/du (dz/dv – самостійно), використовуючи формулу (44.10):

Спростимо праву частину набутої рівності:

40. Приватні похідні та повний диференціал функції кількох змінних.

Нехай задана функція z = ƒ (х; у). Так як х і у – незалежні змінні, то одна з них може змінюватися, а інша зберігати своє значення. Дамо незалежній змінній х приріст Δх, зберігаючи значення у незмінним. Тоді z отримає збільшення, яке називається приватним збільшенням z по х і позначається ∆ х z. Отже,

Δ х z=ƒ(х+Δх;у)-ƒ(х;у).

Аналогічно отримуємо приватне збільшення z по у:

Δ у z=ƒ(x;у+Δу)-ƒ(х;у).

Повне збільшення Δz функції z визначається рівністю

Δz = ƒ(х + Δх; у + Δу) - ƒ(х; у).

Якщо існує межа

то він називається приватною похідною функції z = ƒ (х; у) у точці М(х; у) по змінній х і позначається одним із символів:

Приватні похідні по х у точці М 0 (х 0; у 0) зазвичай позначають символами

Аналогічно визначається і позначається приватна похідна від z = ƒ (х; у) по змінній у:

Таким чином, приватна похідна функції кількох (двох, трьох і більше) змінних визначається як похідна функції однієї з цих змінних за умови сталості значень інших незалежних змінних. Тому приватні похідні функції ƒ(х;у) знаходять за формулами і правилами обчислення похідних функції однієї змінної (при цьому відповідно х або вважається постійною величиною).

Приклад 44.1. Знайти приватні похідні функції z = 2у + е х2-у +1. Рішення:

Геометричний сенс приватних похідних функції двох змінних

Графіком функції z = ƒ (х; у) є деяка поверхня (див. п. 12.1). Графік функції z = ƒ (х; у 0) є лінія перетину цієї поверхні з площиною у = у о. Виходячи з геометричного сенсу похідної для функції однієї змінної (див. п. 20.2), укладаємо, що ? (х; у 0) у точці Мо(хо;уо; ƒ(хо;уо)) (див. рис. 208).

Аналогічно, f"y (х 0; у 0) = tgβ.

Функція Z=f(x,y) називається диференційованою в точці P(x,y), якщо її повне приріст ΔZ можна представити у вигляді Δz = A∙Δx+B∙Δy+ω(Δx,Δy), де Δx та Δy – будь-які прирости відповідних аргументів x і y в деякій околиці точки Р, А та В – постійні (не залежать від Δx,Δy),

ω(Δx,Δy) – нескінченно мале вищого порядку, ніж відстань:

Якщо функція диференційована в точці, її повне прирощення у цій точці і двох частин:

1. Головну частину збільшення функції A∙Δx+B∙Δy – лінійне щодо Δx,Δy

2. І нелінійне ω(Δx,Δy) – нескінченно мале вищого порядку, ніж головна частина збільшення.

Головна частина збільшення функції – лінійна щодо Δx,Δy називається повним диференціалом цієї функції та позначається:Δz = A∙Δx+B∙Δy, Δx=dx та Δy=dy або повний диференціал функції двох змінних:

Диференціал відображення. Диференціал та похідна числової функції однієї змінної. Таблиця похідних. Диференційність. ) – функція аргументу , що є нескінченно малою за →0, тобто.

З'ясуй тепер зв'язок між диференційованістю в точці і існуванням похідної в тій же точці.

Теорема. Для того, щоб функція f(x) була диференційованою в даній точці х необхідно, і достатньо, щоб вона мала в цій точці кінцеву похідну.

Таблиця похідних.

Диференціювання складних функцій

Нехай для функції n- Змінні аргументи є також функціями змінних:

Справедлива наступна теорема про диференціювання складної функції.

Теорема 8.Якщо функції диференційовані у точці , а функція диференційована у точці , де , . Тоді складна функція диференційована в точці, причому приватні похідні визначаються за формулами

де приватні похідні обчислюються у точці, а обчислюються у точці.

§ Доведемо цю теорему для функції двох змінних. Нехай, а.

Нехай і довільні збільшення аргументів і в точці. Їм відповідають збільшення функцій і в точці. Приріст і відповідає прирощення функції в точці. Так як диференційована в точці, то її прирост може бути записано у вигляді

де і обчислюються в точці, при і. Через диференційність функцій і в точці , отримуємо

де обчислюється в точці; .

Підставимо (14) в (13) і перегрупуємо доданки

Зауважимо, що з , оскільки прагнуть до нуля при . Це випливає з того, що нескінченно малі при . Але функції і диференційовані, отже, і безперервні у точці . Тому якщо і, то. Тоді і за .

Так як приватні похідні обчислюються в точці, то отримуємо

Позначимо

а це і означає, що диференційована за змінними і , причому

Наслідок.Якщо, причому,, тобто. , то похідна за змінною tобчислюється за формулою

Якщо то

Останній вираз називається формулою повної похідноїдля функції багатьох змінних.

приклади. 1) Знайти повну похідну функції , де , .

Рішення.

2) Знайти повну похідну функції , якщо , .

Рішення.

Використовуючи правила диференціювання складної функції, отримаємо одну важливу властивість диференціала функції багатьох змінних.

Якщо незалежні змінні функції, то диференціал за визначенням дорівнює:

Нехай тепер аргументи є функції, що диференціюються в деякій точці функції по змінним, а функція диференційована по змінним, . Тоді можна як складну функцію змінних , . Вона за попередньою теоремою диференційована і має місце співвідношення

де визначається за формулами (12). Підставимо (12) в (17) і, збираючи коефіцієнти при , отримаємо

Оскільки коефіцієнт при похідній дорівнює диференціалу функції , то диференціала складної функції отримали знову формулу (16).

Таким чином, формула першого диференціала не залежить від того, чи є її аргументи функціями, чи вони є незалежними. Цю властивість називають інваріантністю форми першого диференціалу.

Формулу Тейлора (29) також можна записати у вигляді

§ Доказ проведемо для функції двох змінних або .

Спочатку розглянемо функцію однієї змінної. Нехай раз диференційована на околиці точки. Формула Тейлора для функції однієї змінної із залишковим членом у формулі Лагранжа має

Оскільки – незалежна змінна, то . За визначенням диференціала функції однієї змінної

Якщо позначити , то (31) можна записати як

Розглянемо деяку - околицю точки і в ній довільну точку і з'єднаємо точки та відрізком прямої лінії. Ясно, що координати та точок цієї прямої є лінійними функціями параметра .

На відрізку прямої функція є складною функцією параметра. У цьому вона раз диференційована на і справедлива формула Тейлора (32), де , тобто.

Диференціали у формулі (32) є диференціали складної функції , де , , , тобто.

Підставляючи (33) в (32) та враховуючи, що , отримуємо

Останнє доданок (34) називають залишковим членом формули Тейлора в формі Лагранжа

Без доказу зазначимо, що й у умовах теореми функція диференційована у точці mраз, то залишковий член можна записати в формі Пеано:

Глава 7. Функції кількох змінних

7.1. Простір R n.Безліч у лінійному просторі.

Безліч, елементами якого є всілякі впорядковані набори nдійсних чисел , позначається і називається n-мірним арифметичним простором,а число nназивається розмірністю простору.Елемент множини називається точкою простору, або вектор,а числа координатамицієї точки. Крапка =(0, 0, …0) називається нульової або початком координат.

Простір є безліч дійсних чисел, тобто. - Чисельна пряма; і – є двовимірна координатна геометрична площина та тривимірний координатний геометричний простір відповідно. Вектори , , …, називаються одиничним базисом.

Для двох елементів , множини визначаються поняття суми елементів та добутку елемента на дійсне число:

Очевидно, що і в силу цього визначення та властивостей дійсних чисел справедливі рівність:

Згідно з цими властивостями, простір називається також лінійним (векторним)простором.

У лінійному просторі визначається скалярний добутокелементів і як дійсне число, яке обчислюється за таким правилом:

Число називається довжиною вектораабо нормою. Вектори і називаються ортогональнимиякщо . Величина

, )= │ - │ =

називається відстанню між елементамиі .

Якщо й ненульові вектори, то кутомміж ними називається кут , такий, що

Легко переконатися, що для будь-яких елементів і дійсного числа виконуються скалярні твори:

Лінійний простір з визначеним у ньому за формулою (1) скалярним твором називається евклідовим простором.

Нехай точка та . Безліч всіх точок для яких виконуються нерівності

називається n -мірним кубомз ребром і з центром у точці. Наприклад, двовимірний куб є квадрат зі стороною з центром у точці .

Безліч точок, що задовольняють нерівності, називаються n-мірною кулеюрадіуса з центром у точці, який також називають

- околицею точкиі позначають ,

Таким чином, одномірний шар є інтервал довжиною . Двовимірна куля

є коло, для якого виконується нерівність

Визначення 1. Безліч називається обмеженимякщо існує
n- мірна куля, що містить цю множину.

Визначення 2. Функція, задана на безлічі натуральних чисел і приймає значення, що належать , називається послідовністюу просторі та позначається , де .

Визначення 3. Крапка називається межею послідовностіякщо для довільного позитивного числа існує натуральне число, таке для будь-якого числа виконується нерівність.

Символічно це визначення записується так:

Позначення:

З визначення 3 випливає, що при . Така послідовність називається схожійдо.

Якщо послідовність не є схожою до жодної точки, то вона називається розходиться.

Теорема 1.Щоб послідовність сходилася до точки необхідно і достатньо, щоб будь-якого номера виконувалося , тобто. щоб послідовність i- х координат точок сходилася до i- й координаті точки.

□ Доказ випливає з нерівностей

Послідовність називається обмеженою, Якщо безліч її значень обмежена, тобто.

Як і числова послідовність, послідовність точок, що сходяться, обмежена і має єдину межу.

Визначення 4. Послідовність називається фундаментальної(послідовністю Коші), якщо будь-якого позитивного числа можна назвати таке натуральне число, що з довільних натуральних чисел і, великих, виконується, тобто.

Теорема 2(Критерій Коші). Для того щоб послідовність була схожою, необхідно і достатньо, щоб вона була фундаментальною.

□ Необхідність.Нехай сходить до точки. Тоді отримуємо послідовність, що сходить до. . . , …, Х називають областюв. Якщо Х -область, то її замикання називають замкненою областю.

Безліч Xі Yназивають відокремленимиякщо жодна з них не містить точок дотику іншого.

Безліч Хназивають пов'язанимякщо воно не може бути представлене у вигляді об'єднання двох відокремлених множин.

Безліч Хназивають опуклим , якщо будь-які його дві точки можна з'єднати відрізком, що повністю належить цій множині.

Приклад. Спираючись на сформульовані вище визначення, можна стверджувати, що

- Пов'язане, лінійно-пов'язане, відкрите, неопукло безліч, є областю.

- Пов'язане, лінійно-пов'язане, невідкрите, неопукло безліч, не є областю.

- Незв'язане, не лінійно-пов'язане, відкрите, неопукло безліч, не є областю.

- Незв'язане, не лінійно-пов'язане, відкрите безліч, не є областю.

- Пов'язане, лінійно-пов'язане, відкрите безліч, є областю.

приклад. Знайти, якщо, де.

Рішення. За формулою (1) маємо:

приклад. Знайти приватну похідну та повну похідну , якщо .

Рішення. .

На підставі формули (2) отримуємо .

2°. Випадок кількох незалежних змінних.

Нехай z = f(x; y) -функція двох змінних хі у,кожна з яких є функцією

незалежної змінної t: x = x(t), у = y(t).У цьому випадку функція z = f (x (t); y (t))є

складною функцією однієї незалежної змінної t;змінні х та у - проміжні змінні.

Теорема. Якщо z == f(x; у) -диференційована в точці М(х;у) Dфункція

і х = x(t)і у =y(t) -функції, що диференціюються незалежною змінною t,

то похідна складної функції z(t) == f(x(t); y(t))обчислюється за формулою

(3)

Окремий випадок: z = f(x; у),де у = у(х),тобто. z = f(x; y(x)) -складна функція однієї

незалежної змінної х.Цей випадок зводиться до попереднього, причому роль змінної

tграє х.Відповідно до формули (3) маємо:

.

Остання формула зветься формули повної похідної

Загальний випадок: = f(x;y),де х = x(u;v), y=y(u;v).Тоді z = f(x(u;v); y(u;v)) -складна

функція незалежних змінних іі v.Її приватні похідні і можна знайти,

використовуючи формулу (3) в такий спосіб. Зафіксувавши v,замінюємо в ній,

відповідними приватними похідними

Таким чином, похідна складної функції (z) по кожній незалежній змінній (іі v)

дорівнює сумі творів приватних похідних цієї функції (z) за її проміжним

змінним (x та у)на їх похідні за відповідною незалежною змінною (u та v).

У всіх розглянутих випадках справедлива формула

(Властивість інваріантності повного диференціалу).

приклад. Знайти і якщо z = f(x, y), де x = uv, .

Теорема.Нехай u = f (х, у)задана в області D та нехай х = х(t)і у = у(t)визначено в області , причому, коли , то х і у належать області D. Нехай функція u диференційована у точці M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), а функції х(t) і у(t) диференційовані у відповідній точці t 0 , то складна функція u = f[x(t),y(t)]=F (t)диференційована в точці t 0 і має місце рівність:

.

Доказ.Так як u диференційована за умовою в точці ( x 0 , y 0), то її повне збільшення представляється у вигляді

Розділивши це співвідношення на , отримаємо:

Перейдемо до межі і отримаємо формулу

.

Примітка 1.Якщо u= u(x, y) та x= x, y= y(x), то повна похідна функції uпо змінній х

або .

Остання рівність можна використовувати для доказу правила диференціювання функції однієї змінної, заданої неявно у вигляді F(x, y) = 0, де y= y(x) (див. тему № 3 та приклад 14).

Маємо: . Звідси . (6.1)

Повернемося наприклад 14 теми № 3:

;

.

Як бачимо, відповіді співпали.

Примітка 2.Нехай u = f (х, у), де х= х(t , v), у= у(t , v). Тоді u є в кінцевому рахунку складна функція двох змінних tі v. Якщо тепер функція u диференційована у точці M 0 (x 0 , y 0), а функції хі удиференційовані у відповідній точці ( t 0 , v 0), то можна говорити про приватні похідні по tі vвід складної функції у точці ( t 0 , v 0). Але якщо ми говоримо про приватну похідну по t у зазначеній точці, то друга змінна v вважається постійною і рівною v 0 . Отже, йдеться про похідну лише від складної функції по t і, отже, ми можемо скористатися виведеною формулою. Отже, отримаємо.

Нехай функція z - / (х, у) визначена деякій області D на площині хОу. Візьмемо внутрішню точку (х, у) з області D і дамо х збільшення Ах таке, щоб точка (х + Ах, у) 6D (рис.9). Величину назвемо приватним збільшенням функції z по х. Складемо відношення Для цієї точки (х, у) це відношення є функцією від визначення. Якщо за Ах -* 0 відношення ^ має кінцеву межу, то ця межа називається приватною похідною функції z = /(х, у) за незалежною змінною х у точці (х, у) і позначається символом jfc (або /i(x, jj) ), або z"x(x, Та ним чином, за визначенням або, що теж саме, Аналогічно Якщо і - функція п незалежних змінних, то Помітивши, що Arz обчислюється при незмінному значенні змінної у, a Atz - при незмінному значенні змінної х, визначення приватних похідних можна сформулювати так: Приватні похідні Геометричний сенс приватних похідних функції двох змінних Диференційність функції кількох змінних Потрібні умови диференціювання функції декількох змінних ) називається звичайна похідна цієї функції по х, обчислена в припущенні, що у - постійна; , у) називається її похідна за у, обчислена у припущенні, що х - постійна. Звідси випливає, правила обчислення приватних похідних збігаються з правилами, доведеними для функції однієї змінної. приклад. Знайти приватні похідні функції 4 Маємо заміни*. З існування функції г = /(х, у) у цій точці приватних похідних за всіма аргументами не витімає безперервності функції у цій точці. Так, функція не є безперервною у точці 0(0,0). Однак у цій точці зазначена функція має приватні похідні з х і у. Це випливає з того, що /(х, 0) = 0 і /(0, у) = 0 і тому Геометричний сенс приватних похідних функції двох змінних Нехай у тривимірному просторі поверхня S задана рівнянням де f(x, у) - функція безперервна в деякій області D і має там приватні похідні х і у. З'ясуємо геометричний зміст цих похідних у точці Мо(хо,уо) 6 D, якій поверхні z = f(x)y) відповідає точка f(x0)yo)). При знаходженні приватної похідної точки M0 ми вважаємо, що z є тільки функцією аргументу х, тоді як аргумент у зберігає постійне значення у = уо, тобто. Функція fi(x) геометрично зображується кривою L, по якій поверхня S перетинається площиною у = у о. З геометричного сенсу похідної функції однієї змінної f\(xo) = tg а, де а - кут, утворений дотичної до лінії L у точці JV0 з віссю Ох (рис. 10). Але так що Таким чином, приватна похідна ($ |) дорівнює тангенсуугла а між віссю Ох і дотичною в точці N0 до кривої, отриманої в перерізі поверхні z = / (х, у) площиною у Аналогічно отримуємо, що §6. Диференційність функції кількох змінних Нехай функція z = /(х, у) визначена в деякій ділянці D на площині хОу. Візьмемо точку (х, у) € D і вибраним значенням х і дамо будь-які прирости Ах і Ду, але такі, щоб точка. Визначення. Функція г = / (х, у) називається диференційованою * точці (ж, у) € 2Е, якщо повне вирішення цієї функції, що відповідає приросту Дх, Ду аргументів, можна представити у вигляді де Л і В не залежать від Дх і Д у ( але взагалі залежить від х і у), а а(Дх, Ду) і /?(Дх, Ду) прагнуть нулю при прагненні нулю Дх і Ду. . Якщо функція z = /(х, у) диференційована в точці (х, у), то частина А Дх 4- ВД приросту функції, лінійна щодо Дх і Ду, називається повним диференціалом цієї функції в точці (х, у) і позначається символом dz: Танім чином, приклад. Нехай г = х2 + у2. У будь-якій точці (г,у) і для будь-яких Дх і Ду маємо Тут. Так що а і / 3 прагнуть до нуля при прагненні до нуля Дх і Ду. Відповідно до визначення, дана функція диференційована в будь-якій точці площини хОу. При цьому зауважимо, що в наших міркуваннях не був формально виключений той випадок, коли прирости Дх, Ду порізно або навіть обидва відразу дорівнюють нулю. Формулу (1) можна записати більш компактно, якщо ввести вираз (відстань між точками (Користуючись ним, можемо написати Позначивши вираз, що стоїть у скобнах, через е, будемо мати де з залежить від Дж, Ду і прагне нуля, якщо Дж 0 і Ду 0 або коротше, якщо р 0. Формулу (1), що виражає умову диференційності функції z = f(xt у) у точці (ж, у), можна тепер записати у вигляді Так, у наведеному вище прикладі 6.1. 4. Якщо функція г = /(ж, у) диференційована в деякій точці, то вона в цій точці безперервна 4 Якщо в точці (ж, у) функція г = /(ж, у) диференційована, то повне приріст функції я в цій точ»«е, що відповідає приростам Дж і Ду аргументів, можна представити у вигляді (величини Л, В для даної точки постійні; звідки слідує, що Останнє означає, що в точці (ж, у) функція г б) Якщо функція г = /(ж, у) диференційована в даній точці, mo око ы.иеет у цій точці приватні похідні $§ і. Нехай функція z = / (х, у) диференційована від точки (х, у). .Тоді прираше^ Дг цієї функції, що відповідає приросту Дх, Ау аргументів, можна у вигляді (1). Взявши в рівності (1) Дх Ф 0, Ду = 0, отримаємо звідки Так як у правій частині останньої рівності величина А не залежить від, Це означає, що в точці (х, у) існує приватна похідна функції г = / (х, у) по х, причому Подібними ж міркуваннями переконуємось (х, існує приватна похідна функції zу, причому З теореми слід, що Підкреслимо, що теорема 5 стверджує існування приватних похідних тільки в точці (х, у), але нічого не говорить про безперервність їх в цій точці, а також про їхню поведінку в околиці точки (х, у) 6.2 Достатні умови функцій кількох змінних, що диференціюються™ Як відомо, необхідною і достатньою умовою диференційованості функції у = /(х) однією змінною в точці хо є сутність кінцевої похідної /"(х) у точці х0. У разі, коли функція залежить від декількох змінних, справа значно складніша: необхідних і достатніх умов диференційності немає вже для функції z = /(х, у) двох незалежних змінних х, у; є л бач окремо необхідні умови (див. вище) та окремо - достатні. Ці достатні умови диференційності функцій кількох змінних виражаються наступною теоремою. Теорема ст. Якщо функція має приватні похідні /£ і f"v деякій околиці тонкі (хо, Уо) і якщо ці похідні безперервні в самій точці (хо,Уо), то функція z = f(x, у) диференційована в точці (х- Розглянемо функцію Приватні похідні Геометричний сенс приватних похідних функції двох змінних Диференційність функції кількох змінних Необхідні умови диференційності функції Достатні умови диференційності функцій кількох змінних Повний диференціал Приватні диференціали Похідні складної функції Вона визначена всюди ™ даної функції в точці 0(0,0) знайдемо і прирощування цієї точить 0 і Ду 0. Покладемо Д0. Тоді з формули (1) матимемо Тому функції /(х,у) = не диференційована в точці 0(0,0), хоча і має в цій точці робимо fa і f"r Отриманий результат пояснюється тим, що похідні f"z і f"t розривні точки §7. Повний диференціал. Приватні диференціали Якщо функція г - f(z> у) диференційована, то її стислий диференціал dz дорівнює Помічаючи, що А = В = щ, запишемо формулу (1) у наступному вигляді Поширимо поняття диференціала функції на незалежні змінні, поклавши диференціали їх збільшенням: Після цього формула повного диференціала функції примітвкд Приклад. Нехай i - 1л (х + у2). Тоді Аналогічно, якщо u =) є функція, що диференціюється n незалежних змінних, то Вираз називається пісним диференціалом функції z = f(x, у) по змінній х; вираз називається приватним диференціалом функції z = / (ж, у) поперемінною у. З формул (3), (4) і (5) випливає, що повний диференціал функції є сумою її приватних диференціалів: Зазначимо, що повне збільшення Az функції z = / (ж, у), взагалі кажучи, не дорівнює сумі приватних прирощень. Якщо в точці (я, у) фунмцияг = /(ж, у) диференційована і диференціал dz ФО в цій точці, то її повне прирощення відрізняється від своєї лінійної частини тільки на суму останніх доданків аАх 4- /?ДУ, які при Аж 0 і Ау --» Про є нескінченно малими вищого порядку, ніж складові лінійної частини. Тому при dz Ф 0 лінійну частину збільшення диференційованої функції називають головною частиною збільшення функції і користуються наближеною формулою яка буде тим більш точною, чим меншими по абсолютній величині будуть збільшення аргументів. §8. Похідні складної функції 1. Нехай функція визначена в деякій області D на площині хОу, причому кожна зі змінних ж, у свою чергу, є функцією аргументу t: Припускатимемо, що при зміні t в інтервалі (відповідні точки (ж, у) не виходять за межі області D. Якщо підставити значення в функцію z = / (ж, у), то отримаємо складну функцію однієї змінної t. M Дамо t приріст Дt.Тоді x і у отримають деякі прирощення Ах і Ду. В результаті цього при (Дж)2 + (Ду)2 Ф 0 функція z також отримає деяке прирощення Дг, яке в силу диференційованості функції z = /(ж , у) у точці (х, у) може бути представлене у вигляді де а) прагнуть нуля при прагненні нуля Ах і Ду. Довизначимо а і /3 при Ах = Ау = 0, поклавши а Тоді а (будуть безперервні при Дж = Ду = 0. Розглянемо відношення Маємо У кожному доданку ^ в Правій частині (2) обидва співмножники мають межі при дійсно, приватні похідні і ^ для даної є постійними, за умовою існують межі з існування похідних ^ і в точці £ слід безперервність у цій точці функцій х = y(t) і у = тому при At 0 прагнуть нуля і Дж і Ду, що в свою чергу тягне за Таким чином, права частина рівності (2) при 0 має межу, рівну Значить, існує при At 0 і межа лівої частини (2), т. е. існує рівний Переходячи в рівності (2) до межі при At -» 0, отримуємо необхідну формулу У окремому випадку, коли, отже, z є складною функцією від ж, отримуємо У формулі (5) є приватна похідна фунадііг = /(ж , у) по ж, при обчисленні якої у вираженні / (ж, у) аргумент у приймається за постійну. А є повна похідна функції z за незалежною змінною ж, при обчисленні якої у у виразі /(ж, у) вже не приймається за постійну, а вважається у свою чергу функцією від ж: у = tp(x)t і тому залежність z від ж враховується повністю. приклад. Знайти і jg, якщо 2. Розглянемо тепер диференціювання складної функції кількох змінних. Нехай де у свою чергу так припустимо, що в точці (() існують безперервні приватні похідні щ, 3?» а у відповідній точці (ж,у), де Функція /(ж, у) диференційована. Покажемо, що за цих умов складна функція z = z(() у) у точці t7) має похідні і щ, і знайдемо вирази для цих похідних. Зауважимо, що цей випадок від вже вивченого суттєво не відрізняється. Дійсно, при диференціюванні z по £ друга незалежна змінна rj приймається за постійну, внаслідок чого ж і у при цій операції стають функціями однієї змінної ж" = с), у = с) і питання про похідну Ц вирішується так само, як питання про Похідною при виведенні формули (3) Використовуючи формулу (3) і формально замінюючи в ній похідні § і ^ на похідні щ і відповідно, отримаємо Аналогічно знаходимо Приклад. Якщо складна функція « Задана формулами так що то при виконанні відповідних умов маємо У окремому випадку, коли І = де Приватні похідні Геометричний сенс приватних похідних функції двох змінних Диференційність функції кількох змінних Необхідні умови диференційності функції Достатні умови диференціювання функцій декількох змінних Повний диференціал Похідні складної функції маємо тут т-повна. приватна похідна функції і по незалежній змінній х, що враховує повну залежність і від х, в тому числі і через z = z (x, y), a ^ -приватна произвpдная.